第4章-功与能课件

第四章第四章 功功 和和 能能Work and Energy本章主要内容本章主要内容4-14-1 功功4-24-2 动能定理动能定理4-34-3 势能势能4-44-4 引力引力势能势能4-54-5 由势能求保守力由势能求保守力4-64-6 机械能守恒定律机械能守恒定律4-74-7 守恒定律的意义守恒定律的意义4-84-8 碰撞碰撞第四章第四章 功和能功和能质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移量会改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（的累积（功功功功）会使质点的能量（）会使质点的能量（动能和势能动能和势能动能和势能动能和势能）发生变）发生变化。对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。化。对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。与机械运动相联系的能量守恒定律（与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定机械能守恒定机械能守恒定机械能守恒定律律律律），是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。），是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。第四章 功和能4-1 4-1 功功 Work功功功功力在位移方向上的分量与位移大小的乘积力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。1.1.功的定义功的定义设质点受力为设质点受力为 ，它的空间位置发生一无限小的位移，它的空间位置发生一无限小的位移位移元位移元 ，则该力做功，则该力做功 表示为表示为 注意注意：功是一个：功是一个标量标量。有正有负：有正有负：当当 时，时，；当当 时，时，。质点沿曲线质点沿曲线 从从 到到 ，整个路径整个路径上的上的功为元功之和：功为元功之和：元功元功元功元功线积分线积分4-1 功结论结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力的功：的功：功率功率功率功率的定义的定义：单位时间内所做的功。即单位时间内所做的功。即2.2.合力的功合力的功3.3.功率功率4-1 功4-2 4-2 动能定理动能定理Theorem of Kinetic Energy力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？引入引入动能动能动能动能 E Ek k：考虑合力的功：考虑合力的功：即即过程量过程量状态量状态量 在在B点的取值点的取值状态量状态量 在在A点的取值点的取值动能定理动能定理动能定理动能定理：合外力对质点合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。所做的功等于质点动能的增量。功是能量传递或转化的量度。功是能量传递或转化的量度。1.1.质点的动能定理质点的动能定理4-2 动能定理考虑两个质点构成的质点系：考虑两个质点构成的质点系：即即2.2.质点系的动能定理质点系的动能定理对对m1质点质点：对对m2质点质点：相加，得相加，得可推广到多质点的质点系。可推广到多质点的质点系。定理定理定理定理：质点系：质点系外力功和内力功的总和等于总动能的增量。外力功和内力功的总和等于总动能的增量。4-2 动能定理4-3 4-3 势能势能Conservative Forces4-3 4-3 引力势能引力势能Conservative Forces考虑质点系中的两个质点考虑质点系中的两个质点m1 1和和m2 2之之间的万有引力的功：间的万有引力的功：（1 1）万有引力万有引力万有引力万有引力做功做功结论：结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置。质点初、终态的相对位置。1.1.保守力与非保守力保守力与非保守力4-3 保守力（2 2）弹簧的）弹簧的弹性力弹性力弹性力弹性力做功做功考虑一劲度系数为考虑一劲度系数为k 的的弹簧系着弹簧系着一质点一质点 m，弹簧一端固定于，弹簧一端固定于O点，弹点，弹性力性力 的功：的功：为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量结论结论结论结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）（决定了弹簧伸长量）。4-3 保守力（3 3）摩擦力摩擦力做功做功结论结论结论结论：摩擦力的功与质点运动的相对路径有关，不只决摩擦力的功与质点运动的相对路径有关，不只决定于质点初、终态的相对位置。定于质点初、终态的相对位置。考虑一质点考虑一质点 ,从从A运动到运动到B，在这个，在这个过程中，所受的摩擦力大小恒为过程中，所受的摩擦力大小恒为 在位移在位移 上的元功为上的元功为摩擦力做的总功为摩擦力做的总功为对直线对直线对曲线对曲线4-3 保守力（4 4）保守力和非保守力）保守力和非保守力 做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置，具有这种性质的力称为的相对位置，具有这种性质的力称为保守力保守力保守力保守力。反之，做反之，做功与相对路径有关的力称为功与相对路径有关的力称为非保守力非保守力非保守力非保守力。与之等价的另一种定义与之等价的另一种定义：一质点相对另一质点沿闭合路径运动一周，它们的相互一质点相对另一质点沿闭合路径运动一周，它们的相互作用力做功为零，则该力就是保守力。作用力做功为零，则该力就是保守力。4-3 保守力引入势能的概念：引入势能的概念：保守力做功等于保守力做功等于势能势能势能势能的减少量。的减少量。1.1.势能势能说明：说明：势能是与质点系内质点的势能是与质点系内质点的相对位置相对位置相关的能量。相关的能量。4-4 引力势能与弹性势能 实际上只能定义势能的减少量（或增加量），势能的数实际上只能定义势能的减少量（或增加量），势能的数值无意义值无意义势能零点具有相对意义。势能零点具有相对意义。不同的保守力引入的势能也不同。不同的保守力引入的势能也不同。引力势能引力势能引力势能引力势能：弹性势能弹性势能弹性势能弹性势能：一般引力势能的零点取质点相距无穷远，一般引力势能的零点取质点相距无穷远，一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，A点势能可表为点势能可表为4-4 引力势能与弹性势能2.2.势能曲线势能曲线 引力势能曲线引力势能曲线引力势能是空间变量引力势能是空间变量 r 的函数的函数势能函数势能函数重力势能重力势能重力势能重力势能是在地球表面是在地球表面小区域内的引力势能：小区域内的引力势能：RE h4-4 引力势能与弹性势能 弹性势能曲线弹性势能曲线弹性势能曲线为抛物线，弹性势能曲线为抛物线，存在极小值。势能极小值点是存在极小值。势能极小值点是稳定的平衡点。稳定的平衡点。例例 讨论悬挂弹簧的势能。讨论悬挂弹簧的势能。设平衡点处设平衡点处平衡点平衡点自然长自然长4-4 引力势能与弹性势能M是下落物体球的质量是下落物体球的质量,所以所以解解 取水面上某点为坐标原点取水面上某点为坐标原点O,竖直向下的轴为竖直向下的轴为Ox轴正向轴正向,由功的定义可知由功的定义可知,水的阻力所做的功为水的阻力所做的功为例题例题 一质量为一质量为m的小球落入水中的小球落入水中,刚接触水面时其速率为刚接触水面时其速率为 ,设设此球在水中所受的浮力与重力相等此球在水中所受的浮力与重力相等,水的阻力为水的阻力为Fr=-bv ,b为一为一常数常数,求阻力对球做的功与时间的函数关系求阻力对球做的功与时间的函数关系.即即又已知物体仅在阻力作用下又已知物体仅在阻力作用下,下落速度与时间的关系为下落速度与时间的关系为如设小球刚落入水面时为计时起点如设小球刚落入水面时为计时起点,即即t0=0,那么上那么上式的积分为式的积分为即即4-54-5 由势能求保守力由势能求保守力Law of Conservation of Mechanical Energy 三、三、由势能函数求保守力由势能函数求保守力l方向的方向导数方向的方向导数由势能定义有保守力由势能定义有保守力与相应势能的关系是与相应势能的关系是：根据矢量计算可写成根据矢量计算可写成：如果质点沿一路径如果质点沿一路径L运动运动结论：结论：保守力在保守力在l方向的分量就是方向的分量就是 相应势能在相应势能在l方向的方向导数方向的方向导数如果引入梯度算符：如果引入梯度算符：保守力的分量式为：保守力的分量式为：直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的方向导数分别是方向导数分别是:则保守力可表示为：则保守力可表示为：则有：则有：保守力等于势能的负梯度保守力等于势能的负梯度4-6 4-6 机械能守恒定律机械能守恒定律Law of Conservation of Mechanical Energy 引入引入机械能机械能机械能机械能：考虑质点系的动能定理：考虑质点系的动能定理：内力内力保守力保守力非保守力非保守力质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和等于机械能的增量。等于机械能的增量。4-6 机械能守恒定律说明说明：机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系惯性系中适用。中适用。如果如果 ，则，则 常量。常量。机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律：在只有保守性内力做功的情况下，在只有保守性内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。质点系的机械能保持不变。能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律：在封闭系统中，无论其内部经在封闭系统中，无论其内部经历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。机械能守恒定律是普遍的机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律能量守恒定律在机械运动在机械运动中的特例。中的特例。机械能机械能 其他形式的能量其他形式的能量守恒守恒4-6 机械能守恒定律3.18 一一轻轻绳绳绕绕过过一一质质量量可可以以不不计计且且轴轴光光滑滑的的滑滑轮轮，质质量量皆皆为为m的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬。的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬。1)二二人人是是否否同同时时到到达达顶顶点点？以以甲甲、乙乙二二人人为为系系统统，在在运运动动中中系系统统的的动动量量是是否否守守恒恒？机机械械能能是是否否守守恒恒？系系统统对对滑滑轮轮轴轴的的角角动动量量是否守恒？是否守恒？解：解：1)甲、乙二人受力情况相同，故运动相甲、乙二人受力情况相同，故运动相同，即有相同的加速度和速度同，即有相同的加速度和速度m甲甲乙乙mR二二人人在在任任一一时时刻刻的的速速度度相相同同，上上升升的的高高度度相相同同，所所以以同同时时到到达顶点。达顶点。以以二二人人为为系系统统，因因二二人人是是加加速速上上升升，所所受受合合外外力力2(T-mg)0，故系统的动量不守恒。故系统的动量不守恒。以以人人和和地地球球为为系系统统，张张力力T对对系系统统做做功功，因因而而系系统统的的机机械械能能不不守恒。显然人在上升过程中机械能在增加。守恒。显然人在上升过程中机械能在增加。甲甲、乙乙二二人人相相对对滑滑轮轮轴轴的的合合外外力力矩矩等等于于0，系系统统对对轴轴的的角角动动量量守恒。守恒。例题例题 在碰撞实验中在碰撞实验中,常用如图所示的仪器。常用如图所示的仪器。A为一小球，为一小球，B为为蹄状物，质量分别为蹄状物，质量分别为m1和和m2。开始时，将。开始时，将A球从张角处球从张角处 落下，落下，然后与静止的然后与静止的B球相碰撞，嵌入球相碰撞，嵌入B中一起运动，求两物体到达中一起运动，求两物体到达最高处的张角最高处的张角。解解 首先我们考虑一个问题首先我们考虑一个问题小球在开始位置时的机械小球在开始位置时的机械能，是否等于两物体在最能，是否等于两物体在最终位置的机械能？回答是终位置的机械能？回答是两者并不相等。为了能弄两者并不相等。为了能弄清楚这个问题，并求得解清楚这个问题，并求得解答，我们最好把运动分成答，我们最好把运动分成几个阶段来讨论。几个阶段来讨论。ABl 当小球在最低位置时势能为零，只有动能。设小球速度为当小球在最低位置时势能为零，只有动能。设小球速度为v总总机械能为机械能为（一小球（一小球A从开始位置下落从开始位置下落h1而到最低位置，这是小球与而到最低位置，这是小球与蹄状物蹄状物B碰撞前的过程，小球除受重力外，还受悬线的拉力，碰撞前的过程，小球除受重力外，还受悬线的拉力，但拉力不作功，因此，机械能守恒。取小球在最低位置时但拉力不作功，因此，机械能守恒。取小球在最低位置时的势能为零，小球在的势能为零，小球在 开始位置的动能为零，只有势能，总开始位置的动能为零，只有势能，总机械能为机械能为根据机械能守恒定律得到根据机械能守恒定律得到或或(1)（二）当小球与蹄状物碰撞时，两物作完全非弹性碰撞，所（二）当小球与蹄状物碰撞时，两物作完全非弹性碰撞，所以，机械能守恒定律不能适用。在两物碰撞中相互作用的时以，机械能守恒定律不能适用。在两物碰撞中相互作用的时间极短，我们可以认为它们是在完成碰撞后，在一起运动。间极短，我们可以认为它们是在完成碰撞后，在一起运动。由于小球于蹄状物间的冲力是内力，所以可以应用动量守恒由于小球于蹄状物间的冲力是内力，所以可以应用动量守恒定律，即定律，即式中式中v 就是小球与蹄状物开始一起运动的速度。就是小球与蹄状物开始一起运动的速度。(2)三小球与蹄状物开始运动后，在悬线的约束下沿圆三小球与蹄状物开始运动后，在悬线的约束下沿圆弧运动，最后上升到张角弧运动，最后上升到张角 处。在此过程中悬线的拉力不处。在此过程中悬线的拉力不作功，因此，也可以运用机械能守恒定律，即作功，因此，也可以运用机械能守恒定律，即或或(3)从（从（1）、（）、（2）和（）和（3）三式消去）三式消去v和和v，可得，可得 与与 之间关系为之间关系为利用这种碰撞实验可以验证动量守恒与机械能守恒定律。利用这种碰撞实验可以验证动量守恒与机械能守恒定律。例例 求第一宇宙速度、第二宇宙速度。求第一宇宙速度、第二宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度物体绕地球运行的最小速度；物体绕地球运行的最小速度；第二宇宙速度第二宇宙速度物体脱离地球引力的最小速度；物体脱离地球引力的最小速度；第三宇宙速度第三宇宙速度物体脱离太阳系的最小速度。物体脱离太阳系的最小速度。解：（解：（1 1）第一宇宙速度）第一宇宙速度设物体绕地球以半径设物体绕地球以半径 r 做圆周运动做圆周运动。时，时，有最小值有最小值（2 2）第二宇宙速度）第二宇宙速度物体脱离地球引力的条件是：当物体离地球无限远时，物体脱离地球引力的条件是：当物体离地球无限远时，速率刚好为零。速率刚好为零。4-8 4-8 碰碰 撞撞Collisions 碰撞的特点碰撞的特点物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。碰撞中总动量和总机械能碰撞中总动量和总机械能特点特点特点特点：持续时间短、作用力大持续时间短、作用力大 物体运动状态变化明显物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）（有动量、能量传递）动量动量 不变不变，动量守恒动量守恒。减少减少（形变部分恢复）（形变部分恢复）非弹性碰撞非弹性碰撞不变不变（形变完全恢复）（形变完全恢复）弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞减少最严重减少最严重（形变无恢复）（形变无恢复）完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞机械能机械能4-8 碰撞 碰撞问题的求解碰撞问题的求解设有两个质点发生碰撞。设有两个质点发生碰撞。碰撞前动量为碰撞前动量为 ，碰撞后动量为碰撞后动量为 ，例：完全非弹性碰撞（三维）：例：完全非弹性碰撞（三维）：弹性碰撞弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 （形变无恢复）（形变无恢复）4-8 碰撞讨论：讨论：设设 例：完全弹性碰撞（一维）：例：完全弹性碰撞（一维）：4-8 碰撞 例例 一质量为一质量为 m1 的小球以的小球以 v0 的速率与前方静止的质量的速率与前方静止的质量为为 m2 的另一小球发生弹性碰撞。的另一小球发生弹性碰撞。m2 获得动量后又与前方第三获得动量后又与前方第三个质量为个质量为m3 的小球发生弹性碰撞。两次碰撞均发生在同一条的小球发生弹性碰撞。两次碰撞均发生在同一条直线上。求直线上。求m2为多大时，第三个小球可以获得最大的速度。为多大时，第三个小球可以获得最大的速度。解：第一次碰撞后解：第一次碰撞后 m1 和和 m2 分别获得分别获得 v1 和和 v2 的的速度，第二速度，第二次碰撞后次碰撞后 m3获得获得 v3 的速度。的速度。m1 m2 m3 v0v2p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日