随机变量的数字特征剖析

第四章 随机变量的数字特征由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律， 然而在一些实 际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问 题，并不要求全面考察随机变量的统计规律， 而只需知道它的某些特征，因而并 不需要求出它的分布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的 平均寿命，即其平均寿命是一个重要指标.这就是说，随机变量的平均值，常常 是一个重要的数量特征。在考察日光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其 质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好的。随机变量与其平均值偏离的程 度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的数量，虽不能完整地描述它 的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上 都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学期望、方差、 相关系数和矩。4.1随机变量的数学期望4. 1. 1离散型随机变量的数学期望1 .甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如甲：乙:环数8 9 10次数20 50 30试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？解 从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来 评定其技术优劣。甲平均射中的环数为(环)(8x30 + 9x10 + 10x60) -5-100 = 8x0 3+9x0 1 + 10x0 6 =93乙平均射中的环数为母父20 + 9乂50 + 1005 + 10父0.3=91（环），30本例中-故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。= 0.3, 0.6,= 05100100等是事件X 一处在100次试验中 发生的频率（工为命中环数），当射击次数相当大时，这个频率接近于 事件=舟一次试验中发生的概率P&,上述平均环数的计算可表示为10下切艮心 ,称之为随机变量X的数学期望或均值.下面给出定义。定义4.1设离散型随机变量了的分布律为KX =以)=外收=12A ,若级数2绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为E（黑）,即.(4-1)随机变量元的数学期望五（幻完全是由元的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数 2绝对收敛。若级数工兀Jtpjt2 不绝对收敛，则称随机变量万的数学期望不存在若把打mA看成由上质点的坐标，而必必，A，巧,A看成相应质工兀JtFJt点的质量，质量总和 =1,则(4-1)式就表示质点系的重心坐标2 .设随机变量舞解由(4-1)式有211E(X) = -lx_ + 3x_ = _333.12若将此例视为甲、乙两人“赌博”，甲赢的概率为 3 ,输的概率为3，但甲每赢与幻=-一次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则3是指甲平均每次1可赢3元。每个“赌徒”在参加赌博时，心中首先要盘算这个数字。这正是称以团为“期望”的原因。按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆公交车到站，各车 到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，具规律为到站时刻8:109:108；309:30概率25图 5其乘客8:20至IJ站，求他候车时间的数学期望。解设乘客的候车时间为万（单位为分），若该乘客8:20到车站，而8点至I 9点的一趟车已于8:10开走，第二趟车9:10开，则他候车的时间为50分钟，对应 的概率为事件”第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率，即P(X = 50) = - x 1 = -L5 5 25.该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间 X的分布律为出1030507090PI囤 52151 1一 X 一5 51 2- X 一5 5fl 2一 X5 5从而该乘客候车时间的数学期望为22122E（X） =10x_ + 30x_ + 50x_ + 70x_4-90x_ = 30.855252525（分）.例4从一个装有。相个白球和杵个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每 次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望.解 设取出的红球数为 天，则星的分布律为PX =幻=( 1-1 上=0J2A则F(N 加焦0,L2,A ,于是后=切%=2应切iA=0jfc=llimP| 名ETco n-p 二 1Q - p)2 q m4. 1。2连续型随机变量的数学期望若尤为连续型随机变量，其密度函数为/,则了落入+公）内的概率 可近似地表为以）心,它与离散型随机变量的股类似，下面给出定义。定义4.2设连续型随机变量了的密度函数为书W。若积分L绝对收敛,称该积分值为随机变量 元的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为矶幻,若积分不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在设在x轴上连续分布着质量，具线密度为 了（工），则由口fa）dx.二口（工）去可知 以工)的物理意义是质量密度为 以工)的一维连续质点系的质量中心的坐 标。例5设随机变量X服从柯西(Cauchy)分布，其密度函数为f(x) = 7,一 X +81 + x)2试证X的数学期望不存在证因为,0.歹(X)0,X0若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命 N的数学期望；1.若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命 M的数学期望。2,若将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望。解由随机变量函数的分布可知的分布函数为为。）=1- 1一歹 F 二1-之与之00?x00?x00tx0其密度函数为Ar(x)=后舷)=O)公=X -51-目-&-dx =Jf：P60E(M) _ 137/602 -p J. j. .HrE(N) 1/5 久可知，同样5个电子装置，并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命 的11.4倍。3.随机变量函数的数学期望在实际问题中常常需要求出随机变量的函数的数学期望，例如且,要求矶门。我们可以不必求出产的密度函数，而直接由X的密度函数来求*, 下面的定理说明了这点。定理4.1设随机变量y是随机变量x的函数y = g（x）（名为连续函数）。1 .设X为离散型变量，其分布律为?吠=*）=上/=1工鼠几）取若级数2绝对收敛，则有=g（x）=g&）外. jt-i2 .设X为连续型变量 淇密度函数为,8。若积分 鼠工）工其绝对收敛，则有现F）=现皆（*）=这个定理说明，在求y=（x）的数学期望时，不必知道y的分布而只需知道x 的分布即可。定理的证明超出了本书的范围，此处从略。这个定理还可以推广到两个或多个随机变量的函数的情况。设Z是随机变量X , y的函数Z=g（2 J）（M为连续函数），则z也是一个随机 变量.若(x,y)为离散型随机变量，且其联合分布律为F(N 三,F = K)=% 3 J =12)则有双2) = Eg(X, 7) = g .)p于 i= J =若(X,F)为连续型随机变量，且其联合密度函数为 义工,则有颐Z)-胤且 &肛-r C,yyfyydxdy-Jr J 3这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的。例7设随机变量X服从参数为的二项分布 J = g ，求E(Y )1解因为之 ,分布律为KX =篦)=就=。工2产,所以s(y)= e(产)= *匕*%*=内汨2 保=030-其中；I8.设二维随机变量()的密度函数为/，、卜十以 0 ,1, 0y 1)。， 其他求”1（AF）=宜口炉区处改力=（二2Toe 十 y）dxdy=例9设二维随机变量（* ）的密度函数为0为 y x)dxdy =m fy ydxdy=草/8 阳dx = e/y).这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，即若占,“2,，匕 为相互独立的随机变量，则有E 因占.匕)=E(X1)E(XJ (M例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车 站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车班车就不停。 设每位旅客在各个车站 下车是等可能的。且各旅客是否下车相互独立，以*表示停车的次数，求夙万)。解设随机变量又=第i个车站无人下车 也三 i一 1”_1210 (=1,2,.10)则有J 一由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为10, 3 表示第i站没有旅客下车，故20位旅客都不在第i站下车的概率为10/ ,在第i站有人下车的概19 fo1 - 率为，于是得丫5的分布律如下：因此X01P(9/10) 201-(9/10) 20209 ) io;J =1,2,.10,从而E(X)= E(& + 占 + + 占 0)= E(X1) + E(X2) + + E(XJE(X )这表明班车平均停车约9次。类似本例将片分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求片的数学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。CODD例13设二维随机变量密度函数为她 依试验证引刈=矶加卫,但y是不独立的.()= JT= 1 xdx 21 ydy = 0.解因为小心充卜尸E（X）= f x -dxdy = 0,/胡i汗E=jT y Kizdy = 0? if 北所以 L），,:一X的边缘密度函数八=分-:的=）也一工2,1 x L1 八小-E（M，汽）即/L0）=及出口汽TVM1同理可得y的边缘密度函数I 因为，所以*和是不独立的。本例说明由双切=（x）eq是不能得出X和产是相互独立的结论的