随机数学作业(答案)全部

作业1 (随机过程的基本概念)1、对于给定的随机过程XCMeT及实数x,定义随机过程丫。)=1,%(/) x请将丫(。/e T的均值函数和相关函数用X(/),f e T的一维和二维分布函数表示。解：E(y(f)=p(x)4x) = 4。)j(s/)= E(y(s(7)=p(r(5)y(r)= i)= P(X(s)xl,X(t)0提示：Wiener过程就是指Brown运动。(1)令Z) = W(f) + 4f/20,由定义求得E(Z(f) = AtCz(s/) = cov(Z(s),Z(/) =(代入Z(t)的形式)=crmins, t具体在求的时候，可以先假设sKf,然后再求(下同)。(2)令Z) = w(r)+Xr,/NO,由定义求得 mt ) = 0Cz(s,/) = cov(Z(s),Z(/) = (代入Z(t)的形式)=/mins, t +st(3) Z(t) = aW(-),t0 a七(Z(f) = OCz(s,/) = cov(Z(s),Z(/) = (代入Z(t)的形式)=o二 mins, t(4) Z(r)=0七(Z(f) = 0Cz(s,/) = cov(Z(s),Z(/) = (代入Z(t)的形式)=o二 mins, t4、设随机过程X(f)/T,其中X) = Xcos()JR,且w为常数，X服从正态分布，EX=O,DX=1,求过程的一维分布密度和协方差函数。提示：容易证明，X(f)N(0,cos?(W),此即过程的一维分布。由n维正态随机变量的性质，ViGsTKXQjXG)服从二维正态分布。协方差阵等等也容易求。5、设Z(f)=X + H,/R,己知二维随机变量(X, Y)的协防差矩阵为 弓 0、，求Z(f) 的协方差函数。提示：cz(4,) = o(x)+/ 也。(丫)+A cov(y, x)+t2 cov(y, x)=。； + &+h)。+r 也区6、设有两个随机过程，乂(。= 4$皿(所+夕),丫) = 5$111(胡+。0),4民0为常数，0服从0,2句上的均匀分布，求&了64)。提示:Rxy= - AB cos(a)(t2 -1 J -(p) 7、设X(f) = Xo + H,S 口切，X。与y独立同分布，都服从N(0,l)的随机变量，证明XQ)JeT为二阶矩过程，也是正态过程。(易证，从略)8、在独立重系试验中，若每次试验时事件A发生的概率都为p(0p0为常数，求丫J20的一维分布，均值函数和相关函数。提示：Y(t) = N + L)- NPaL),从而得到Y(f)/2 0的一维分布(写出分布列即可)；由 Y(t) = N(t + L)NQ) P(AL),易得 E(Y(t) = AL相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关健步骤，其他自己补齐。一(取)=以丫($)丫(少=(代入丫 (t)形式展开)=& s + L,t + L) Rn(5 + L, /) Rn(5,/ + L) + Rn (s, f)= A2(s + L,t + L) + A niui(5 + L,t + L)-27(5 + L)-A min, s+ L)-A2s(t + L)-A min(s, / + L)+A2st +Amines,t)A213 + 4(L_ | f - s |),当 | f _ s 区 L1/I*,当|s| L,2、设N(/)/ 2 0是强度为2的Poisson过程，证明对于任意的0 2 = -hi0.2P(2V(2)1) = 1- P(N(2) 0为常 k数，如果任意两个时间间隔内呼叫次数是相互独立的，求在2t内呼叫n次的概率以,()。解： 记A表示时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为“左,则P(”J=月(k),第二时间间隔内P(A|%)=玖一左),于是nn 07 “一人C5、设随机变量X, Y相互独立，并分别服从参数为4,人的泊松分布，证明P(X=kX + Y = n) = C,：(1- 严，& = 0,1,4 +4Xj + /U证明:P(X + V = ) = X 尸(X = &, V = - ) = Z P(x = k)P(Y = n-k)Jt=On 2 kJ n-k= _ (-&)!k=0. (4 + 4P(X =kX + Y = n) =P(X=k,X + Y = n) P(X = k)P(X + Y = n)P(X + Y = n)P(X + Y = n)C：(l 一 7A, & = (M, 4 + 44 + A-6、设N),f 2 0是强度为之的Poisson过程，Pij(s,s + t) = P(N(s + t) = j N(s) = i),i, J = o,I,-,证明-j = ip (s,s + /)p (s,s).lim -:= A,j = i + lT0+t0,其他证明:Pu(s,s + t)-%(s,s) = P(N(s + t) = jN(5)= 0-P(N(s) = j| N(f) = i) =P(N(s + t) = j,N(s) = i) _ = P1N(s + t)-NG) = j-i,N(s) = i) _ P(N(s) = i) iJP(N(s) = i)ij=P(N(s + t)-N(s)= j-i)-8-.f (加)/ B= U-iY- Jo,jo+f/-o+ t，/=i+l0,其他/Ni + l 时,%(s,s + /)-%(s,s) 储乙-力广1 lim:= limta tth (j-i)!综上，结论成立。川7、设X(。=匕f2 0是复合PoISSon过程，2=5,且乂服从(1000,2000)内的均匀分布, (=1求X(t)的均值函数，方差函数和特征函数。解: 后匕=1500,七斤=，其特征函数是2000/5 _ 1000/5 % =1000/5E(X(7) = 5/xl500 = 7500fD(X (/) = 5/x-xlO6 =2000/5 _ 1000/5% (s) = exp 5-11000/5作业3 (更新过程)1、设X”, = l,2,是独立同分布的非负随机变量序列，且P(X“ = i) = p(l p)T,i = 1,2,，以X”, = 1,2,为更新时间间隔的更新过程N力之0,求尸N(f) = 以及更新函数。解：设时间间隔X”服从几何分布，X = i相当于在Bemou山试验中第i次试验取得成功,更新时刻0 =6相当于在Bemoulli试验中第k次试验取得第n次成功，即0, & n所以PN(t) = n=Fn(t)-Fn+l(t) = P(rn r)-P(r+1 a=45(小时)所以山】182 =工=-5 t / 453、设N(t),/NO是更新过程，更新间距X,i = 1,2,的概率密度函数是ae-KL),x 00, x k) 提示: 利用递推的方法，可求得akekap(t-kp)ketkp0,tOok=l提示：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由是它的更新函数，可知该更 新过程为Possion过程。从而更新间距Xj,i = l,2,相互独立同参数为4的指数分布那么exp(-rX,)=n 0exp(TX,) k=lk=lEexp(-/XA.)=elxAexdx = =然后代入上式即可作业4 （Markov过程）一、计算题1、设X,之0是齐次Maikov链，其状态空间石=。也c, 一步转移概率为矩阵为1/2 1/4 1/42/301/33/5 2/50设初始分布为 P(X0 = )= P(Xo =/?)=尸(X。= c) = l/3求(1) P(X1=b,X2=c,Xm=a,Xq=c)；(2) PXn.2=cXn=b).提布:（1）P(X=/?,X2 = c,X3 = a,X4=c)=P(X=a)x P(X、=b,X,= c, X3 = a,X4=cX=a) +P(X=b) x P(X = b, X2 = c, X,=a,X4=cX=b) +P(X=c) x P(X=b,X,= c, X3 =凡 X4 = c | X=c) 对于P(X=a) x P(X = b, X? = c, X3 =卬 X4=c | X=a)= P(X=a)xP(X=X=a)xP(X2 =cXl=b)x P(X3 =aX2=c)xP(X4 = cX.=a)=代入数据计算=.(2)P(X=cXn=b)=P(X2=cX0=b)=P(X2=c, Xl=aX0=b)+P(X2 = c, Xl=bXQ = b)+P(X2 = c, Xi=cXQ=b) 对于P(X1=c, X=4|X0=)=P(Xl=aX0=b)x P(X2 =cXY = a)=代入数据类似求其他当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态i,则下一步将以概率p(Opo,4 o46 462323 4、设齐次Maikov链X,20的状态空间是1,2,3,状态转移矩阵为q = lp,问该Maikov链X, 之0是否为遍历链，为什么？若是,求极限分布。解：由P =pq2 Pqpqq- + pqq-q-p-p-PQ+P2（十 pqq-pq2 Pqpqp-p-pq+p工种元素都大于0.说明3个状态互通，即具有相同的状态类型，由2=知道状态1为非周期态,于是3个状态都是正常返非周期态。由于每个元素都大于0,从而该Maikov链X, 0）是遍历链，于是极限分布就是平稳分布，设平稳分布为笈=（乙,%J，求解方程组71= 7lP立1 +丐+丐=1可得5、设Markov链X“2 0的状态空间是1,2,转移概率矩阵为一乙A000 1-P?0Pl00 1-% 0 .0 .P3 *0 I-Pk00* 0其中Pa= 1,2,，证明状态1为常返状态。解0,所以所有状态都是遍历状态，于是极限分布为平稳分布，设平稳分布为乃= （2,%,%），求解方程组4=乃尸/+丐+/ = 1可得阳,4、=，（=1 23 - 23 3 238 9 6即极限分布为4=（一,一,一）23 23 23二、证明题1、设匕,后=1,2,为相互独立的随机变量,证明（1）化,女=1,2,是 Markov链;（2 ） 匕, =1,2,是 Markov 链。Jt=l（课堂讲过，答案略。）2、设某人有把伞，分别放在家里和办公室里。如果他出门遇到下雨（概率为p（0 p 1）, 手边也有伞，他就带一把用，如果天晴他就不带伞，证明长时间后，此人遇到下雨手边却无伞可用的概率工工。4r解：令状态为此人身边所有的伞数，则转移概率为pQr = 1因为此时此人手头无伞可带！当手头有】把伞，而天不下雨，p.i = p所以也就无需带伞，因此另外一处有1T把伞；当手头有1把伞，而天下雨，p =p所以也就需带伞至另一处，因此另外一处有t-1+l把伞；i = 1,2,r可知状态（M,，1互通，且每个状态周期都为1,因此存在平稳分布，此时平稳分布就 是极限分布。设平稳分布为乃= %L,必,求解% =孔。+可尸/=九r-jq + r-y+1pJ = l,2,.,r-l ）=凡 qE 尸k =1#=0得到所以长时间后此人遇到下雨但无伞可带的概率为p7r0 = - 0, P,I = l，i = 1，2,Poo = PQ（1） Maikov链X, 2 0是常返的不可约的；（2） Maikov链X,/?2 0是零常返的充分必要条件是=oo：（3 ） Markov链X“, 2 0是正常返的充分必要条件是叩s ,且此时的平稳分布凡 n=l证明：（1）由于所有状态互通，所以所有状态具备相同的状态类型，又由于力，= /_】，从 而/oo = X = Zpat = l即状态是常返的，所以整个马链也是常返的。（2）注意到。= 我）=叩T及其整个马链所有状态互通即得。（3）类似于（2）,马链正常返的充要条件是p,ioc由于40= =-,所以利用乃0 = Po% + /得。ZP“T% =（1-幺）乐=等一=1由% = P乃0 + %得xZp.丐=（1一。一/九）纵=卢一工叩皿n=l由阳一1 = Pi.氏十 %得8Zp7=（1 一 Po - P】1）勺=萨一叩,1=1