层次分析法介绍

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,层次分析法,Analytic Hierarchy Process,AHP,T.L.saaty,层次分析法建模,一 问题的提出,日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种,方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。,例,1,购物,买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、,外形等方面的因素选择某一支钢笔。,买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选,择某种饭菜。,例,2,旅游,假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北,戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、,费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,例,3,择业,面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去,选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条,件等因素择业。,例,4,科研课题的选择,由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依,据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素,进行选题。,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后,作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法,解决问题带来不便。,T.L.saaty,等人,20,世纪在七十年代提出了,一种能有效处理这类问题的实用方法。,层次分析法,（,Analytic Hierarchy Process,AHP),这是,一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。,过去研究自然和社会现象主要有,机理分析法和统计分析法,两,种方法，前者用,经典的数学,工具分析现象的因果关系，后者,以,随机数学,为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近,年发展的系统分析是又一种方法，而,层次分析法,是系统分析,的数学工具之一。,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔,1,、钢笔,2,、钢笔,3,、钢笔,4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序,将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序,经综合分析决定买哪支钢笔,二 层次分析法的基本步骤,1,建立层次结构模型,一般分为三层，最上面为,目标层,，最下面为,方案层,，中,间是,准则层或指标层,。,例,1,的层次结构模型,准则层,方案层,目标层,例,2,层次结构模型,准则层,A,方案层,B,目标层,Z,若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所,有因素影响，称为,完全层次结构,，否则称为,不完全层次结构,。,设某层有个因素，,2,构造成对比较矩阵,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定,在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上,层某一目标的影响程度排序）,用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,则称为,成对比较矩阵,。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取,19,尺度。,尺度,第 个因素与第 个因素的影响相同,第 个因素比第 个因素的影响稍强,第 个因素比第 个因素的影响强,第 个因素比第 个因素的影响明强,第 个因素比第 个因素的影响绝对地强,含义,比较尺度,：（,19,尺度,的含义）,2,4,6,8,表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述,两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，,根据。,由上述定义知，成对比较矩阵,则称为,正互反阵,。,比如，例,2,的旅游问题中，第二层,A,的各因素对目标层,Z,的影响两两比较结果如下：,满足一下性质,Z,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示,景色、费用、,居住、饮食、,旅途。,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有,6,个（一个,5,阶，,5,个,3,阶）。,问题：,两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上,层某因素的影响程度的排序结果呢？,3,层次单排序及一致性检验,层次单排序：,确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。,用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。,例如,一块石头重量记为,1,，打碎分成 各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵可以看出，,即，,但在例,2,的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若,则称 为一致阵。,一致阵的性质：,5.,的任一列,(,行,),都是对应于特征根 的特征向量。,作业,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最,大特征根 的归一化特征向量 ，且,定理,：阶互反阵 的最大特征根 ，当且仅,当 时，为一致阵。,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，,Saaty,等人建议,用其最大,特征根对应的归一化特征向量作为权向量,，则,（为什么？）,这样确定权向量的方法称为,特征根法,.,由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多，的不,一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较,因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，,引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量,的不一致程度。,定义,一致性指标,其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。,则可得一致性指标,定义,随机一致性指标,随机构造,500,个成对比较矩阵,随机一致性指标,RI,的数值：,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,一致性检验,：利用一致性指标和一致性比率,0.1,及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。,一般，当一致性比率,的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量,作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加,以调整。,时，认为,4,层次总排序及其一致性检验,确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，,称为,层次总排序,从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标,Z,的排序为,的层次单排序为,即 层第 个因素对,总目标的权值为：,层的层次总排序为：,B,层的层次,总排序,A,B,层次总排序的一致性检验,设 层 对上层,(,层,),中因素,的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，,则层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到,此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。,1.,建立层次结构模型,该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的,基本步骤,归纳如下,3.,计算单排序权向量并做一致性检验,2.,构造成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和,19,尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.,计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,三 层次分析法建模举例,旅游问题,(1),建模,分别分别表示景色、费用、,居住、饮食、旅途。,分别表示苏杭、北戴河、桂林。,（,2,）构造成对比较矩阵,(3),计算层次单排序的权向量和一致性检验,成对比较矩阵 的最大特征值,表明 通过了一致性验证。,故,则,该特征值对应的归一化特征向量,对成对比较矩阵 可以求层次,总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：,计算 可知 通过一致性检验。,对总目标的权值为：,（,4,）计算层次总排序权值和一致性检验,又,决策层对总目标的权向量为：,同理得，对总目标的权值分别为：,故，层次总排序通过一致性检验。,可作为最后的决策依据。,故最后的决策应为去,桂林,。,又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，,即各方案的权重排序为,四 层次分析法的优点和局限性,1,系统性,层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。,2,实用性,层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用,传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同,时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策,者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。,3,简洁性,具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本,原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得,结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。,以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限,性主要表现在以下几个方面：,第一,只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。,第二,该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙,的，不适用于精度较高的问题。,第三,从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观,因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让,所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法,是克服这个缺点的一种途径。,思考：多名专家的综合决策问题,五 正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；,成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。,寻找简便的近似方法。,定理,对于正矩阵,A,（,A,的所有元素为正）,1,）,A,的最大特征根为正单根 ；,2,）对应正特征向量,w,（,w,的所有分量为正）；,3,）,其中,是对应 的归一化特征向量。,1,幂法,步骤如下,a),任取,n,维归一化初始向量,b),计算,c),归一化,，即令,d),对于预先给定的精度 ，当下式成立时,即为所求的特征向量；否则返回,b,；,e),计算最大特征值,这是求特征根对应特征向量的,迭代方法,，其收,敛性由定理的,3,）保证。,2,和法,步骤如下,a),将,A,的每一列向量归一化得,b),对,c),归一化,按行求和得,d),计算,3,根法,步骤与和法基本相同，只是将步骤,b,改为对,按行求积并开,n,次方，即,三方法中，和法最为简便。看下列例子。,e),计算,，最大特征值的近似值。,列向量归一化,求和,归一化,精确计算，得,