特征值与特征向量小结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Chapter 4,特征值与特征向量小结,一、内容小结,2.相似矩阵的定义与性质,3.矩阵可对角化的条件,1.特征值特征向量的定义与性质,4.正交矩阵的定义与性质,5.实对称矩阵特征值特征向量的性质,1.特征值特征向量的定义与性质,定义.,(1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的,(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性,组合仍是属于这个特征值的特征向量,(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征,值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；,一个特征向量不能属于不同的特征值,有非0解.,结论1.,方阵,A,的特征值的几何重数不超过,它的代数重数.,结论2.,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值,即为其主对角线上的元素.,结论3.,结论4.,结论5.,若,是矩阵,A,的特征值,x,是,A,的属于,的特征,向量,则,2.相似矩阵的定义与性质,3.矩阵可对角化的条件,定理1.,结论1.,若,n,阶矩阵,A,有,n,个互不相等的特征值,则,A,与对角阵相似.,结论2.,结论3.,实对称矩阵一定可对角化.,4.正交矩阵的定义与性质,若,P,为正交矩阵,则线性变换,y=Px,称为正交变换.,正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间,的内积及夹角.,5.实对称矩阵特征值特征向量的性质,(1),实对称矩阵的特征值为实数.,(2),实对称矩阵的特征向量为实向量.,(3),实对称矩阵,A,对应于不同,特征值的特征,向量是正交的.,(4),实对称矩阵的每个特征值的代数重数,与几何重数相等.,定理.,二、题型与方法,2.判别矩阵是否可对角化，,找可逆矩阵使其与对角阵相似,1.求特征值特征向量,3.实对称矩阵的对角化（,可逆变换与正交变换,）,利用,可逆矩阵,将实对称矩阵对角化,其具体步骤,为：,利用,正交矩阵,将实对称矩阵对角化,其具体步骤,为：,1.求特征值特征向量,Solution.,Solution.,Proof.,?,2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化,ex,4.,判断下列实矩阵能否化为对角阵？,Solution.,=其代数重数.,因而,A,可对角化.,=其代数重数.,故 不能化为对角矩阵.,且知,A,有一特征值为1,求,x,的,值及,A,的其它特征值,并判断,A,是否能与对角阵相似？,Solution.,A,能否对角化？若能对,角化,则求出可逆矩阵,P,Solution.,得基础解系,所以 可对角化,.,得基础解系,Solution.,3.实对称矩阵的对角化,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,4.简单证明题及其它,Proof.,Solution.,Solution 1.,或者,Solution 1.,Solution 2.,Solution 3.,Solution.,Solution.(1),(2).,The end,