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主要内容主要内容3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽白噪声通过线性系统和等效噪声带宽3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程3.6 窄带随机过程表示方法窄带随机过程表示方法3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性1 希尔伯特变换希尔伯特变换 ，其希尔伯特，其希尔伯特 设有一个实值函数设有一个实值函数（或记作（或记作 ）变换记作变换记作反变换为反变换为希尔伯特希尔伯特7/14/202427/14/202437/14/20244希尔伯特变换希尔伯特变换 正交滤波器正交滤波器 由由 可知，可知，的希尔伯特变换看成是：将的希尔伯特变换看成是：将 通过一个具有冲通过一个具有冲击响应为击响应为 的线性滤波器（时不变系统）的线性滤波器（时不变系统）。7/14/202447/14/20245希尔伯特变换的冲击响应及传递函数希尔伯特变换的冲击响应及传递函数证明：由对称性性质可知，若证明：由对称性性质可知，若 ，则，则因为因为，所以，所以整理得：整理得：7/14/202457/14/20246正交滤波器的传输函数正交滤波器的传输函数7/14/202467/14/20247希尔伯特逆变换希尔伯特逆变换为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。证明：证明：若输入信号为若输入信号为 通过一个滤波器通过一个滤波器 输出为输出为 显然有显然有所以所以 反变换反变换 7/14/202477/14/202487/14/20249可见，若可见，若x(tx(t)若为若为t t的偶函数，则的偶函数，则 为为t t的奇函数。的奇函数。同理，可见，若同理，可见，若x(tx(t)若为若为t t的奇函数，则的奇函数，则 为为t t的偶函数。的偶函数。7/14/2024107/14/202411 1.的希尔伯特变换为的希尔伯特变换为 。连续两次希尔伯特变换相当于连续两次连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相度相移，正好移，正好180度相反。度相反。希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质7/14/2024127/14/2024137/14/2024142 解析过程及其性质解析过程及其性质 定义任一实随机过程定义任一实随机过程 ，是是 的希尔伯特变换的希尔伯特变换,即即 复复随机过程定义为随机过程定义为 为实随机过程为实随机过程 的复解析过程，简称的复解析过程，简称解析过程解析过程。7/14/202415解析过程的性质解析过程的性质（1）若）若 为实平稳随机过程，则为实平稳随机过程，则 也是实也是实随随 机平稳过程，且联合平稳。机平稳过程，且联合平稳。因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。平稳。7/14/202416（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同经傅里叶反变换，得经傅里叶反变换，得7/14/202417（3）代入代入 令令 将将 7/14/202418（4）7/14/202419（5）令令 并作变量替换并作变量替换希尔伯特变换与它的原实过程之间的希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数互相关函数为奇函数7/14/202420（6）表明在同一个时刻表明在同一个时刻t，随机变量，随机变量 和和 正交，即正交，即注意，上式并不意味着注意，上式并不意味着 和和 两个随机过程正交。两个随机过程正交。7/14/202421（7）7/14/202422（8）由性质由性质（3）可知，可知，两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换 7/14/202423（9）由性质由性质（7）可知，可知，两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换 解析过程的功率谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率解析过程的功率谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的4倍。倍。7/14/2024244017/14/2024257/14/202426将解析信号表达式进行变换：将解析信号表达式进行变换：而而式中：式中：是频域的单位阶跃函数，因此是频域的单位阶跃函数，因此 如果如果 是平稳随机信号，则解析信号是随机的，是平稳随机信号，则解析信号是随机的，其频谱为：其频谱为：解析信号本质是原信号的正频率部分，为原信号频谱正解析信号本质是原信号的正频率部分，为原信号频谱正频域分量的两倍。它是实信号的一种频域分量的两倍。它是实信号的一种“简洁简洁”形式。形式。研究解析信号的意义研究解析信号的意义7/14/2024267/14/202427实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率包络，瞬时振幅包络，瞬时振幅瞬时相位瞬时相位瞬时频率瞬时频率7/14/2024277/14/202428Matlab实例clc;clear all;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n)%信x的表达式y=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).2+abs(y).2);%求信号x的包络，瞬时振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信号x(t)subplot(2,2,2);plot(A);title(信号x(t)的包络)thet=atan(iz./rz);%求信号x的瞬时相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(信号x(t)的瞬时相位)7/14/2024287/14/2024297/14/202429例例 设低频信号设低频信号 的频谱为的频谱为证明：当证明：当 时，时，满足满足7/14/202430设设证证其频谱为：其频谱为：其希尔伯特变换的频谱密度为：其希尔伯特变换的频谱密度为：同理可证：同理可证：7/14/202431
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