随机过程习题

一.填空题(每空2分，共20分)(eit -1)I1 .设随机变量X服从参数为的泊松分布，则 X的特征函数为e ( )。2 .设随机过程X(t)=Acos( t+ ),- t 其中为正常数，A和是相互独立的随机变量,且A和服从在区间0,1上的均匀分布，则 X(t)的数学期望为1(sin( t+1)-sin t)。1-的同一指数分布。23 .强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为4 .设 Wn,n 1是与泊松过程 X(t),t 0对应的一个等待时间序列，则 Wn服从 分布。5 .袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t应随机变量X(t)t3te ,如果t时取得红球如果t时取得白球则 这个随机过程的状态空间鸿2L6 .设马氏链的一步转移概率矩阵P=(Pj) , n步转移矩阵P(pjn),二者之间的关系为PPn。7 .设Xn,n 0为马氏链，状态空间I ,初始概率piP(Xo=i),绝对概率pj(n)P Xn j ,n步转移概率pjn),三者之间的关系为pj(n) pi p(n)。i I8 .在马氏链 Xn,n 0 中，记 fj(n)P Xv j,1 v n-1,XnjX。 i ,n 1,fjfijn),若f ii 1,称状态i为非常退的。n=19 .非周期的正常返状态称为遍历态一10 .状态i常返的充要条件为p(in) _on=0三.计算题(每题10分，共50分)cos t H1.抛掷一枚硬币的试验， 定义一随机过程：X(t)=t T1,t (- ,+ )，设 p(H)=p=了求(1) X(t),t ()的样本函数集合；(2) 一维分布函数 F(x;0),F(x;1)。解：(1)样本函数集合为cos t,t ,t (- ,+ )；(2)当 t=0 时，P X(0)=0 P X(0)=1x0故 F(x;0)二1-0 x1 ;同理 F(x;1)= 21 x 10121x-11 x0,此链有遍历性;设极限分布1,方程组1132133211 T32 5123112001200141414001125.设有四个状态1= 0,1,2,3的马氏链，它的一步转移概率矩阵P= 12140(1 )画出状态转移图；(2 )对状态进行分类；(3)对状态空间I进行分解。解：(1)图略；(2) p33 1/p30, p31, p32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记 C1= 3 ； 0, 1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2= 0,1 ,且它们都是正常返非周期状态；由于状态 2可达C1, C2中的状态，而 C1, C2中的状态不可能达到它，故状态 2为非 常返态，记D= 2。(3)状态空间I可分解为：E=D C1 C23、(10分)某商店顾客的到来服从强度为 4人每小时的Poisson过程，已知 商店9: 00开门，试求：(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2)若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到 来的概率。二、(12分)设随机过程X(t, ), t只有两条样本函数X(t, 1) 2cost, X(t,必) 2cost, t且 P( 1) 0.8 , P( 2) 0.2,分别求：(1) 一维分布函数 F(0;x)ffi F(-;x);4(2)二维分布函数F(0, ;x,y)4四、(12分)设在0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是2.5 (人/分)的泊松过程，试求：(1)在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；(2)第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率;(3)相邻两乘客到达售票处的平均时间问隔。七、(16分)已知齐次马氏链X(n),n 0,1,2,L的状态空间为E 1,2,3,状态转移矩 阵为131P -201133114 45 16 4(1)画出概率转移图；(2)求二步转移矩阵及转移概率P1(4);(3)此链是否为遍历的，试求其平稳分布。1、(10分)有随机过程 (t),- t 和 (t),- t ，设(t)=A sin( t+ ), (t尸B sin( t+ + ), 其中A, B,为实常数， 均匀分布于0, 2, 试求R (st)1、(15分)设随机过程X(t) Rt C, t (0, ), C为常数，R服从0,1区间上的均匀分布。(1)求X (t)的一维概率密度和一维分布函数；(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。2、(15分)设 W(t), t是参数为2的维纳过程，RN(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的t , W与R均独立。令X(t) W(t) R,求随机过程X(t), t 的均值函数、相关函数 和协方差函数。3、(10分)设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即 180;且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。4、(15分)设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.3 0.70P 00.20.80.700.3(D求两步转移概率矩阵Pg及当初始分布为PXo 1 1, PXo 2 PXo 30时，经两步转移后处于状态2的概率。(2)求马尔可夫链的平稳分布。5、(15分)设马尔可夫链的状态空间I 1,2,3,4,5,转移概率矩阵为：0.30.40.3 000.60.4000P 010000000.30.700010求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、(15分)设N(t),t 0是参数为 的泊松过程，计算E NN(t s)。7、(15分)考虑一个从底层启动上升的电梯。以 Ni记在i第层进入电梯的 人数。假定Ni相互独立，且Ni是均值为i的泊松变量。在第i层进入的各 个人相互独立地以概率Pj在第j层离开电梯，pj 1。令Oj =在第j层离开电梯的人数。(1)计算 E(Oj)(2) Oj的分布是什么(3) Oj与Ok的联合分布是什么