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,College Physics,大学物理,第一篇 力 学,4,前一章从,时间,的角度分析了力的累积效果，导出了,动量定理。,如果从,空间,的角度讨论运动的起点与终点的运动状态间的联系，或者说分析力的空间累积效果，是否有类似的定理,?,动能定理,多个质点组成的质点系是否有类似定理成立,?,第四章 功和能,4.1,功,一、功 功的计算,力在某一过程中对,空间,的累积效果，可以用,功,来表示。,1,直线运动中恒力的功,m,m,F,F,r,力对质点所作的功等于该,力,在位移方向上,的分量,与,位移大小,的,乘积,。,说明,功是,标量,，没有方向只有大小，但有正负,0,，力对物体,作正功,；,=/2,，,A=0,，力对物体,不作功,；,/,2,，,A 0 E,k,增大,A=0 E,k,不变,A 0 E,k,变小,质点的动能定理只适用于惯性系。,动能是状态量，功是过程量。,例,1,、,t=0,时质点位于原点，且初始速度为零,力随着质点运动的距离线性减小,x=0,时,F=F,0,x=L,时,F=0,。试求质点在,x=L/3,处的速率。,解：已知受力，求运动状态。选择坐标系：选运动为正方向；,写出力的表达式：,题目要求,L/3,处的速度大小,动能定理,设一系统有,n,个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：,A,1,A,2,A,n,使各个质点由初动能,E,k10,E,k20,E,kn0,变成末动能，,E,k1,E,k2,E,kn,作用于质点系的内力和外力所作的功等于系统动能增量,质点系的动能定理（一对内力做功不为零，内力做功也要改变系统的动能）。,二、质点系的动能定理,全部相加,每一个质点的动能定理,例,4-3,在图中，一质量为,m,，长为,l,的柔绳放在水平桌面上，绳与桌面间的摩擦系数,，试求：,1),绳下垂的长度,a,至少要多长才能开始滑动？,2),从下垂长度,a,开始滑动到绳子全部离开桌子时的速度？,解：分析系统所受外力为悬挂的链条部分的重力，且属于变力做功。选择竖直向下为,x,轴正方向；写出力的表达式：,元功表达式,元位移,从开始滑动到链条全部离开桌面，总功,根据质点系动能定理,末速度为,能用牛顿第二定律算吗？,例,1,、,木板,B,静止置在光滑水平台面上，小木块,A,放在,B,板的一端上，如图所示。设,A,与,B,之间的摩擦系数为,u,，,m,A,=m,B,，现在给小木块,A,一向右的水平初速度,v0,，如果,A,滑到,B,另一端时,A,、,B,恰好具有相同的速度，求,B,板的长度,L,以及,B,板滑动的距离,s,。,水平方向,AB,系统动量守恒：,可解出,B,板长度,再列出,AB,系统的动能定理,:,为求滑动距离，单独对,B,使用动能定理：,解得,解得,例,2,：,P,101,例,4.3,根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即,保守力与非保守力,。力学中最重要的保守力有三个：,重力、万有引力和弹性力,。我们来看看它们做功的特点：,4.3,势能,一、保守力和非保守力,1,、重力作功的特点,重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,o,h,h,2,mg,dh,dr,h,1,2,、弹性力作功,弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,o,x,x,1,dx,F,x,2,x,3,、万有引力作功的特点,万有引力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,dr,r,1,r,2,r,M,1,m,2,dl,保守力：,作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力,万有引力、重力、弹性力,保守力作功的数学表达式,保守力沿任意闭合路径运行一周作功为零。,保守力的判据。,非保守力：,作功与路径有关的力,摩擦力,1,、势能的概念,在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为,势能,。,Potential Energy,保守力作功等于势能,增量的负值,（势能的减少）,重力势能,引力势能,弹性势能,二、势能,2,、关于势能的说明,只有对,保守力,，才能引入势能的概念,势能是物体,状态,的函数,势能具有,相对性,，势能的值与势能的零点有关,重力势能：零点可以任意选择，一般选,地面,；,引力势能：零点选在,无穷远点,；,弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。,与参考系的选取有关吗？,势能属于,系统,，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。,重力势能：物体和地球组成的系统,引力势能：两个物体组成的系统,弹性势能：物体和弹簧组成的系统,各种势能可以相加，变为,总势能。,1,、重力势能,重力势能曲线：,令 处势能为零，则重力势能表示为：,（,r,o,处为势能零点）,2,、弹性势能,弹性势能曲线：,令 处势能为零，则弹性势能表示为：,3,、引力势能,引力势能曲线：,令 处势能为零，则引力势能表示为：,4.4,机械能守恒定律,质点系动能定理,质点系的功能原理,由外力与非保守内力所做功之和等于系统机械能的增量。,把质点系,动能定理和保守力做功,的特点结合起来，总结做功与能量的关系：,机械能定义,一、质点系的功能原理,保守力做功等于势能增量的负值。,对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能保持守恒。,成立条件,系统外力为零或者不做功，同时系统内力没有摩擦力等非保守力或者只有不做功的向心力等。,机械能守恒是如何实现的？,系统动能和势能通过内部保守力做功实现相互转化，但机械能保持不变。,二、机械能守恒定律,三、能量守恒定律,孤立系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但不论任何转换，能量既不能产生也不能消灭，总和不变。这就是,能量守恒定律,。,物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：,第一，从方法论上看：,利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、末态下结论。,第二，从适用性来看：,守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用,(,牛顿定律只适用于宏观、低速，,但由它导出的动量守恒定律的适用范围远它广泛，迄今为止没发现它不对过,),。,第三，从认识世界来看：,守恒定律是认识世界的有力武器。在新现象研究中，当发现某个守恒定律不成立时，往往作以下考虑：,(1),寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。,(2),引入新概念，使守恒定律更普遍化。,(3),无法,“,补救,”,时，宣布该守恒定律失效。,例题,1,、,两块质量各为,m,1,和,m,2,的木板，用劲度系数为,k,的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如图所示。问至少要多大的力,F,压缩上面的木板，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？,解：,加外力,F,后，弹簧被压缩，,m,1,在重力,G,1,弹性力,N,1,及压力,F,的共同作用下处于平衡状态，如图,a,所示，,一旦撤去,F,m,1,就会因弹力,N,1,大于重力,G,1,而向上运动,。只要,F,足够大以至于弹力,F,1,也足够大，,m,1,就会上升至弹簧由压缩转为拉伸状态，以致将,m,2,提高地面。,G,1,F,N,1,（,a,）,（,b,）,将,m,1,、,m,2,、弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力,F,撤离后，只有保守内力做功，该系统机械能守恒。设压力,F,撤离时刻为初态，,m,2,恰好提高地面时为末态。,设弹簧原长时为坐标原点和势能零点,，如图,b,所示，则,机械能守恒,应该表示为,式中,x,0,为压力作用时弹簧的压缩量，由图,a,可得,式中,x,为,m2,恰好能提高地面时弹簧的伸长量，由图,c,可知，此时要求,G,2,N,2,（,c,）,联立求解则可得,故能使,m2,提离地面的最小压力,例题,2,：,把质量为,m1,的木板连接在劲度系数为,k,的弹簧上，处于静止。另一质量为,m2,的小物体从离木板为,h,的高处下落，作完全非弹性碰撞，求弹簧给地面的最大压力。,木板和小球一起向下运动过程中，选择他们、弹簧和地球组成系统，机械能守恒。,以弹簧原长处为势能零点,且有,m,2,由,h,高度处自由下落，到达,m,1,处时速度为,m,2,和,m,1,发生完全非弹性碰撞，动量守恒,解：,弹簧对地面的最大作用力,联立求解,例题,3,：,在光滑水平面上，有一劲度系数为,k,的轻弹簧，一端固定于,O,点，另一端连接一质量为,M,的木块，处于静止状态。一质量为,m,的子弹，以速度,v,0,沿与弹簧垂直的方向射入木块，与之一起运动，如图所示。设木块由最初的,A,点运动到,B,点时，弹簧的长度由原长,l,0,变为,l,1,，求,B,点处的木块速度。,解：,子弹射入木块，水平方向动量守恒,子弹木块弹簧组成的系统，在木块上升过程中，机械能守恒（,只有弹性力做功，属于保守力做功,）。,弹簧拉力通过,O,点，木块子弹对于,O,点合外力矩为零，,因此角动量守恒,。,将第一式子整理，得,然后代入第二式子，可求出速度,v,最后代入第三式，有,例题,4,：,把地球看成半径,R=6.4*10,6,m,的球体，人造卫星正在地面上空,h=8.0*10,5,m,的圆轨道上，以,v=7.5*10,3,m/s,速度绕地球匀速率转动，如果卫星通过其上火箭的反冲，额外获得一个指向地心的分速度,v,1,=200 m/s,，从而使卫星改为椭圆运动。求卫星近地点和远地点到地面的距离。,有什么物理量守恒,?,解：,卫星受到的,引力力矩为零,，对地心的,角动量守恒,。分析,ABC,三点,的角动量情况（设近地点或远地点时距地心距离为,r,速度为,v),把卫星和地球看成系统，系统不受外力，内力为保守力，所以,机械能守恒,。,为了消去地球质量,M,，利用,圆周运动向心力公式：,联立以上三个方程，可解近地点和远地点的运动情况。,（,v,1,对,O,点的力矩为零，因为,v,1,指向地心）。,一三式子代入第二式子，可求出速度,v,所以可求出近地点远地点与地心距离,近地点与地面距离,远地点与地面距离,
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