概率论课件-2-4二维随机变量及其概率分布23p

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,第四节,二维随机变量及其概率分布,(23),一、二维随机变量的概念,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,以上我们只限讨论一个随机变量的情况,但在实际问题,一、二维随机变量的概念,定义,1,有些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变,量来描述.,例如:,为了研究大学生身体发育状况,中,学生进行抽查,对某校大,对于每个学生都能观察到他的身高,H,和体,重,W,这里,H,和,W,是两个随机变量,类似的例子还有许多.,设随机试验,E,的样本空间为,X,Y,是定义在,上的两个随机变量,则二维向量,(,X,Y,),称为,二维随机,向量,或,二维随机变量,.,二维随机变量(,X,Y,)的性质不仅与,X,及,Y,有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,注意:,定义,2,因此逐个研究,体来进行研究.,还必须将(,X,Y,) 作为一个整,与一维的情况类似,我们也借助于分布函数来研究二,设,(,X,Y,) 是二维,随机变量,对任意实数,x,y,二元函数,称为二维随机变量,(,X,Y,) 的联合分布函数.,随机变量,X,与,Y,是不够的,维随机变量.,(1),在几何上,若把二维随机变量,(,X,Y,)看作平面上随机点,的坐标,那么联合分布函数,F,(,x,y,)在点(,x,y,)处的函数,值,就是随机点,(,X,Y,)落在以点(,x,y,)为顶点的左下方无,穷矩形域内的概率.,由联合分布函数的几何意义很容易得出,落在一个矩形区域,内的概率,为:,(2),随机点,(,X,Y,),定理,1,(1),F,(,X,Y,),关于,x,y,均是非减函数;,(2),（,3,）关于均是右连续函数；,（,4,）对任意，均有,二维随机变量,(,X,Y,)的联合分布函数,F,(,x,y,),具有以下性质:,注意到:,同理:,分别称为二维随机变量,(,X,Y,)关于,X,二维随机变量,(,X,Y,),的分量,X,与,Y,分别是一维,随机变量,通过,(,X,Y,),的联合分布函数,F,(,X,Y,),可以求,出,X,与,Y,各自的分布函数,与,与,关于,Y,的,边缘分布函数.,即有:,(3),(4),二、二维离散型随机变量,则称,(,X,Y,) 是二维离,若二维随机变量,(,X,Y,),的全部可能取值是有限多对,或可列无穷多对,并称,为二维离散型随机变量,(,X,Y,),的,联合分布律.,联合分布律的性质:,(1),(2),散型随机变量.,的联合分布律通常用表格(矩阵)给出：,(,X,Y,),的联合分布函数,F,(,x,y,),其中,由,(,X,Y,),的联合分布律还可求出,X,与,Y,各自的分布律.,求出:,是对一切满足,的,求和.,可由上面的联合分布律,(5),记:,分别称为,(,X,Y,),关于,X,关于,Y,的,边缘分布律.,在联合分布律的表格中,将每行与每列相加即可得到,边缘分布律.,例,1,.,设随机变量,X,在,1 , 2 , 3 , 4,这四个整数中等可能,另一个随机变量,Y,在1,X,中等可能地取一整数,解:,由于,X,=,i,Y,=,j,的取值情况是:,j,取不大于,i,的正整数 ,由乘法公式容易求得:,所以(,X,Y,)的联合分布律与边缘分布律为:,试求二维随机变量,(,X,Y,) 的,联合分布律及边缘,i,= 1 , 2 , 3 , 4 ,取值,值,布律.,1 2 3 4,1,2,3,4,即有,X,边缘分布律:,Y,边缘分布律:,123 4,X,123 4,Y,也即有:,三、二维连续型随机变量,实数,x,y,都有,定义,3.,函数,(,X,Y,),的联合概率密度函数.,则称,(,X,Y,),为二维连续型随机变量,设,F,(,x,y,),为二维随机变量,(,X,Y,),的联合分布,若存在一个非负二元函数,f,(,x,y,) ,使对任意,(6),并称,f,(,x,y,),为,联合概率密度函数,f,(,x,y,),的性质:,(1),f,(,x,y,), 0 ;,(,3,) 若,f,(,x,y,),在点,(,x,y,) 处,连续,(,4,),性质,(4),表明在几何上,概率,则有,(,X,Y,),落在某平面区域,D,中的,在数值上就是,f,(,x,y,),在区域,D,上的二重积分.,由,(,X,Y,),的联合概率密度函数,f,(,x,y,),变量,X,和,Y,的概率密度函数,因为,而,所以,同理有,称为,(,X,Y,),关于,X,的,边缘概率密度函数,;,称为,(,X,Y,),关于,Y,的,边缘概率密度函数,.,和,(7),(8),可求得一维随机,例,3,.,(2),X,Y,的边缘概率密度函数;,求:,及,(3),求,(,X,Y,),的联合分布函数,F,(,X,Y,) .,解:,(1).,设,(,X,Y,),的联合概率密度函数为,(1),1,1,(2),.,当,x, 0,或,x, 1,时,则,当,0 ,x, 1,时,则有,同理:,(3),.,当,x, 0,或,y, 0,时,则,当,0 ,x, 1,且,0 ,y, 1,时,当,0 ,x, 1,且,y, 1,时,当,x, 1,且,0 ,y, 1,时,当,x, 1,且,y, 1,时，,综上有:,作业,第二章 9 , 10 , 11 .,预习:,第五节,