直角三角形的性质与判定

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.2.1,直角三角形（,1,）,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a.b,，斜边为,c,，那么,a,2,+b,2,=c,2,.,即,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（,pythagoras theorem,）,.,开启 智慧,a,c,b,勾,弦,股,预习展示,1,、,直角三角形的两个锐角有什么关,系？为什么？,定理,1,：直角三角形的两个锐角互余。,如果一个三角形有两个角互余，那么这个,三角形是直角三角形吗？为什么？,定理,2,：有两个角互余的三角形是,直角三角形。,勾股定理的证明,我能行,1,方法一,:,数方格,方法二,：割补法,方法三,：赵爽的弦图,方法四,：总统证法,方法五,：青朱出入图,这些证法你还能记得多少,?,你最喜欢哪种证法,?,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,(a+b),2,=,c,2,+4ab/2,a,2,+2ab+b,2,=,c,2,+2ab,a,2,+b,2,=c,2,大正方形的面积可以表示为 ；,也可以表示为,(a+b),2,c,2,+4ab/2,c,a,c,a,c,b,c,a,c,2,=4ab/2+(b-a),2,c,2,=2ab+b,2,-2ab+a,2,c,2,=a,2,+b,2,a,2,+b,2,=c,2,大正方形的面积可以表示为 ；,也可以表示为,c,2,4ab/2+(b-a),2,总统证法,这个证明方法出自一位总统,1881,年，伽菲尔德,(J.A.Garfield),就任美国第二十任总统,在,1876,利用了梯形面积公式,.,图中三个三角形面积的和是,2ab/2,c/2;,梯形面积为,(a+b)(a+b)/2;,比较可得,:,c,2,=a,2,+b,2,.,伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观,.,简捷,.,易懂,.,明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法,.,勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！,a,b,a,b,c,c,回顾反思,2,勾股定理,:,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。,命题,:,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。,合作探究,1,如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？,勾股定理的逆定理,我能行,3,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,.,已知,:,如图,(1),在,ABC,中,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,求证,:ABC,是直角三角形,.,a,c,b,A,B,C,(1),逆定理的证明,我能行,4,证明,:,作,Rt,ABC,使,C,=90,0,A,C,=AC,B,C,=BC(,如图,),则,已知,:,如图,(1),在,ABC,中,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,求证,:ABC,是直角三角形,.,a,c,b,A,B,C,(1),a,c,b,B,A,C,(2),A,C,2,+B,C,2,=A,B,2,(,勾股定理,).,AC,2,+BC,2,=AB,2,(,已知,),A,C,=AC,B,C,=BC,(,作图,),AB,2,=A,B,2,(,等式性质,).,AB=A,B,(,等式性质,).,ABC,ABC,(SSS).,A=A,90,0,(,全等三角形的对应边,).,ABC,是直角三角形,(,直角三角形意义,).,几何的,三种语言,回顾反思,5,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,.,这是判定直角三角形的根据之一,.,在,ABC,中,AC,2,+BC,2,=AB,2,(,已知,),ABC,是直角三角形,(,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,).,a,c,b,A,B,C,(1),命题与逆命题,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系,?,与同伴交流,.,再观察下面三组命题,:,如果两个角是对顶角,那么它们相等,如果两个角相等,那么它们是对顶角,;,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,如果小明发烧,那么他一定患了肺炎,;,三角形中相等的边所对的角相等,三角形中相等的角所对的边相等,.,上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗,?,与同伴进行交流,.,开启 智慧,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的,条件,和,结论,分别是另一个命题的,结论,和,条件,那么这两个命题称为,互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的,逆命题,.,开启 智慧,你能写出命题“,如果两个有理数相等,那么它们的平方相等,”的逆命题吗,?,它们都是真命题吗,?,想一想,:,一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题,?,定理与逆定理,一个,命题,是真命题,它逆命题却,不一定,是真命题,.,开启 智慧,我们已经学习了一些互逆的定理,如,:,勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等,;,内错角相等,两直线平行,.,你还能举出一些例子吗,?,想一想,:,互逆命题与互逆定理有何关系,?,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,蓄势待发,随堂练习,6,老师提示,:,你是否能将有关命题的知识予以整理,.,说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假,:,四边形是多边形,;,两直线平行,同旁内角互补,;,如果,ab=0,那么,a=0,b=0.,请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假,.,勾股定理,:,如果直角三角形两直角边分别为,a.b,，斜边为,c,，那么,a,2,+b,2,=c,2,.,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（,pythagoras theorem,）,.,勾股定理的逆定理,:,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,.,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的,条件,和,结论,分别是另一个命题的,结论,和,条件,那么这两个命题称为,互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的,逆命题,.,定理与逆定理,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,课堂小结,