[理学]不定积分习题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 不定积分习题课,第四章 不定积分习题课,1,一、不定积分的基本概念与性质,1原函数与不定积分的概念,(1)原函数的定义：,(2)不定积分的定义：,设,为 一个原函数，则,在区间 上，若,则称,是 在 上原函数。,一、不定积分的基本概念与性质1原函数与不定积分的概念(1),2,2不定积分的性质,(1) 线性性质：,(2) 微分与积分运算：,2不定积分的性质(1) 线性性质： (2) 微分与积分运,3,二、基本计算方法,1直接积分,法,首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,二、基本计算方法1直接积分法 首先要对被积函数,4,2第一类换元法（凑微分法）：,设,，则,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,2第一类换元法（凑微分法）： 设，则常用的几种配元形式:,5,（适合求形如,的积分）,（,P197例12,）,的积分）,（适合求形如,的积分）,（适合求形如,（适合求形如的积分）（P197例12）的积分）（适合求形如的,6,的积分）,（适合求形如,9）,（,P199例17,）,10),(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,常用简化技巧:,的积分）（适合求形如9）（P199例17）10)(1) 分,7,3第二类换元法（变量置换法）：,第二类换元法：,三角代换,倒代换,简单无理函数代换,注意：,式中,回代。,必须单调可导，对t作完积分后,要用反函数,3第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换 倒代,8,第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,7) 分母中因子次数较高时, 可试用,倒代换,令,令,8),第二类换元法常见类型: 令令令或令令7) 分母中因子次,9,4分部积分法：,或,使用原则:,1) 由,易求出,v,;,2),比,好求 .,一般经验: 按“,反, 对, 幂, 指 , 三,” 的顺序,排前者取为,u,排后者取为,题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,4分部积分法： 或使用原则:1) 由易求出 v ;2)比,10,5有理函数的积分法：,积分法要点：,若是假分式，先作多项式除法，使,使之变为一次分式和二次分式的代数和。,之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，,其中部分分式的形式为,(1) 用拼凑法,(2) 用赋值法,分解方法,：,5有理函数的积分法： 积分法要点：若是假分式,11,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分,12,6万能公式法：,如果被积函数是三角函数有理式,则可采用万能公式。,令,则,从而,说明:,通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,6万能公式法： 如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能,13,需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出,.,例如,需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法,(2),14,三、典型例题,、,【例1】 设,是,的原函数，,求,解： 由于,是,的原函数，,故,令,，则,三、典型例题、【例1】 设是的原函数，求解： 由于是的原函数,15,【例2】 求不定积分,解： 利用不定积分的性质,，可知,【例3】 求不定积分,解：,【例2】 求不定积分解： 利用不定积分的性质 ，可知 【例3,16,分析：,由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微,然后可利用基本公式。,分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，,【例4】 求不定积分,解：,分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微,17,【例5】 求不定积分,然后利用凑微分法。,分析：,一般情况下首先分母要进行有理化,，,解：,【例5】 求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分,18,【例6】 求不定积分,分析：,此题属于,型，故凑,解：,【例6】 求不定积分分析：此题属于型，故凑解：,19,【例7】 求不定积分,解：,【例7】 求不定积分解：,20,【例8】 求不定积分,分析：,由于被积函数,，不能直接利用,基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数,进行代数恒等变形为：,或,，再想到凑微分：,或,，然后进行计算。,中含有,另外，由于,，不能直接计算，可以考虑,换元,或,，然后再进行计算。,【例8】 求不定积分分析：由于被积函数 ，不能直接利用基本公,21,解法1：,因为,所以,解法1：因为所以,22,解法2：,因为,所以,解法3：,令,则,于是,解法2：因为所以解法3：令,则于是,23,【例9】 求不定积分,解法1：(倒代换）,设,则,则,【例9】 求不定积分解法1：(倒代换）设则则,24,【例10】 求不定积分,解法2：(三角代换）,设,则,解：,【例10】 求不定积分解法2：(三角代换）设则解：,25,【例11】 求不定积分,分析：,若取,积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，,显然可以利用分部,先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。,解：原式,注意,运算中综合使用不同方法往往更有效。,【例11】 求不定积分分析：若取 积分法计算出结果，但如果注,26,【例12】 求不定积分,分析：,由于被积函数中含有根式,，所以首先要令,把根式去掉，然后选择合适的方法计算。,另外，观察被积表达式的特点，由于,所以可应用分部积分法计算。,【例12】 求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先,27,解法1：,令,，则,所以应用分部积分法,所以,解法1： 令，则所以应用分部积分法所以,28,解法2：,因为,所以应用分部积分法,解法2： 因为所以应用分部积分法,29,【例13】 求不定积分,解：,【例13】 求不定积分解：,30,【例14】 求不定积分,分析：,设,，则,由于,中含有,和,，所以令,或,去掉根式，然后选择适当的计算方法。,进行恒等变形,然后运用基本积分公式就可以计算。,另外，可对,【例14】 求不定积分分析：设 ，则由于中含有和，所以令或去,31,，于是,解法2：,因为,所以,，则,解法1：,令,注：,在本题的计算中同样可以选择,其计算的复杂,程度与选择,相同。,，于是解法2： 因为所以，则解法1： 令注：在本题的计算中同,32,【例15】 求不定积分,分析：,本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分,的过程中正、负项抵消.,解：,【例15】 求不定积分分析： 本题中隐含着不能积分的积分项，,33,【例16】 设,的一个原函数为,，求,解：由于,为,的原函数,，故,从而,【例16】 设的一个原函数为，求解：由于 为 的原函数 ，故,34,【例17】 求不定积分,把假分式化成一个多项式与一个真分式的和 ，对真,分析：,由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先,采用拆项积分。,解：,设,即,得,于是,【例17】 求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和,35,【例18】 求不定积分,分析：,由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次,是一次式,，而分母的导数也是一次式，因此将分,质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子,子变成分母的导数,形式，,所以把分子拆成,和8两部分，而分子,可以凑微成,，进而可以计算。,【例18】 求不定积分分析：由于被积函数为有理函数且为真分式,36,解：,解：,37,【例19】 求不定积分,分析：(1),由于被积函数为三角函数有理式，所以首先,想到用万能公式计算；,(2),对被积函数进行恒等变形为：,进行计算；,就可以用换元：,再利用,(3),把被积函数进行恒等变形为：,的关系进行计算.,【例19】 求不定积分分析：(1)由于被积函数为三角函数有理,38,解法1：,令,，则,，于是,解法1： 令，则，于是,39,解法2：,由于被积函数可化为,的函数，可设,则,，于是,解法2：由于被积函数可化为 的函数，可设 则，于是,40,解法3：,由于,所以,注：(1),通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法3最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。,(2),在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。,解法3： 由于所以注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代,41,