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单击以编辑,母版标题样式,复习课,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一,、空间解析几何,内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1.,空间直线与平面的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为直线的方向向量,.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面与面的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,2,.,线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,线与线的关系,直线,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面,:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1,.,求直线,与平面,的交点,.,提示,:,化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为,（,1,，,2,，,2,）,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 多元函数微分学,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.,多元函数的定义、极限 、连续、偏导数、全微分,2.,几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,(1),分析复合结构,(,画变量关系图,),(2),正确使用求导法则，如,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,(3),一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),隐函数求导法（一个方程情形；两个方程情形）,例,2.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设,F,(,x,y,),具有连续偏导数,解,利用偏导数公式,.,确定的隐函数,则,已知方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,3,、多元函数微分法的应用,1,.,在几何中的,应用,求,曲线的切线及法平面,(,关键,:,抓住切向量,),求曲面的切平面及法线,(,关键,:,抓住法向量,),2.,极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法,(,消元法,拉格朗日乘数法,),求解最值问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数的方向导数和梯度,例,4,求,grad,解,这里,f,(,x,，,y,),因为,，,，,所以,grad,例,5,设,f,(,x,，,y,，,z,),x,3,x,y,2,z,，,求,grad,f,(1,1,0),解,grad,f,(,f,x,，,f,y,，,f,z,),( 3,x,2,y,2,2,xy,1 ),，,于是,grad,f,(1,，,1,，,0),(2,2,1),函数在此点沿方向,(2,-2,-1),增加率最大,其值为,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数在此点沿方向,(-2,2,1),减少率最大,其值为,-3.,例,6.,求椭球面,在点,(1 , 2 , 3),处的切,平面及法线方程,.,解,:,所以椭球面在点,(1 , 2 , 3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三,.,二重积分,1.,二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形,:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,2.,极坐标系情形,:,若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例,7 .,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域,.,解,:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域,:,先对,x,积分不行,说明,:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对,y,积分是常量,四,.,三重积分的计算方法,方法,1. “,先一后二”,(,投影法,),方法,2. “,先二后一”,(,截面法,),方法,3. “,三次积分”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,直角坐标情形,:,2.,不同坐标系的三重积分,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简洁,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,变量可分离,.,围成,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,其中,3.,重积分的应用,1.,几何方面,面积,(,平面图形面积或曲面面积,) ,体积,形心等,质量,转动惯量,质心,引力,2.,物理方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中曲面,:,z,=,f,(,x,y,), (,x,y,),D,的面积公式为,形心坐标,：,其中,为由,例,8.,计算三重积分,所围,解,:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,计算双曲抛物面,被柱面,所截,解,:,曲面在,xoy,面上投影为,则,出的面积,A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、曲线积分,1.,基本方法,曲线积分,第一类,(,对弧长,),第二类,(,对坐标,),(1),统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2),确定积分上下限,第一类,:,下小上大,第二类,:,下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,格林公式,3.,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理,.,设,D,是单连通域,在,D,内,具有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关,.,函数,则以下四个条件等价,:,在,D,内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理证明采用,例,11.,计算曲线积分,其中,为螺旋,的一段弧,.,解,:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,12.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线,.,解,:,令,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,D,内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记,L,和,l,所围的区域为,林公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,13.,验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数,.,证,:,设,则,由定理,2,可知,存在函数,u,(,x , y,),使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、数项级数的审敛法,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法:,若,且,则交错级数,收敛,概念,:,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,求幂级数的收敛半径和收敛域,七、幂级数求和与函数展开成幂级数,求和,3.,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,难,2.,初等变换法,:,求部分和极限,分解,套用公式等方法,;,（在收敛区间内）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直接展开法,间接展开法,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,4,.,函数的幂级数展开法,例,14.,求幂级数,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1 ,及,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得,:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式中令,x,=,1,即得,例,15.,将函数,展开成,x,的幂级数,.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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