第2章随机过程课件

第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/141第二章第二章 随机过程随机过程 本章是本课程的数学基础。本章是本课程的数学基础。2.1 引言引言 2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 2.5 高斯过程高斯过程 2.6 窄带随机过程窄带随机过程 2.7 正弦波加正弦波加窄带随机过程窄带随机过程 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1422.1 引言引言 通通信信过过程程是是信信号号和和噪噪声声通通过过通通信信系系统统的的过过程程，分分析析与与研研究究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。随随机机信信号号：通通信信系系统统中中的的信信号号通通常常总总带带某某种种随随机机性性。不不可可预测，不能用确定函数表示的信号。预测，不能用确定函数表示的信号。随随机机噪噪声声：通通信信系系统统必必然然遇遇到到噪噪声声。不不可可预预测测（热热噪噪声声）。简称噪声。简称噪声。随机过程：随机过程：从统计学的观点看，随机信号和从统计学的观点看，随机信号和 随机噪声统称随机噪声统称为随机过程。为随机过程。统计学中的有关统计学中的有关随机过程的理论随机过程的理论可以运用到随机信号和噪可以运用到随机信号和噪声分析中来。声分析中来。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1432.2 2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述2.2.1 2.2.1 概念及定义概念及定义考察：考察：假设假设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。试其输出。得到得到一系列噪声波形一系列噪声波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)、.。理想。理想时，波形应一致，但实际不然时，波形应一致，但实际不然找不到两个完全相找不到两个完全相同的波形。同的波形。也就是说，接也就是说，接收机输出的噪声电收机输出的噪声电压随时间的变化是压随时间的变化是不可预知的。不可预知的。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/144讨论：讨论：每一条曲线每一条曲线i(t)都是一个随都是一个随机起伏的时间函数机起伏的时间函数随机随机函数函数。无穷多个随机函数的总体在无穷多个随机函数的总体在统计学中称作随机函数的总统计学中称作随机函数的总集集随机过程随机过程(t)。每一条曲线每一条曲线i(t)都是随机过都是随机过程的程的一个实现一个实现/样本样本。在某一特定时刻在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值观察各台接收机的输出噪声值(t1)，发现，发现他们的值是不同的他们的值是不同的 是一个随机量（是一个随机量（随机变量随机变量）。）。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/145概括：概括：随机过程随机过程(t)的含义属性的含义属性有两点：有两点：（1）(t)是是t 的函数；的函数；（2）(t)在任一时刻在任一时刻 t1上的取值上的取值(t1)不是确定的，是一个不是确定的，是一个随机变量随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。的。概率论：随机变量分析概率论：随机变量分析分布函数分布函数和和概率密度概率密度第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1462.2.2 2.2.2 随机过程统计特征随机过程统计特征.分布函数和概率密度分布函数和概率密度（1 1）一维描述）一维描述 一维分布函数一维分布函数 随机过程随机过程(t)任一时刻任一时刻 t1 的取值是随机变量的取值是随机变量(t1)，则随机变，则随机变量量(t1)小于等于某一数小于等于某一数 值值 x1的概率的概率 F F1 1（x x1 1，t t1 1）=P=P(t1)x x1 1 （2.2.1）叫做随机过程叫做随机过程(t)的一维分布函数。的一维分布函数。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/147 一维概率密度函数一维概率密度函数 若一维分布函数对若一维分布函数对x1 1的偏导数存在，则的偏导数存在，则 叫做随机过程叫做随机过程(t)的一维概率密度。的一维概率密度。（2 2）二维描述）二维描述随机过程不同时刻取值之间的相互关系随机过程不同时刻取值之间的相互关系 二维分布函数二维分布函数 若若随随机机过程程(t)在在时刻刻 t1 的的取取值是是随随机机变量量(t1)，而而在在时刻刻t2的的取取值是是随随机机变量量(t2)，则(t1)与与(t2)构构成成一一个个二二元元随随机机变量量(t1)，(t2)，称，称 F2（x1，x2；t1，t2）=P(t1)x1；(t2)x2 为随机随机过程程(t)的二的二维分布函分布函数数第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/148二维概率密度函数二维概率密度函数 若二维分布函数对若二维分布函数对x1和和x2二阶偏导数存在，则二阶偏导数存在，则叫做随机过程叫做随机过程(t)的二维概率密度。的二维概率密度。同理，可以定义随机过程的同理，可以定义随机过程的多维分布函数多维分布函数及多维概率密度及多维概率密度分别为分别为第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/149统计独立统计独立 对于于任任何何n个个随随机机变量量(t1)，(t2)，.，(tn)，如如果果下下式式成成立立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）=f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称称这些些变量是量是统计独立的独立的，否，否则就是就是不独立的不独立的或或相相关的。关的。意义：意义：可可以以把把随随机机过程程(t)当当作作一一个个多多元元的的随随机机变量量来来看看待待，而而用用这个个多多元元随随机机变量量(t1)，(t2)，.，(tn)的的分分布布函函数数或或概概率率密度来描述随机密度来描述随机过程的程的统计特性。特性。显然，显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14102.数字特征引言引言 问题：问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必实际中：难；不必。措施：措施：用随机过程的用随机过程的数字特征数字特征来描绘随机过程的统计特性，来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。更简单方便。方法：方法：求随机过程数字特征的方法有求随机过程数字特征的方法有“统计平均统计平均”和和“时时间平均间平均”两种。两种。统计平均统计平均:对随机过程对随机过程(t)某一特定时刻不同实现的可能某一特定时刻不同实现的可能取值取值(ti)随机变量随机变量，用，用统计方法统计方法得出的种种平均值叫统得出的种种平均值叫统计平均。计平均。时间平均时间平均:对随机过程对随机过程(t)的某一的某一特定实现特定实现i(t)，用数学分，用数学分析方法析方法对时间求平均对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。得出的种种平均值叫时间平均。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1411（一）统计平均（一）统计平均1.均值均值 随机过程在任意时刻随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量的取值所组成随机变量(t)的均值的均值称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即注：注：t1t，x1 x 物理意物理意义：均：均值代表随机代表随机过程的程的摆动中心中心。2.均方值均方值 随机变量随机变量(t)的二阶原点矩的二阶原点矩称为随机过程称为随机过程(t)的均方值。的均方值。相对于横轴的振动程度相对于横轴的振动程度。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14123.3.方差方差 随机随机变量量(t)的二的二阶中心矩中心矩称为随机过程称为随机过程(t)的方差。的方差。相对于均值的振动程度相对于均值的振动程度。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14134.4.协协方方差差与与相相关关函函数数随随机机过过程程不不同同时时刻刻取取值值之之间间的的相相互互关系关系 衡衡量量随随机机过程程(t)在在任任意意两两个个时刻刻t1和和t2上上获得得的的随随机机变量量(t1)和和(t2)的的统计相相关关特特性性时，常常用用协方方差差函函数数B(t1，t2)和和相相关函数关函数R(t1，t2)来表示。来表示。（1 1）相关函数）相关函数 (t1)和和(t2)的二的二阶原点混合矩原点混合矩称为随机过程称为随机过程(t)的相关函数的相关函数。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1414称为随机过程称为随机过程(t)的协方差。的协方差。（3 3 3 3）协方差与相关函数的关系）协方差与相关函数的关系）协方差与相关函数的关系）协方差与相关函数的关系 显然，有以上两式可得显然，有以上两式可得 B B(t t1 1，t t2 2)=)=R R(t t1 1，t t2 2)-E)-E(t t1 1)E)E(t t2 2)若若E(t1)或或E(t2)为零，则为零，则B(t1，t2)=R(t1，t2)这里的这里的R(t1，t2)及及B(t1，t2)由于是衡量同一过程的相关程度，由于是衡量同一过程的相关程度，因此又常分别称为因此又常分别称为自相关函数自相关函数和和自协方差函数自协方差函数。（2）协方差函数）协方差函数(t1)和和(t2)的二阶中心混合矩的二阶中心混合矩第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1415（二）时间平均（二）时间平均 非周期函数平均值非周期函数平均值1.1.平均值平均值（或（或直流分量直流分量）设设i(t)是是随随机机过程程(t)的的一一个个典典型型的的样本本函函数数，则样本本函数的函数的时间平均平均为注：注：结果与时间无关，为常数。结果与时间无关，为常数。2.2.均方值均方值（或（或总平均功率总平均功率）第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14163.3.方差方差（或交流功率）（或交流功率）4.4.自相关函数自相关函数 样本函数本函数i(t)的自相关函数定的自相关函数定义为第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1417自相关函数自相关函数的性的性质：均方值（平均功率）均方值（平均功率）这是当然是当然偶函数偶函数第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14182.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.3.12.3.1定义定义1.1.狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程 假设一个随机过程假设一个随机过程(t)，如果它的任何，如果它的任何n维分布或概率密维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和和，随机过程，随机过程(t)的的n 维概率密度函数满足维概率密度函数满足fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）=fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）（2.2.2）则称称(t)是是严平平稳随机随机过程程或或狭狭义平平稳随机随机过程程。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1419显见，平稳随机过程具有如下显见，平稳随机过程具有如下特点：特点：统统计计特特性性将将不不随随时时间间的的推推移移而而不不同同。它它的的一一维维分分布布与与t无无关关，二维分布仅与时间间隔二维分布仅与时间间隔有关有关。数字特征变得数字特征变得“平稳平稳”、简单：、简单：数学期望与数学期望与 t 无关无关：a(t)=a ；自相关函数只与自相关函数只与有关：有关：R(t1，t1+)=R().fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）=fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14202.2.广义平稳随机过程广义平稳随机过程 一随机一随机过程程(t)，如果它，如果它满足：足：（1）数学期望与）数学期望与 t 无关，即：无关，即：a(t)=a；（2）自相关函数只与）自相关函数只与时间间隔隔有关，即：有关，即：R(t1，t1+)=R()。则称称(t)是广是广义平平稳的随机的随机过程。程。意义：意义：平平稳稳随随机机过过程程具具满满足足一一定定的的条条件件就就具具有有各各态态历历经经性性十十分有趣，非常有用分有趣，非常有用。通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的信信号号与与噪噪声声，大大多多数数可可视视为为平平稳稳的的而而且是各态历经的随机过程。且是各态历经的随机过程。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1421 则说则说(t)为具有各态历经性为具有各态历经性（遍历性）（遍历性）的平稳随机过程的平稳随机过程.。2.各态历经的含义各态历经的含义 随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的所有的可能状态。所有的可能状态。3.各态历经随机过程的特点各态历经随机过程的特点好处好处 任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析计算带来极大方便。计算带来极大方便。4.4.平稳随机过程不一定是各态历经的，但具有各态历经的随平稳随机过程不一定是各态历经的，但具有各态历经的随机过程一定是平稳的。机过程一定是平稳的。2.3.2 2.3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性1.1.各态历经随机过程各态历经随机过程 假设假设(t)是一个平稳随机过程，如果有下列式子成立是一个平稳随机过程，如果有下列式子成立第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14222.3.3 2.3.3 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 特别重要，特别重要，因因为：（1 1）平平稳随随机机过程程的的统计特特性性，如如数数字字特特征征等等，可可通通过相相关关函数来描述；函数来描述；（2 2）相关函数揭示了随机）相关函数揭示了随机过程的程的频谱特性。特性。1.1.相关函数的性质相关函数的性质 设设(t)为实平稳随机过程，相关函数为实平稳随机过程，相关函数R()=E(t)(t+)具有如下具有如下性质：性质：（1）R(0)=E2(t)=s -(t)的的平均功率平均功率。（2）R()=R(-)-R()是是偶函数偶函数。（3）|R()|R(0)-R()的的上界上界。（4）R()=E2(t)=a2 -(t)的的直流功率直流功率。（5）R(0)R()=2-方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1423（3）|R()|R(0)-R()的的上界。上界。证：证：由于由于 E(t)(t+)2 0 从而从而 E(t)(t+)2 =E2(t)+2(t+)2(t)(t+)=E2(t)+E2(t+)2E(t)(t+);-平稳平稳 =2R(0)2R()0 所以，得所以，得 R(0)R()即即|R()|R(0)第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1424（4）R()=E2(t)=a2-(t)的的直流功率直流功率。证：注注：这这里里利利用用了了当当时时(t)与与(t+)变变得得没没有有依依赖赖关关系系，即统计独立，且认为即统计独立，且认为(t)不不含有周期分量。含有周期分量。（5）R(0)-R()=2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。证：证：由由 D(t)=E(t)-E(t)2 =E2(t)-2(t)E(t)+E2(t)=E2(t)-E2(t)=R(0)-a2 得得 2=R(0)-R()第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14252.3.4 2.3.4 平平稳稳随随机机过过程程的的自自相相关关函函数数R()与与功功率率谱谱密密度度P()的关系的关系 -相关函数相关函数R()的又一重要性的又一重要性质。设：(t)平平稳，R()绝对可可积则则简记为：P()R()意意义义：平平稳随随机机过程程的的自自相相关关函函数数与与其其功功率率谱密密度度之之间互互为傅里叶关系。傅里叶关系。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1426所以：所以：P()R()第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1427归纳：归纳：时间平均时间平均验证验证平稳平稳具有具有随机过程随机过程各态历经性：各态历经性：统计平均统计平均P()R()例例2.4.1 某随机相位信号某随机相位信号(t)=Acos(ct+)，其中：，其中：A,c为常数，为常数，随机相位随机相位在（在（0，2）内均匀分布。求）内均匀分布。求(t)的自相关函数、功率的自相关函数、功率谱密度和平均功率，谱密度和平均功率，(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1428解：解：（1）验证）验证(t)的平稳性的平稳性-与与t无关。无关。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1429 -仅与仅与有关。有关。故故(t)是广义平稳的随机过程。是广义平稳的随机过程。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1430（2 2）根据平稳随机过程的性质）根据平稳随机过程的性质，得，得第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1431（3）时间平均比较统计平均与时间平均，可得随机相位余弦波是各态历经的。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14322.4 2.4 高斯过程高斯过程2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 1.1.定义定义 一随机过程一随机过程(t)，若它的任意，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则维概率密度呈正态分布，则称其为高斯过程。又称正态随机过程。称其为高斯过程。又称正态随机过程。数学表达式数学表达式 一维时：一维时：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1433高斯随机过程n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)式中,ak=E(tk)，k 2=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14341 b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14352.2.性质性质由定义可分析出由定义可分析出（1）高斯过程）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳若广义平稳，则必狭义平稳。（2）高斯过程中的随机变量）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间之间若不相若不相关关，则它们也是，则它们也是统计独立统计独立的。的。fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn）（2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角从信号角度。度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线从系统（线性系统）角度。性系统）角度。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1436 则称则称x x为服从正态分布的随机变量为服从正态分布的随机变量.2.4.2 2.4.2 高斯过程中的一维分布高斯过程中的一维分布随机变量研究随机变量研究1.1.一维概率密度函数一维概率密度函数（1）高斯随机变量）高斯随机变量 若随机变量若随机变量x的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1437（2 2）性质）性质1）对称于直线）对称于直线x=a;2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处达到极大值点处达到极大值;3）4）a 表示分布中心，表示分布中心，表示集中的程度。表示集中的程度。一定时一定时，。5）当）当a0，时，相应的正态分布称为标准化正态分时，相应的正态分布称为标准化正态分布：布：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14382.2.正态分布函数正态分布函数（1 1）一般表示式）一般表示式已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：这个积分不易计算，常引入这个积分不易计算，常引入概率积分函数概率积分函数或或误差函数误差函数（可查表）（可查表）来表述。来表述。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1439（2 2）用概率积分函数表示）用概率积分函数表示 定定义概率概率积分函数分函数(简称称概率概率积分分)为则正态分布函数可表示为 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1440（3)3)用误差函数表示用误差函数表示 正正态分布函数更常表示成与分布函数更常表示成与误差函数相差函数相联系的形式。系的形式。1 1）误差函数定义）误差函数定义误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14412 2）误差函数的性质）误差函数的性质误差函数是递增函数误差函数是递增函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：互补误差函数是递减函数互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14423 3）用误差函数表示正态分布函数）用误差函数表示正态分布函数 xa 时：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1443 xa综上：综上：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14442.5 2.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程2.5.12.5.1窄带随机过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么叫窄带随机过程？频谱频谱:所占频带较窄，满足所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。的随机过程叫。时域：时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。位随机缓慢变化的近似正弦。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14452.2.表达式表达式两种！两种！第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14462.5.2 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性的统计特性结论结论1 1若若(t)：均值为：均值为0 0、方差为、方差为2 2、窄带、平稳、高斯、窄带、平稳、高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）c(t)、s(t)同样是同样是平稳高斯平稳高斯随机过程；随机过程；（2）E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都为都为0)；（3）c2=s2=2=2方差相同，同于方差相同，同于(t)；（4）在同一时刻（即在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互互相关函数为相关函数为0，即，即c与与s互不相关，或说互不相关，或说统计独立统计独立。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14472.5.3 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性的统计特性 结论结论2 2若若(t)：均值为：均值为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）其）其包络包络a(t)的一维的一维pdf 呈呈瑞利分布瑞利分布；（2）其）其相位相位(t)的一维的一维pdf呈呈均匀分布均匀分布；（3）a(t)与与(t)统计独立。统计独立。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14482.6 宽带随机过程宽带随机过程2.6.1 2.6.1 白噪声白噪声 1.1.定义：定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：称为白噪声。即：双边谱密度：双边谱密度：单边谱密度：单边谱密度：其中：其中：n0为常数，为常数，W/Hz。一般一般默认白噪声为平稳默认白噪声为平稳的。的。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14492.2.自相关函数自相关函数据据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。图图2-5 白噪声的功率谱密度与自相关函数白噪声的功率谱密度与自相关函数 结论：结论：对白噪声而言，只有当对白噪声而言，只有当=0时（同一时刻）才相关，而时（同一时刻）才相关，而在在0的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。问：问：高斯白高斯白噪声？噪声？第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14502.6.2 2.6.2 带限带限白白噪声噪声1.1.定定义义 白白噪噪声声经经理理想想低低通通滤滤波波器器(-f0，f0)后后而而形形成成的的噪噪声声，被被称为称为低通白低通白噪声，即其功率谱密度为：噪声，即其功率谱密度为：白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为称为带通白噪声带通白噪声。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14512.2.自相关函数自相关函数N-噪声平均功率，噪声平均功率，取决于取决于n 0 f0-P()的的面积。面积。低通白噪声的功率谱和自相关函数第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1452结结论论：按按抽抽样样定定理理对对带带限限白白噪噪声声抽抽样样的的话话，各各抽抽样样值值是是互互不相关的随机变量不相关的随机变量(各抽样点处的随机变量是互不相关的各抽样点处的随机变量是互不相关的)。问：问：窄带、高斯、白噪声的含义。窄带、高斯、白噪声的含义。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14532.7 2.7 正弦信号加窄带高斯噪声正弦信号加窄带高斯噪声2.7.1 2.7.1 合成信号表达式合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号合成信号可表示为：可表示为：其中：其中：-正弦载波正弦载波:假定假定A、c为常数为常数;为随机变量，其一维为随机变量，其一维pdf 均匀分布，即：均匀分布，即：f()=1/(2)，02-窄带随机过程窄带随机过程:nc(t)-n(t)之同相分量；之同相分量；ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1454代入，整理：代入，整理：其中：其中：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14552.7.2 统计特性统计特性（1 1）同相分量和正交分量的统计特性）同相分量和正交分量的统计特性结论结论1若：若：n(t)均值为均值为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程随机过程;给定。给定。则：则：（1）zc(t)、zs(t)同样是同样是窄带平稳高斯窄带平稳高斯随机过程；随机过程；（2）且）且zc2=zs2=n2=2方差相同，同于方差相同，同于n(t)；（3）但：）但：Ezc(t)=Acos Ezs(t)=Asin（4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的zc及及zs互相关函数为互相关函数为0，即，即zc与与zs互不相关，或说统计独立。互不相关，或说统计独立。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1456（2 2）合成信号振幅合成信号振幅z(t)和相位和相位(t)的统计特性的统计特性统计特性统计特性可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：有如下统计特性：1）随机包络服从广义瑞利分布随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（也称莱斯（Rice）分布）分布）-(2.7-3)(2.7-3)。2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分不再是均匀分布了布了。当。当信噪比很小时，它接近于均匀分布信噪比很小时，它接近于均匀分布。图图2-6 正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14572.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2.8.1 2.8.1 线性系统线性系统-复习复习 设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为：h(t)、H()，则：，则：H()h(t)。周知：周知：线性系统响应线性系统响应v0(t)等于输入信号等于输入信号vi(t)与冲击响应与冲击响应h(t)的卷积，的卷积，即：即：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1458系系统统满满足足物物理理可可实实现现条条件件:h(t)=0，t0；输输入入有有界界（满满足足狄里赫利条件）。则有：狄里赫利条件）。则有：理解：理解：上式对于确知信号是没有问题的。上式对于确知信号是没有问题的。当当输入是随机过程输入是随机过程(t)的一个实现的一个实现i1(t)随机函随机函数时，便有输出随机过程数时，便有输出随机过程o1(t)。进一步：进一步：当输入是随机过程当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程时，便有输出随机过程o(t)。且有：。且有：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1459任务：任务：假设假设i(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求为平稳随机过程，且已知其统计特性，求0(t)的的统计特性统计特性。注：注：考察一个实现就够了。考察一个实现就够了。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/14602.5.2 0(t)的统计特性的统计特性 1.0(t)的平稳性的平稳性（1）均值）均值-与与t无关。无关。结结论论：输输出出过过程程的的数数学学期期望望等等于于输输入入过过程程的的数数学学期期望望与与H(0)相乘。且相乘。且E0(t)与与t无关。无关。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1461其中：其中：根据平稳性根据平稳性 Ei(t-)i(t+-)=Ri(+-)（2 2）相关函数）相关函数仅与仅与有关。有关。仅与仅与时间差时间差有关。有关。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1462综上综上:0 0(t)(t)平稳。平稳。2.0(t)的功率谱密度及分布函数的功率谱密度及分布函数（1）功率谱密度功率谱密度 因为因为 0(t)广义平稳广义平稳 所以所以 P0()R0()可证得可证得 P0()=H()2Pi()(2.8.8)第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1463（2 2）分布函数）分布函数一一个个十十分分有有用用的的结结论论：若若线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是高高斯斯型型的的，则系统的输出过程也是高斯型的。则系统的输出过程也是高斯型的。例例2.8.1 功率谱密度功率谱密度n0/2白噪声，经白噪声，经LPF：求输出的：求输出的：Po()、Ro()、噪声功率、噪声功率N。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2024/7/1464例例2.8.1 功率谱密度功率谱密度n0/2白噪声，经白噪声，经LPF：求输出的：求输出的：Po()、Ro()、噪声功率、噪声功率N。解：解：