第十一章-能量方法课件

第十一章第十一章第十一章第十一章 能量方法能量方法能量方法能量方法 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)113 卡氏第二定理卡氏第二定理111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：弹性体内部所贮存的变形能，在忽略热能、声能、动能等情况下,数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。2.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：3.3.弯曲杆的变形能计算：忽略剪力的影响弯曲杆的变形能计算：忽略剪力的影响三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式：变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。QTMAAPNBj jt例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）求内力APR外力功等于应变能变形能：例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBy112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)求任意点A的位移yA。一、定理的证明：一、定理的证明：aA图yAq(x)图c A0P=1q(x)yA图b A=1P0 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项:(以梁为例以梁为例)M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0(x)：去掉主动力，在所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。结构处于线弹性状态。结构处于线弹性状态。例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0P=1x变形BAaaC0P=1BAaaCqx求转角，重建坐标系（如图）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()()()()(00)(00+=aBCaACx2EIx2Mx2Mdx1EIx1Mx1M例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：画单位载荷图求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P0变形计算位移与单位力同向为正.四、莫尔积分的图乘法四、莫尔积分的图乘法以含弯矩项的莫尔积分为例,梁为等截面.xxMM(xM(x)x xdxdxC Ca ax x载荷弯矩图的微元面积:单位载荷弯矩图上任意点的纵坐标可表示为:注意:1.当单位载荷引起的弯矩图的斜率变化时,图形互乘时需要分段进行,每一段内的斜率必须是相同的.2.上述图乘法的基本原理也适用于其他内力分量N,的莫尔积分.113 卡氏第二定理卡氏第二定理给Pn 以增量 dPn，则：1.先给物体加P1、P2、Pn 个力，则：2.先给物体加力 dPn，则：一、定理证明一、定理证明 d dn再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：d dnn=nPU d d卡氏第二定理卡氏第二定理 意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano，18471884)二、使用卡氏第二定理的注意事项：二、使用卡氏第二定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 n n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。当无与 n n对应的 Pn 时，先加一沿 n n 方向的 Pn，求偏导后，再令其为零。d dn三、特殊结构（杆）的卡氏第二定理：三、特殊结构（杆）的卡氏第二定理：例例5 5 结构如图，用卡氏第二定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系将内力对PA求偏导AlPEIxO 求转角 A求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明 A与所加广义力MA反向。将内力对MA求偏导后，令M A=0求变形（注意：M A=0）lxO APMAEIPlA22=例例6 结构如图，用卡氏第二定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 y（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与y（x）相对应的力，加之。PAlxBPx CyxOx1变形（注意：Px=0）例例7 等截面梁如图，用卡氏第二定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，将内力对RC求偏导取静定基如图PCAl0.5 LByxOPCAl0.5 LBRC变形2.求将内力对P求偏导求内力变形解：画单位载荷图求主要内力例例8 边长为a开口正方形结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB11x1x3x2变形