数模-稳定性模型课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,稳定性模型,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,6.1,捕鱼业的持续收获,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在,捕捞量稳定,的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，,渔场鱼量将保持不变,，则捕捞量稳定。,背景,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解,x,(,t,),只需知道,x,(,t,)稳定的条件,r,固有增长率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex,E,捕捞强度,x,(,t,)渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F,(,x,)=0的根,x,0,微分方程的,平衡点,设,x,(,t,)是方程的解，若从,x,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,x,0,是方程(1)的,稳定平衡点,不求,x,(,t,),判断,x,0,稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,产量模型,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定,可得到稳定产量,x,1,稳定,渔场干枯,E,捕捞强度,r,固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,P,的横坐标,x,0,平衡点,y=rx,h,P,x,0,y,0,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),P,的纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,)最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,)=,pEx,支出,S,=,cE,E,s,S,(,E,),T,(,E,),0,r,E,捕捞过度,封闭式捕捞,追求利润,R,(,E,)最大,开放式捕捞,只求利润,R,(,E,)0,R,(,E,)=0时的捕捞强度(临界强度),E,s,=2,E,R,临界强度下的渔场鱼量,捕捞过度,E,R,E,*,令=0,6.2,军备竞赛,描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程,解释(预测)双方军备竞赛的结局,假设,1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；,2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；,3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。,进一步假设,1）2）的作用为线性；3）的作用为常数,目的,建模,军备竞赛的结局,微分方程的平衡点及其稳定性,x,(,t,)甲方军备数量，,y,(,t,)乙方军备数量,本方经济实力的制约；,k,l,对方,军备数量的刺激；,g,h,本方,军备竞赛的潜力。,t,时的,x,(,t,)，,y,(,t,),线性常系数微分方程组,的平衡点及其稳定性,平衡点,P,0,(,x,0,y,0,)=(0,0)代数方程,的根,若从,P,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,P,0,是微分方程的,稳定平衡点,记系数矩阵,特征方程,特征根,线性常系数微分方程组,的平衡点及其稳定性,特征根,平衡点,P,0,(0,0),微分方程一般解形式,平衡点,P,0,(0,0)稳定,平衡点,P,0,(0,0)不稳定,1,2,为负数或有负实部,p,0 且,q,0,p,0 或,q,kl,下,x,(,t,),y,(,t,),0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。,模型,本方经济实力的制约；,k,l,对方,军备数量的刺激；,g,h,本方,军备竞赛的潜力。,3）若,g,h,不为零，即便双方一时和解，使某时,x,(,t,),y,(,t,)很小，但因 ，也会重整军备。,4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如,x,(,t,),=,0，也会因 使该方重整军备，,即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。,模型的定性解释,本方经济实力的制约；,k,l,对方,军备数量的刺激；,g,h,本方,军备竞赛的潜力。,模型,6.3,种群的相互竞争,一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。,当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。,建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。,模型假设,有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;,两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于,N,2,)是甲(相对于,N,1,)的,1,倍。,对甲增长的阻滞作用，乙大于甲,乙的竞争力强,模型,模型分析,(平衡点及其稳定性),(二阶)非线性(自治)方程,的平衡点及其稳定性,平衡点,P,0,(,x,1,0,x,2,0,)代数方程,的根,若从,P,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,P,0,是微分方程的,稳定平衡点,模型,判断,P,0,(,x,1,0,x,2,0,)稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,平衡点,P,0,稳定(对2,1),p,0 且,q,0,平衡点,P,0,不稳定(对2,1),p,0 或,q,0,仅当,1,2,1,时，,P,3,才有意义,模型,平衡点稳定性分析,平衡点,P,i,稳定条件：,p,0 且,q,0,种群竞争模型的平衡点及稳定性,不稳定,平 衡点,2,1,1,1,P,1,P,2,是一个种群存活而另一灭绝的平衡点,P,3,是两种群共存的平衡点,1,1,2,1,P,1,稳定的条件,1,1?,1,1,2,1,1,1,P,1,P,2,都不(局部)稳定,0,(3),1,1,2,1,2,1,2,1,加上与(4)相区别的,1,1,P,2,稳定,P,3,稳定,P,1,全局稳定,结果解释,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于,N,2,)是甲(相对于,N,1,)的,1,倍。,对甲增长的阻滞作用，乙小于甲,乙的竞争力弱,P,1,稳定的条件：,1,1,2,1 甲的竞争力强,甲达到最大容量，乙灭绝,P,2,稳定的条件：,1,1,2,1,P,3,稳定的条件：,1,1,2,1,通常,1,1/,2,，,P,3,稳定条件不满足,6.4,种群的相互依存,甲乙两,种群的相互依存有三种形式,1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。,3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,模型假设,甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。,乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。,模型,乙为甲提供食物是甲消耗的,1,倍,甲为乙提供食物是乙消耗的,2,倍,种群依存模型的平衡点及稳定性,P,2,是甲乙相互依存而共生的平衡点,稳定条件,不稳定,平衡点,平衡点,P,2,稳定性的相轨线,0,1,1,1,2,1,P,2,稳定,1,2,1,前提下,P,2,存在的必要条件,结果解释,2,1,甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物是乙消耗的,2,倍,1,1,1,2,1条件下使,1,2,1,成立,P,2,稳定条件：,1,1,1,2,0,P,:临界状态,q,0,P,不稳定,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.2000,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.2000,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用数学软件,MATLAB求,微分方程数值解,xy,平面上的相轨线,计算结果（数值，图形）,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数，相图(,x,y,),是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,),的周期约为9.6,x,max,65.5,x,min,6,y,max,20.5,y,min,3.9,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,),一周期的平均值：,x,(,t,),的平均值约为25,y,(,t,),的平均值约为10。,食饵-捕食者模型(Volterra),消去,dt,用相轨线分析 点稳定性,c,由初始条件确定,取指数,x,0,f,m,f,(,x,),x,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,y,2,y,1,x,Q,3,Q,4,q,y,1,y,2,x,1,x,2,p,y,y,0,x,x,0,P,0,x,1,x,2,Q,1,Q,2,Q,1,(,x,1,y,0,),Q,2,(,x,2,y,0,),Q,3,(,x,y,1,),Q,4,(,x,y,2,),相轨线,退化为,P,点,存在,x,1,x,0,x,2,使,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,p,存在,y,1,y,0,y,2,使,g,(,y,1,)=,g,(,y,2,)=,q,相轨线是封闭曲线族,x,Q,3,Q,4,f,(,x,),x,x,0,f,m,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,相轨线,P,中心,相轨线,是封闭曲线,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数(周期记,T,),求,x,(,t,),y,(,t,),在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,T,2,T,3,T,4,T,1,P,T,1,T,2,T,3,T,4,x,(,t,)的“相位”领先,y,(,t,),模型解释,初值,相轨线的方向,模型解释,r,食饵增长率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,P,r/a,d/b,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中,鲨鱼的比例却在增加，为什么？,r,r-,1,d,d+,1,捕捞,战时捕捞,r,r-,2,d,d+,2,2,1,x,y,食饵(鱼),减少，,捕食者(鲨鱼),增加,自然环境,还表明：对,害虫(食饵)益虫(捕食者)系统，使用灭两种,虫的,杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。,食饵-捕食者模型(Volterra),的缺点与改进,Volterra,模型,改写,多数,食饵捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,加Logistic项,有,稳定平衡点,相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。,自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。,食饵-捕食者模型(Volterra),的缺点与改进,r,1,=1,N,1,=20,1,=0.1,w,=0.2,r,2,=0.5,2,=0.18,相轨线趋向极限环,结构稳定,两种群模型的几种形式,相互竞争,相互依存,弱肉强食,