经济数学-微分方程的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、问题的提出,二、微分方程的定义,三、主要问题求方程的解,四、小结 思考题,第一节 微分方程的基本概念,引言,对自然界的深刻研究,傅里叶,微积分,研究的对象是函数关系,但在,实际问题中,往往很难直接得到,所研究的变量之间,的函数关系,却,比较容易建立起,这些变量与它们的导数或微分之间,的,联系,从而得到一个,方程,即,微分方程,.,通过求解,这种方程,同样可以找到,指定未知量,之间的函数关系.,因此,微分方程是数学联,系实际,并应用于实际的重要,途径和桥梁,是各个学科,关于未知函数的导数或微分的,是数学最富饶的源泉.,进行科学研究的强有力,的工具.,如果,说“数学是一门理性思维的科学,是研究、,了,解和知晓现实,世界的工具”,那么微分方程就是显示,数学的这种威力和,价值的一种体现.,现实世界中的许,多实际问题,都可以抽象为,微分方程问题.,例如,物体,的冷却、,琴弦的振动、,电磁波的,传播等,都可以归结为,微分方程问题.,这时微分方程也称为,所研究问题的,数,学模型,.,微分方程是,一门独立的数学学科,有完整,的理论,体系.,本章我们主要介绍微分方程的一些,基本概念,种常用的微分方程的,求解方法,线性微分方程解的理,论.,几,解,一、引例,由题有,且满足：,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程:,凡含有未知函数的导数或微分的方程，,叫做微分方程.,例,实质:,联系自变量,未知函数以及未知函数的,某些导数(或微分)之间的关系式.,二、基本概念,分类1,:常微分方程,偏微分方程.,我们把未知函数为一元函数的微分方程,称为,常微分方程,.,类似地,未知函数为多元函数的微分方程,称为,偏微分方程,.,例如方程,是,偏微分方程.,微分方程的阶:,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数.,一阶微分方程,高阶微分方程,分类2:,常微分方程的一般形式是:,其中,为,自变量,是未知函数,在方程,中,必须出现,而其余变量,可以不出现,微分方程,中,其余变量,都没有出现.,能从方程,中,就得到微分方程,例如在,阶,如果,解出最,高阶导数,以后我们讨论的微分方程,主要是形如,的,微分方,程,并且假设,式右端的函数,在所讨论的范围内,连续.,分类3,:,非线性微分方程.,线性微分方程.,如果方程,可表示为如下形式:,则称方程,为,阶线性,微分方程,.,其中,和,知,函数.,全是一次幂。,否则统称为,非,线性,微分方程.,均为自变量,的已,即微分方程中所含的未知函数及其各阶导数,分类4,:单个微分方程与微分方程组.,例3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分,方程,的阶数.,解,(1),是一阶线性微分方程,因方程中含有的,和,都是一次.,(2),是一阶非线性微分方程,因方程中含有的,的平方项.,例3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分,方程,的阶数.,解,(3),是二阶非线性微分方程,因方程中含有的,的三次方.,(4),是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性,函数,和,微分方程的解:,代入微分方程能使方程成为恒等式,的函数.,微分方程的解的分类：,三、求方程的解,(1),通解,:微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,满足,(2),特解,:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图像:,微分方程的积分曲线.,通解的图像:,积分曲线族.,初始条件:,用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:,求微分方程满足初始条件的特解的问题.,解：,将,达,所求特解为,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,四、小结,本节基本概念：,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的,特,解.,练 习 题,练习题答案,