第6章常微分方程数值解法教学课件

兰州交通大学数理与软件工程学院引言 在科学技术和工程实际问题中，常常需要求解常微分方程。我们学习过几种类型的常微分方程的解析解求解方法，在更多情况下，无法求得解析解。而在多数工程应用问题中，往往不一定要求解析解，只需知道解在若干点上的函数值，即求数值解。兰州交通大学数理与软件工程学院常微分方程初值问题 求其数值解，就是计算出解函数()在离散点 处的近似值 。兰州交通大学数理与软件工程学院6.1 初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题的Euler方法兰州交通大学数理与软件工程学院xEuler法y改进的Euler法y 精确解01.000000 1.0000001.0000000.11.000000 1.0959091.0954450.21.191818 1.1840971.1832160.31.277438 1.2662011.2649110.41.358213 1.3433601.3416410.51.435133 1.4164021.4142140.61.508966 1.4859561.4832400.71.580338 1.5525141.5491930.81.649783 1.6164751.6124520.91.717779 1.6781661.6733201.01.784770 1.7378671.732051兰州交通大学数理与软件工程学院6.1.2 误差概述兰州交通大学数理与软件工程学院误差概述兰州交通大学数理与软件工程学院误差概述兰州交通大学数理与软件工程学院误差概述兰州交通大学数理与软件工程学院6.1.3 数值稳定性分析兰州交通大学数理与软件工程学院数值稳定性分析定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。隐式Euler法是A稳定的。兰州交通大学数理与软件工程学院6.2 Runge-Kutta方法兰州交通大学数理与软件工程学院Runge-Kutta方法兰州交通大学数理与软件工程学院Runge-Kutta方法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 Runge-Kutta方法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院6.2.2 四阶Runge-Kutta方法兰州交通大学数理与软件工程学院四阶Runge-Kutta方法兰州交通大学数理与软件工程学院6.2.3 R-K法的稳定性兰州交通大学数理与软件工程学院R-K法的稳定性兰州交通大学数理与软件工程学院R-K法的稳定性兰州交通大学数理与软件工程学院6.2.5 隐式R-K法兰州交通大学数理与软件工程学院隐式R-K法兰州交通大学数理与软件工程学院隐式R-K法兰州交通大学数理与软件工程学院隐式R-K法兰州交通大学数理与软件工程学院隐式R-K法兰州交通大学数理与软件工程学院6.3 线形多步法单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1，yn-r(r1)的信息去计算yn+1。考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为兰州交通大学数理与软件工程学院6.3.1 基于数值积分的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于数值积分的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于数值积分的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于数值积分的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于数值积分的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于数值积分的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于数值积分的方法Adams预估校正法预估 校正并取 兰州交通大学数理与软件工程学院6.3.2 基于Taylar展开式的方法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院基于Taylar展开式的方法兰州交通大学数理与软件工程学院基于Taylar展开式的方法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院6.4 数值解法得收敛性与稳定性在学习了初值问题(6.1)的各种数值解法以后，为了能够正确地运用这些方法，有必要简单了解一下关于常微分方程初值问题数值解法的收敛性及稳定性。收敛性讨论的是当步长趋于零时，方法的整体截断误差是否趋于零的问题；稳定性则是讨论计算过程中的扰动(舍入误差)对计算结果的影响。兰州交通大学数理与软件工程学院 数值解法的收敛性 对于给定的初值问题，如果所采用的数值解法对任一固定的节点 ，当步长数值解收敛于精确解 ，则称该数值方法是收敛得。前面几节所介绍的显式单步法可以统一写成其中 称为增量函数，的具体形式依赖于方程中的f(x,y)以及离散方式。兰州交通大学数理与软件工程学院关于显式单步法有以下收敛性定理：定理 设初值问题(6.1)的数值解计算公式为(6.25)，且满足 （1）局部截断误差 （2）增量函数 关于变量y满足Lipschitz条件，则单步法的整体误差是P阶的，即当 时，单步法收敛。兰州交通大学数理与软件工程学院数值解法的稳定性一个收敛的数值解法，截断误差的影响随步长的减小而减小。但另一方面，舍入误差的影响会随步长的减小而增大。在使用某种数值方法计算的过程中，如果某步长产生的舍入误差以后不能逐步减弱，累积起来势必给结果造成难以估量的影响，这样的数值方法就不宜采用。兰州交通大学数理与软件工程学院如果某种数值方法，在节点 处的 值有大小为 的扰动(舍入误差)，而在其后的各节点 值 的扰动都不超过，则称该数值方法是(绝对)稳定的。各种数值方法的稳定性，依赖于算法过程以及方程的形式，这取决于方程右端的表达式，给讨论数值方法的稳定性带来困难。为简便起见，我们以一个简单的微分方程为例，来说明讨论数值解法稳定性的过程。以下针对微分方程 进行讨论，其中为常数(可以是复常数)。兰州交通大学数理与软件工程学院 Euler法显式格式的稳定区域 兰州交通大学数理与软件工程学院当 时，第i步运算产生的扰动，在以后的计算中逐步减弱。从而方程(6.27)的Euler法显式格式的稳定区域为 。在复平面上表示以(-1，0)为圆心的单位圆内部。特别当为负实数(0)时，稳定域为 ，计算时步长应满足 兰州交通大学数理与软件工程学院 Euler法隐式格式的稳定区域 设在节点 处值 有扰动 ，由此所引起的 的扰动为 ，从而于是一般地 兰州交通大学数理与软件工程学院从而得方程(6.27)的Euler法隐式格式的稳定区域 ，在复平面上表示以（0，1）为圆心地单位圆地外部，它较显式格式地稳定区域大得多。当为负实数(0)时，对任意的 恒成立。这种对步长选取无限制的稳定区域称为无条件稳定区域。兰州交通大学数理与软件工程学院梯形公式的稳定区域 设在点 处值 有扰动 ，由此引起的 的扰动为 ，类似于前面地讨论可得 由此可得方程的梯形算法的稳定区域为 它表示左半复平面。当为负实数(0)时，为无条件稳定区域。兰州交通大学数理与软件工程学院 类似地，可以分析RungeKutta法、Aadms法的稳定区域，由于推导过程复杂，故从略。在实际计算中，当方程中的表达式比较复杂时，分析一个解法的稳定性是困难的，人们常常通过数值试验进行判断。经验告诉我们：一个不稳定的算法，计算结果变化急剧，解的误差往往以指数级增大。若解出现这种不稳定现象，减小步长再算，如仍不正常，改用其它数值方法。兰州交通大学数理与软件工程学院6.5 微分方程组及高阶微分方程的数值解法兰州交通大学数理与软件工程学院一阶常微分方程组的R-K方法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院一阶常微分方程组的R-K方法兰州交通大学数理与软件工程学院一阶常微分方程组的R-K方法兰州交通大学数理与软件工程学院一阶常微分方程组的R-K方法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院一阶常微分方程组的R-K算法兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院高阶微分方程的数值解法 对于阶常微分方程的初值问题 通过变量替换，可以化为一阶微分方程组的初值问题来求解，令兰州交通大学数理与软件工程学院则阶常微分方程初值问题 就可以化为如下形式的一阶常微分方程组的初值问题 剩下的问题只是求解此一阶微分方程组的初值问题。END