第十一章 动能定理(精品)

,理论力学电子教程,第十一章 动能定理,第十一章 动能定理,第一节 力的功,第二节 动能的计算,第四节 动力学普遍定理的综合应用,第三节 动能定理,现先介绍三种力所做的功。,质点,M,，,常力,F,，,路程,S，,如,图所示。则有,M,1,M,M,2,s,F,常力,F,在位移方向的投影,F,cos,与其路程,S,之积，称为力,F,在路程,S,中所做的,功,。,1.,常力的功,第一节,力的功,0,，,力作正功；, 时，,W0,，,力作负功；,= 时，,W,=0，,力不作功。,2,2,2,2. 变力作功,M,1,M,M,2,S,F,如图所示，元功为,所作的功,这样元功,又,再,M,2,x,y,z,M,1,O,若有,N,个力作用，其合力为,R,，,则合力在有限曲线,M,1,M,2,上,所作的功为,3.合力的功,全功为,上式表明作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各合力在同一路程中所作的功的代数和(可先求分力功，而非先求合力),功单位为焦耳(,J),。,1 J,1 N,m。,F,x,=,F,y,=,0,F,z,=-,P,几种常见力的功,如图所示。有,即重力的功等于质点的重量与起止位置间的高度差的乘积，而与质点的运动路径无关。当位置向下时，作正功；反之，作负功。,（1） 重力功,y,z,x,P,(2) 弹性力的功,如图所示，,弹力为,F=k,则功为,l,0,M,1,M,2,1,x,dx,2,弹性力的功也是与质点的路径无关，而只取决于起止位置时弹簧的变形。(伸长或压缩),上式中,1,为质点在,M,1,处弹簧的变形，,2,为质点在,M,2,处弹簧的变形。,1,2,时,弹性力作正功。,N,f,F,=,如图摩擦力为,（3） 摩擦力的功,M,2,M,1,M,v,由此可见，动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质点的起止位置，且与质点的运动路径有关。,特殊情况下，若,N,=,常量时，则,s,为,质点,运动所经路径,的曲线长,度,。,，,Rd,ds,=,ds,，,dr,=,a,t,cos,F,F=,元功,F,则,由上式可见，作用于定轴转动刚体上的力的功，可以通过对转轴之矩的功来计算。,(4) 作用在绕定轴转动刚体上的力的功,设有质量为,m,的质点,M,受合力,F,在曲线上运动，如图所示。,由动力学第二定理,1.,质点的动能,m,a,=,F,或,将上式在切线方向投影得,M,2,M,1,M,v,第二节,动能的计算,或,由,ds,=,vdt,这样上式变换为,dw,=F,ds,是力,F,的元功；,mv,2,/,2,是质点运动而具有的能量，称为,质点的动能,。,2. 质点系的动能,设,质点系由,n,个质点组成，任一质点,M,i,的动能为,m,i,v,i,2,/2,，则系统动能为,即所有质点动能的算术和。,平动刚体的动能等于其质心的动能。,3. 平动刚体的动能,4. 定轴转动刚体的动能,所有各点转动,都相同，则,5. 平面运动刚体的动能,平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕通过质心,的转轴转动的动能之和。,求图示物体的动能。已知物体的质量为,m。,例11-1,例11-2,如图所示的四连杆机构，该杆,AB,为均质，质量为,m,，,杆,OA,的角速度为,，AC=CB=,l,/2,OA=,l,/2，,则杆,AB,的,动能是多少？,【,解,】,（,1,）方法一。,P,为,AB,杆的速度瞬心。,（,2,）方法二。,例11-3,图示平面机构中，,O,1,A,/,O,2,B,，且在铅垂位置。设,O,1,A,长为,r,1,，,O,2,B,长为,r,2,，已知,O,1,A,杆的角速度为,AB,杆质量为,m,，则此瞬时,B,点的速度、,AB,杆的角速度及,AB,杆的动能各为多少？,30,A,B,O,1,O,2,上式为微分形式的质点的动能定理，将其沿路径,M,1,M,2,进行积分，则有,1. 质点的动能定理,第三节,动能定理,上式为有限形式的质点动能定理,，,即,在任一路径中质点动能的变化，等于作用在质点上的力的全功。,得,动能定理提供了速度,v,、力,F,与路径,s,之间的数量关系，可用来求解这三个量中的一个未知量。,由,n,个质点组成的质点系，每一质点,则,2. 质点系的动能定理,或,上式为微分形式的质点系的动能定理，即质点系动能的微分变化，等于作用在质点系上的所有外力和内力的元功。,其积分形式为,另一种表达形式(主动力和约束反力),若为理想约束，则,积分形式,在任一路程中，具有理想约束的质点系动能的变化，等于作用在质点系上的所有主动力的功之和。,动能定理,可以求解作用于物体的主动力或物体所行的,距离,，而且可以求解物体运动的,速度,和,加速度,。,例11-4,长为,l,质量为,M,的均质杆,OA,用光滑铰,O,固定。,初始时于水平位置无初速释放，求当杆转过任意角,时角速度和角加速度。,l,o,用动能定理有,【解】,设时杆的角速度和角加速度分别为、 。,l,o,(1),铰链,O,的约束反力不作功，只有重力功。,其中,将(1)式对时间求一次导数，有,故,(2),因,故,B,A,物体,A,、B，,质量分别为,m,A,、,m,B,用,弹簧相连，放在光,滑水平面上。弹簧原长为,l,0,，,刚度系数为,k,。现将弹,簧拉长到,l,后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体,A,、B,的速度，弹簧质量不计。,例11-5,作受力图。质点系包含两个质点,A,、B,，,由于质点位移在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故内力,F、F,所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体,A、B,的速度分别为,v,A,、,v,B,，,方向如图示。由动能定理，有,A,B,y,z,m,A,g,F,m,B,g,v,A,v,B,【解】,即,由质点系动量定理得,(常量),即,由于,A,、B,初速为零，故,C,0,=0，,弹簧恢复原长时应有,由,式得,：,如图所示均质杆,OA,的质量为30,kg，,杆在铅垂位置时,弹簧处于自然状态。设弹簧常数,k,=3kN/m，,为使杆能,由铅直位置转到水平位置,OA,，,在铅直位置时的角速,度至少应为多大？,45,0,例11-6,【,解,】,以,OA,杆为研究对象，用动能定理求解。,45,0,思考：,在图示机构中,已知,:,匀质杆,AB,与,BC,质量分别为,m,1,与,m,2,不计摩擦，轮,A,质量不计，在水平轨道上运动，若系统在水平位置，由静止释放。试求,BC,杆到达铅垂位置时的角速度。,3L,L,A,B,C,动力学的普遍定理包括,动量定理,、,动量矩定理,、,动能定理,。动量定理和动量矩定理为矢量式，而动能定理是标量式。,第四节,动力学普遍定理的综合应用,质心运动定理与动量定理一样，也是矢量式，常用来分析 质点系受力与质心运动的关系， 它与相对于质心的动量矩定理 联合，共同描述了质点系机械运动的总体情况，特别是联合应用 于刚体，可建立起刚体运动的基本方程，如平面运动微分方程。,应用动量定理和动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。,动能定理是标量形式，在很多实际问题中约束力又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度变化是比较方便的。对动能定理求导也可求解加速度。基本定理提供了解决动力学问题的一般方法，而在求解比较复杂的问题时，往往需要根据各定理的特点，联合运用各定理。,例11-7,如图所示，质量为,m,，,半径为,r,的均质圆盘，可绕通,过,O,点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高,位置无初速度地开始绕,O,轴转动。求当圆盘中心,C,和,轴,O,点地连线经过水平位置时圆盘的角速度、角加,速度及,O,处的反力。,(,a),【,解,】,（,1,）用动能定理求角速度。,(,b),当,OC,在同一水平位置时，用动能定理有,代入,J,0,有,（,2,）求,O,处约束反力,作圆盘的受力分析和运动分析，如图（,b,）,所示。有,由质心运动定理，得,例11-8,如图所示均质细长杆，质量为,M,，,长为,l,，,放置在光,滑水平面上。若在,A,端作用一垂直于杆的水平力,F,，,试求,B,端的加速度。,(,a),【,解,】,细长杆作平面运动，欲求,a,B,则必先求,a,c,如图（,b）,所示。,由基点法,列出平面运动公式,将代入中得,【,思考与讨论,】,1选择题,（1）如图所示，半径为,R，,质量为,m,的均质圆轮，在水平地面上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为,f。,试求轮心向前移动距离,s,的过程中摩擦力的功,W,F,。 （ ）,A,W,F,=,fmgs,B,W,F,fmgs,C W,F,=F,s,D W,F,=0,D,(2)如图所示，楔块,A,向右移动速度为,v,1,质量为,m,的物块,B,沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为,v,2,，,求物块,B,的动能,T,B,。（ ）,A.,D.,C.,B.,D,（,3,）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为,2,L,，,刚度系数为,k,，,两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物,下降,x,路程中弹性力所作的功 。（ ）,A.,B.,C.,D.,C,（,4,）如图所示，平板,A,以匀速,v,沿水平直线向右运动，质量为,m,，,半径为,r,的均质圆轮,B,在平板上以匀角速度,朝顺时针方向,滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）,A.,B.,C.,D.,B,2.,图示平面机构中，,O,1,A,/,O,2,B,，且在铅垂位置。设,O,1,A,长为,r,1,，,O,2,B,长为,r,2,，已知,O,1,A,杆的角速度为,AB,杆质量为,m,，则此瞬,时,B,点的速度、,AB,杆的角速度及,AB,杆的动能各为多少？,30,A,B,O,1,O,2,3.,质量为,m,，半径为,r,的均质圆盘，可绕通过,O,点且垂直于 盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速地开始绕,O,轴转动，求当圆盘中心,C,和轴,O,点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、角加速度。,y,o,c,o,c,x,r,4.,在图示机构中,已知,:,匀质杆,AB,与,BC,质量分别为,m,1,与,m,2,不计摩擦，轮,A,质量不计，在水平轨道上运动，若系统在水平位置，由静止释放。试求,BC,杆到达铅垂位置时的角速度。,3L,L,A,B,C,5,如图所示，半径为,R,的两圆柱体、用绳相联，绳的一端与圆柱的中心,O,相连，另一端系在圆柱体上，为实心均质圆柱，质量为,m,1,可沿水平面只滚不滑；为空心均质薄壁圆柱，质量为,m,2,.,不计滚动摩擦和定滑轮,A,及绳的质量，系统从静止释放。试求当圆心,O,向右移动距离,s,时点,O,的速度。,答案：,答案：,（1）,m,=5cm；（2）=15.5rad/s,6,如图所示系统中，已知：匀质杆,AB,重100,N，,长为20,cm，,弹簧的刚性系数,k=20N/cm，,杆与水平线的夹角为,，=0,时弹簧的长度为原长，滑块的重量及摩擦不计。试求：（1）杆在,=0,处无初速度地释放，弹簧伸长的最大距离；（2）将杆由,=60,0,时无初速度地至,=30,0,时，杆的角速度。,7、,如图所示机构中，已知：匀质圆盘的质量为,m，,半径为,r，,可沿水平面作纯滚动，刚性系数为,k,的弹簧一端固定于,B，,另,一端与圆盘中心,O,相连，运动开始时弹簧处于原长，此时圆,盘角速度为,。,试求：（1）圆盘向右运动能到达的最右位,置；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度,及圆盘与水平,面间的摩擦力。,答案：,8、,如图所示机构中，已知：匀质圆盘,A，AC,长为,L，,圆盘、杆及滑块,C,质量均为,m。,试求杆,AC,自水平位置无初速度地滑到与铅垂线成,=45,时，圆盘中心,A,的速度。,答案：,