2-机器人运动学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2,机器人运动学,齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述,齐次变换,机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵,机器人运动学方程及其求解,1,点的直角坐标描述,点的齐次坐标描述,坐标轴方向的齐次坐标描述,动坐标系位姿的齐次坐标描述,对象物位姿的齐次坐标描述,齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的,描述,2,点的直角坐标描述,点的直角坐标描述,式中：,P,x,、,P,y,、,P,z,是点,P,在坐标系,A,中的三个位置坐标分量。,3,点的齐次坐标描述,齐次坐标的表示不是惟一的，将其各元素同乘一非零因子,后，仍然代表同一点,P,，即,4,坐标轴方向的齐次坐标描述,坐标轴方向的描述,5,矢量位置与方向的描述,4,1,列阵,a,b,c,w,T,中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；,4,1,列阵,a b c,w,T,中第四个元素为零，且满足,a,2,+,b,2,+,c,2,=1,，则表示某轴（矢量）的方向。,6,用不同方向角表示方向矢量,u,、,v,、,w,如图所示，用齐次坐标写出矢量,u,、,v,、,w,的方向列阵,。,7,动坐标系位姿的齐次坐标描述,连杆位置和姿态的描述,连杆位置及姿态的描述,8,动坐标系位姿的齐次坐标描述,连杆位置和姿态的描述,动坐标系,B,的位姿描述,如图所示，固连于连杆的坐标系,B,位于,O,B,点，,X,b,=2,，,Y,b,=1,，,Z,b,=0,。在,XOY,平面内，坐标系,B,相对固定坐标系,A,有一个,30,的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系,B,的,4,4,矩阵表达式。,9,动坐标系位姿的齐次坐标描述,手部位置和姿态的描述,手部位置及姿态的描述,10,动坐标系位姿的齐次坐标描述,手部位置和姿态的描述,抓握物体,Q,的手部,手部抓握物体,Q,，物体是边长为,2,个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式,。,11,对象物位姿的齐次坐标描述,12,平移的齐次变换,旋转的齐次变换,平移加旋转的齐次变换,齐次变换,13,平移的齐次变换,点的平移变换,14,平移的齐次变换,相对于固定坐标系平移时，算子左乘；,相对于动坐标系平移时，算子右乘；,亦适用于坐标轴、矢量、坐标系、刚体的平移变换。,15,平移的齐次变换,动坐标系,A,相对于固定坐标系的,X,0,、,Y,0,、,Z,0,轴作,(,1,，,2,，,2),平移后到,A,；动坐标系,A,相对于自身坐标系的,X,、,Y,、,Z,轴分别作,(,1,，,2,，,2),平移后到,A,。,A,的矩阵表达式如下。写出坐标系,A,、,A,的矩阵表达式。,坐标系的平移变换,16,平移的齐次变换,动坐标系,A,的平移变换算子：,17,平移的齐次变换,18,平移的齐次变换,19,平移的齐次变换,物体,Q,相对于固定坐标系作,(2,，,6,，,0),平移后到,Q,，写出物体,Q,的矩阵表达式。,Q,的矩阵表达式如下。,物体,Q,在固定坐标系下,的位置变化,20,物体,Q,的平移变换算子：,平移的齐次变换,21,平移的齐次变换,22,旋转的齐次变换,点的旋转变换,23,旋转的齐次变换,式中：,24,旋转的齐次变换,25,旋转的齐次变换,点的一般旋转变换,该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕,X,、,Y,、,Z,轴进行旋转变换的情况；,相对于固定坐标系旋转时，算子左乘；,相对于动定坐标系旋转时，算子右乘；,亦适用于坐标轴、矢量、坐标系、刚体的旋转变换。,26,旋转的齐次变换,当,为,0,到,180,时，式中取正号,；,当,很小时，,很难确定转轴；,当,接近,0,或,180,时,，转轴完全不确定。,27,旋转的齐次变换,两次旋转变换,如图所示，已知坐标系中点,U,的位置矢量,U,=7 3 2 1,T,，将此点绕,Z,轴旋转,90,，再绕,Y,轴旋转,90,，求旋转变换后所得的点,W,。,28,旋转的齐次变换,手臂转动和手腕转动,如图所示为单臂操作手，并且手腕也具有一个旋转自由度。已知手部起始位姿矩阵为,G,1,。若手臂绕,Z,0,轴旋转,+90,，则手部到达,G,2,；若手臂不动，仅手部绕手腕,Z,1,轴旋转,+90,，则手部到达,G,3,。写出手部坐标系,G,2,及,G,3,的矩阵表达式。,29,旋转的齐次变换,30,平移加旋转的齐次变换,用平移算子（或旋转算子）乘上旋转算子（或平移算子）；,并不限定平移变换或旋转变换的次数或先后顺序；,运算规则同前，即凡相对于固定坐标系变换则算子左乘，相对于动定坐标系平移变换则算子右乘；,同样适用于坐标轴、矢量、坐标系、刚体的平移变换。,31,平移加旋转的齐次变换,如图所示，已知坐标系中点,U,的位置矢量,U,=7 3 2 1,T,，将此点绕,Z,轴旋转,90,，再绕,Y,轴旋转,90,，最后再作,4,i,-3,j,+7,k,的平移,，,求变换后所得的点,W,。,32,平移加旋转的齐次变换,楔块,Q,在固定坐标系下,的位置变化,如图所示的楔块,Q,，在图,(a),所示位置下描述它的齐次矩阵为,Q,(a,),，试求楔块经过绕固定坐标系,OXYZ,的,Z,轴旋转,90,，再绕,Y,轴旋转,90,，最后沿,X,轴方向平移,4,后（如图,(b),所示）的齐次矩阵表达式,Q,(b,),。,33,平移加旋转的齐次变换,34,机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵,连杆参数,连杆坐标系的建立,连杆坐标系之间的齐次变换矩阵,35,连杆参数,尺寸参数,36,关系参数,连杆参数,每个连杆可以由四个参数所描述：其中两个描述连杆尺寸，另外两个描述连杆与相邻连杆之间的连接关系；,移动关节：,d,n,为关节变量，其他三个参数固定不变；,旋转关节：,n,为关节变量，其他三个参数固定不变。,37,连杆坐标系的建立,连杆,n,坐标系（简称,n,系）的坐标原点位于,n,+1,关节轴线上，是关节,n,+1,的关节轴线与,n,和,n,+1,关节轴线公垂线的交点；,Z,轴与,n,+1,关节轴线重合；,X,轴与公垂线重合，从关节,n,指向关节,n,+1,；,Y,轴按右手螺旋法则确定。,38,连杆坐标系之间的齐次变换矩阵,令,n,-1,系绕,Z,n,-1,轴旋转,n,角，使,X,n,-1,与,X,n,平行，算子为,Rot(,z,n,),；,沿,Z,n,-1,轴平移,d,n,，,使,X,n,-1,与,X,n,重合，算子为,Trans(0, 0,d,n,),；,沿,X,n,轴平移,a,n,，使两坐标原点重合,，算子为,Trans(,a,n, 0, 0),；,绕,X,n,轴旋转,n,角，使,n,-1,系与,n,系重合，,算子为,Rot(,x,n,),。,39,连杆坐标系之间的齐次变换矩阵,在进行机器人设计时，常常使某些连杆参数取特别值，如使,n,=0,或,90,，或使,d,n,=0,，或使,a,n,=0,，从而简化矩阵,A,n,的计算，同时也可简化控制,。,40,机器人运动学方程及其求解,机器人运动学方程,正向运动学方程求解,反向运动学方程求解,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,41,机器人运动学方程,A,变换矩阵（,A,矩阵）：,描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵。,42,机器人运动学方程,手部坐标系相对于固定坐标系的位姿等于各连杆坐标系之间的变换矩阵的连乘，此即,机器人运动学方程,。,43,正向运动学方程求解,正向运动学方程求解：,已知关节变量,和,d,，求手部位姿各矢量,n,、,o,、,a,和,p,。,平面关节型机器人正向运动学方程求解,斯坦福机器人正向运动学方程求解,44,平面关节型机器人正向运动学方程求解,SCARA,机器人的坐标系,45,平面关节型机器人正向运动学方程求解,46,平面关节型机器人正向运动学方程求解,47,斯坦福机器人正向运动学方程求解,斯坦福机器人及坐标系,(a),斯坦福机器人,(b),坐标系,48,斯坦福机器人手臀坐标系,斯坦福机器人正向运动学方程求解,49,斯坦福机器人手臀坐标系,斯坦福机器人正向运动学方程求解,50,斯坦福机器人手臀坐标系,斯坦福机器人正向运动学方程求解,51,斯坦福机器人手腕关节,斯坦福机器人正向运动学方程求解,52,斯坦福机器人手腕坐标系,斯坦福机器人正向运动学方程求解,53,斯坦福机器人手腕坐标系,斯坦福机器人正向运动学方程求解,54,斯坦福机器人手腕坐标系,斯坦福机器人正向运动学方程求解,55,斯坦福机器人正向运动学方程求解,56,反向运动学方程求解,反向运动学方程求解：,己知手部要到达的目标位姿求关节变量，以驱动各关节的马达，使手部的位姿得到满足。,斯坦福机器人反向运动学方程求解,反向运动学方程求解的,注意事项,57,斯坦福机器人反向运动学方程求解,已知斯坦福机器人的运动学方程为,T,6,=,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,，以及,T,6,矩阵与各杆参数,a,、,、,d,，求关节变量,1,、,2,、,d,3,、,4,6,。,求,1,：,58,求,1,：,斯坦福机器人反向运动学方程求解,“,+,”,号对应右肩位姿，,“,-,”,号对应左肩位姿。,59,求,2,：,斯坦福机器人反向运动学方程求解,60,求,d,3,：,求,4,：,斯坦福机器人反向运动学方程求解,展开后取左、右两边第三行第三列相等：,61,展开后取左、右两边第一行第三列相等、第二行第三列相等：,求,5,：,斯坦福机器人反向运动学方程求解,62,求,6,：,展开后取左、右两边第一行第二列相等、第二行第二列相等：,斯坦福机器人反向运动学方程求解,63,斯坦福机器人反向运动学方程求解,分离变量法：,将一个未知数由矩阵方程的右边移向左边，使其与其他未知数分开，解出这个未知数，再把下一个未知效移到左边，重复进行，直至解出所有未知数。,分离变量法的特点：,首先利用运动方程的不同形式，找出矩阵中简单表达某个未知数的元素，力求得到未知数较少的方程，然后求解。,64,反向运动学方程求解的注意事项,解可能不存在,工作域外逆解不存在,65,解的多重性,逆解的多重性,反向运动学方程求解的注意事项,66,解的多重性,PUMA560,机器人的四个逆解,反向运动学方程求解的注意事项,67,解的多重性,避免碰撞的一个可能实现的解,反向运动学方程求解的注意事项,68,解析法：,适用于简单运动学方程,数值法：,适用于复杂运动学方程,运算速度,运算精度,求解方法的多样性,反向运动学方程求解的注意事项,69,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,式中矩阵前三列分别是手部坐标系的单位方向矢量,n,、,o,、,a,，规定了手部的姿态；,这种方法在作变换运算时十分方便，但利用它作手部姿态的描述并不方便，也不直观；而且,n,、,o,、,a,应满足正交条件,n,=,o,a,，,9,个元素中只有三个是独立的；,这就存在如何用,3,个参数简便、直观地描述手部姿态的问题。,70,角度设定法,RPY,角法和欧拉角法表示手部姿态,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,71,角度设定法：采用相对于参考坐标系或相对于运动坐标系作三次连续转动来规定姿态的方法。于是，机器人的手部位姿可用一个,6,维列矢量来表示：,角度设定法,式中：,x,、,y,、,z,表示手部位置；,x,、,y,、,z,分别为绕,X,轴、,Y,轴和,Z,轴的转角。,72,RPY,角法和欧拉角法表示手部姿态,RPY,角法（,x,-,y,-,z,角设定法,）,是手部相对于参考坐标系轴作三次连续转动获得规定的姿态；,先绕,X,轴转动,x,角，称为偏转,(Yaw),；再绕,Y,轴转动,y,角，称为俯仰,(Pitch),；最后绕,Z,轴转动,z,角，称为翻转,(Roll),，得到相应的旋转矩阵为：,73,RPY,角法和欧拉角法表示手部姿态,欧拉角法（,z,-,y,-,x,角设定法,）是手部相对于运动坐标系轴作三次连续转动获得规定的姿态；,如果转动顺序为,z,-,y,-,x,，则相应的旋转矩阵为：,同,RPY,角法得到的结果完全相同；,如果用其他顺序进行欧拉角三次连续转动，结果便不相同了。,知道了旋转矩阵后，则可由以上两式逆解出手部姿态的设定角。,74,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,当用机器人各连杆坐标系间的变换矩阵,A,i,来确定机器人手部位姿,T,6,时，,T,6,为,44,矩阵，手部的位置用,p,表示，,p,p,x,p,y,p,z,T,，手部的姿态用手部坐标系的,n,、,o,、,a,向量来表示；,A,i,是关节变量,q,的函数，,于是机器人运动学方程为：,75,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,于是机器人运动学方程为：,当用角度设定法表示手部位姿时，手部位置可用,p,x,、,p,y,、,p,z,来表示，它们是关节变量的函数；手部姿态可用,x,、,y,、,z,来表示，它们也是关节变量的函数，即：,76,X,=,X,(,q,),形式运动学方程,两式中右边均是广义关节矢量,q,（它构成,关节空间,）的函数，左边均是在直角坐标空间即,操作空间,中描述的手部位姿；,可见，运动学方程,T,6,=,T,(,q,),或,X=,X,(,q,),就是关节空间向操作空间的映射；,两式仅仅是描述姿态的方法不同。,77,