离散型随机变量的方差课件

教育部重点课题新教育子课题教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践 教育部重点课题新教育子课题1 一一、为什么要取名数字特征、为什么要取名数字特征?是相对于什么而言是相对于什么而言?事物事物有数字特征也有物理特征、化学特征，我们是学习有数字特征也有物理特征、化学特征，我们是学习数学，所以从数字特征着手。比如水的物理特征就是无色、液体，数学，所以从数字特征着手。比如水的物理特征就是无色、液体，化学特征是有氢、氧构成化学特征是有氢、氧构成。二、二、1、同学们、同学们还记得三个数字特征吗？还记得三个数字特征吗？众数众数、中位数、平均数。、中位数、平均数。请同学们从下列数据中选出众数、中位数、平均数。请同学们从下列数据中选出众数、中位数、平均数。1，2，3，4，4，5，5，5，6，7，8，8，9答：众数答：众数5，中位数，中位数5，平均数，平均数67/13 2、还、还记得众数、中位数、平均数是什么意思吗记得众数、中位数、平均数是什么意思吗？一、为什么要取名数字特征?是相对于什么而言?2 答：顾名思义。答：顾名思义。所谓众数，就是这些数据中出现次数最多的那个。所谓众数，就是这些数据中出现次数最多的那个。求中位数时，首先要按从小到大的顺序来对这一组数据进求中位数时，首先要按从小到大的顺序来对这一组数据进行排序，然后算出中位数的序号，可根据数据的多少分为奇数个与行排序，然后算出中位数的序号，可根据数据的多少分为奇数个与偶数个两种来求。即：如果总数个数是奇数的话，按从小到大的顺偶数个两种来求。即：如果总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话，按从小到大的顺序取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话，按从小到大的顺序取中间那两个数的平均数。序取中间那两个数的平均数。中位数与平均数是唯一存在的，而众数是不唯一的。中位数与平均数是唯一存在的，而众数是不唯一的。三三、我们知道如果分析数据得到频率分布直方图时有优、我们知道如果分析数据得到频率分布直方图时有优点也有缺点。优点就是具体直观，缺点就是原始数据丢失了。点也有缺点。优点就是具体直观，缺点就是原始数据丢失了。那那好如果给你个频率分布直方图你如何求这些数据的众数、好如果给你个频率分布直方图你如何求这些数据的众数、中位数、平均数？注意，原始数据已经丢失。中位数、平均数？注意，原始数据已经丢失。大家大家还是继续看这个有关自来水公司的频率直方图的例还是继续看这个有关自来水公司的频率直方图的例子，注意原始数据已经丢失，子，注意原始数据已经丢失，我我们求它的众数、中位数、平均数。们求它的众数、中位数、平均数。答：顾名思义。三、我们知道如3 答答：众数：最高的矩形：众数：最高的矩形中点中点 中位数中位数：中位数左边和右边的直方图的面积应该相等：中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。平均数平均数：等于频率直方图中每个小矩形的面积乘以：等于频率直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。小矩形底边中点的横坐标之和。答：众数：最高的矩形中点 中位数4 复习复习上节课上节课：一、为什么众数是最高的矩形中点的横坐标？原因是众数是出现次数一、为什么众数是最高的矩形中点的横坐标？原因是众数是出现次数最多的数，即频率是最大的即面积最大，那只有在最高矩形中点这个地方在它周最多的数，即频率是最大的即面积最大，那只有在最高矩形中点这个地方在它周围任意截取任意部分面积会最大。围任意截取任意部分面积会最大。二、中位数为什么是左边和右边的直方图的面积应该相等。因为中位二、中位数为什么是左边和右边的直方图的面积应该相等。因为中位数位置处于中间。数位置处于中间。三、平均数为什么是等于频率直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形三、平均数为什么是等于频率直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和？原因是平均数可以说成求图形的重心，只有在小矩形底底边中点的横坐标之和？原因是平均数可以说成求图形的重心，只有在小矩形底边中点，这矩形才能平衡。比如用筷子支撑，只有在小矩形中点才能平衡。求平边中点，这矩形才能平衡。比如用筷子支撑，只有在小矩形中点才能平衡。求平均数我们不追求深层次的理解，我们追求直观理解。算出来后用筷子支撑在那个均数我们不追求深层次的理解，我们追求直观理解。算出来后用筷子支撑在那个点整个图像能保持平衡。点整个图像能保持平衡。1、数据对众数、中位数、平均数有什么影响？数据对众数、中位数、平均数有什么影响？答答：、众数通常用来表示分类变量的中心值，但它只能、众数通常用来表示分类变量的中心值，但它只能表达样本数据中的很少一部分信息。表达样本数据中的很少一部分信息。、中位数不受少数几个极端数据的影响。、中位数不受少数几个极端数据的影响。、平均数受样本中每一个数据的影响，越离群的数据对、平均数受样本中每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响最大。平均数代表了数据更多信息。平均数的影响最大。平均数代表了数据更多信息。总结总结：平均数的优点和缺点。：平均数的优点和缺点。复习上节课：5 一一、1、在甲乙两地人口算、在甲乙两地人口算130万人，人们的年平均收入都万人，人们的年平均收入都是是3万元。万元。甲甲地人民比如绝大多数老百姓年收入只有地人民比如绝大多数老百姓年收入只有2000元，而少部元，而少部分人年收入达分人年收入达1000万。万。在在乙地绝大部分人年收入在乙地绝大部分人年收入在2.5万，少数人年收入只有万，少数人年收入只有2000元，少数人年收入超过元，少数人年收入超过10万但年收入最多也不超过万但年收入最多也不超过15万万。问问你喜欢居住在哪地？你喜欢居住在哪地？答答：甲地是两级分化严重，贫富差距巨大，这个地方治安：甲地是两级分化严重，贫富差距巨大，这个地方治安状况非常乱，有强盗、小偷、黑社会猖獗、政府是贪污腐败。比如状况非常乱，有强盗、小偷、黑社会猖獗、政府是贪污腐败。比如中国中国 乙乙地人民可以安居乐业。比如北欧、日本。地人民可以安居乐业。比如北欧、日本。一、1、在甲乙两地人口算130万人，人们的年62、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的次，每次命中的环数如下：环数如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7、求求平均成绩。平均成绩。、哪个水平高？、哪个水平高？二、再一次说说平均数的优点缺点。二、再一次说说平均数的优点缺点。平均数会掩盖一些极端情况，但在现实中极端情况是很重要的，重平均数会掩盖一些极端情况，但在现实中极端情况是很重要的，重要到一个国家的社稷安危，一个政党的存亡要到一个国家的社稷安危，一个政党的存亡。光看平均数看不出什。光看平均数看不出什么名堂么名堂所以除了用平均数这个数字特征描述数据外，还必须用一个新的数所以除了用平均数这个数字特征描述数据外，还必须用一个新的数字特征描述数据。这新的数字特征就是标准差或方差。字特征描述数据。这新的数字特征就是标准差或方差。那标准差或方差是什么东西？那标准差或方差是什么东西？2、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的7三、三、在两个数轴上、在两个数轴上分别分别有有两两个点，他们对应的数的平均值相同，个点，他们对应的数的平均值相同，但一个靠得近一个靠得远，问同学们用什么东西来刻画这种离散性。但一个靠得近一个靠得远，问同学们用什么东西来刻画这种离散性。注意：顾名思义注意：顾名思义“离散离散”。、如果数轴上有三个数呢？如何刻画这种离散性？如果一条数轴、如果数轴上有三个数呢？如何刻画这种离散性？如果一条数轴3个数，一条数轴个数，一条数轴4个数呢？个数呢？、如果是、如果是n个数呢？个数呢？四、四、标准差公式、标准差公式、标准差的意义（从符号语言和图形语言来解释）、标准差的意义（从符号语言和图形语言来解释）、求出两位射击运动员射击的标准差，说说谁射击水平高？你能、求出两位射击运动员射击的标准差，说说谁射击水平高？你能把它们的离散性用图形语言表达出来吗？把它们的离散性用图形语言表达出来吗？五、自学例五、自学例1、例、例2。你会用计算器或计算机求标准差吗？你会用计算器或计算机求标准差吗？三、在两个数轴上分别有两个点，他们对应的数的平均值相同，8考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差标准标准差差是样本平均数的一种平均距离，一般用是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示表示所谓所谓“平均距离平均距离”，其含义可作如下理解：，其含义可作如下理解：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差标准差9由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差式来计算标准差由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计102024/7/19南粤名校南海中学制作者：陈晓琳制作者：陈晓琳200706102023/8/15南粤名校南海中学2.3.2离散型随机变112024/7/19南粤名校南海中学一、复习回顾一、复习回顾1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望2、数学期望的性质、数学期望的性质数学期望是反映离散型随机变量的平均水平数学期望是反映离散型随机变量的平均水平2023/8/15南粤名校南海中学一、复习回顾1、离散型122024/7/19南粤名校南海中学某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的；则所得的平均环数平均环数是多少？是多少？二、互动探索二、互动探索X1234P2023/8/15南粤名校南海中学某人射击10次，所得环132024/7/19南粤名校南海中学某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的；则这组数据的方差方差是多少？是多少？反映这组数据相对于平均值的集中程度的量反映这组数据相对于平均值的集中程度的量加权平均加权平均2023/8/15南粤名校南海中学某人射击10次，所得环142024/7/19南粤名校南海中学离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：则称则称为随机变量为随机变量X的的方差方差。称称为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。程度越小，即越集中于均值。2023/8/15南粤名校南海中学离散型随机变量取值的方152024/7/19南粤名校南海中学三、基础训练三、基础训练1、已知随机变量、已知随机变量X的分布列的分布列X01234P0.1 0.2 0.4 0.2 0.1求求DX和和X。解：解：2023/8/15南粤名校南海中学三、基础训练1、已知随162024/7/19南粤名校南海中学2、若随机变量、若随机变量X满足满足P（Xc）1，其中，其中c为常数，求为常数，求EX和和DX。解解：XcP1离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列为：的分布列为：EXc1cDX（cc）2102023/8/15南粤名校南海中学2、若随机变量X满足P172024/7/19南粤名校南海中学四、方差的应用四、方差的应用例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分分布列如下：布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分配在环，而乙得分比较分散，近似平均分配在810环。环。2023/8/15南粤名校南海中学四、方差的应用例：甲、182024/7/19南粤名校南海中学问题问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手环左右，应派哪一名选手参赛？参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手环左右，应派哪一名选手参赛？参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.42023/8/15南粤名校南海中学问题1：如果你是教练，192024/7/19南粤名校南海中学练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？2023/8/15南粤名校南海中学练习：有甲乙两个单位都202024/7/19南粤名校南海中学解：解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。2023/8/15南粤名校南海中学解：在两个单位工资的数212024/7/19南粤名校南海中学相关练习：相关练习：3、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中，现从中任意地连续取出任意地连续取出200件商品，设其次品数为件商品，设其次品数为X，求，求EX和和DX。117100.82，1.982023/8/15南粤名校南海中学相关练习：3、有一批数222024/7/19南粤名校南海中学六、课堂小结六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式、记住几个常见公式2023/8/15南粤名校南海中学六、课堂小结1、离散型23样本样本离散型随机变量离散型随机变量均均值值公公式式意意义义方方差差或或标标准准差差公公式式意意义义随着不同样本值的变化而变化是一个常数随着不同样本值的变化而变化，刻画样本数据集中于样本平均值程度是一个常数，反映随变量取值偏离均值的平均程度，DX,越小，偏离程度越小.样本离散型随机变量均公式意义方差公式意义随着不同样本值的变化24期望期望反映了X取值的平均水平。方差意义则EX=np(3)若XB（n,p）则 DX=np(1p)计算公式(3)若XB（n,p）(2)若X服从两点分布，则 DX=p(1-p)方差反映了X取值的稳定与波动，集中与离散程度(2)若X服从两点分布，则 EX=p期望期望反映了X取值的平均水平。方差意义则EX=np(3)25