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高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第2章 导数与微分主要内容 一、导数的概念 二、求导法则 三、函数的微分 四、中值定理、罗彼塔法则 五、利用导数研究函数的性态极限反映在一定变化条件下函数的变化情况；连续反映的是在这种变化下是否具备某种特定的变化；导数反映相对于自变量函数的变化快慢的程度；微分反映自变量有微小变化时函数变化的多少一、导数的概念1、变化率问题举例解：1）先求平均速度变化到，路程的增量为：质点在时间内，平均速度为：2）再求瞬时速度通过上例，再研究式（1）（式1）下面通过三个步骤，抽象出函数的增量与自变量的增量之比的极限（当自变量增量趋于0时）。步骤1 当自变量在给定值处有一增量，函数平均变化率。2、导数的定义说明解：由以上两例，类似地对幂函数 （是实数），有：这是幂函数的导数公式。同理：即：特别地，时，有：3、导数的几何意义T4、函数可导与连续的关系反之，未必，即：连续不一定可导！注意函数可导则函数必连续，即：二、求导法则1、函数四则运算的求导法则处可导，定理2.1 设函数都在即具有导数和，则有（C为常数）；定理2.1的1）、2）可以推广到有限多个函数的情形，如下：例6 求函数 的导数。解：例7 ，求注意，解：例8 求函数 的导数。解：例9 求函数 的导数。解：同理：例10 求函数 的导数。解：同理：2、复合函数的求导法则该法则说明复合函数之导数等于对各中间变量导数的乘积例11 求下列函数的导数解：课堂练习：3、反函数的求导法则即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。反函数与直接函数实际上是一个等式，只是自变量因变量不同而已。即：特别地：例13 已知函数 ，求 。解：已知函数 是 的反函数，单调、可导，且，故在内有：在即：同理可得：4、对数求导法 求这种函数的导数，常用对数求导法来解决。的函数称为幂指函数。形如例14 设幂指函数求 解：两边取对数得：两边对求导数得：即：幂指函数也可以改写为：从而直接利用显函数求导法求导。解：两边取对数得：两边对求导数得：即：解：设，则两边取对数得：对则，续例16即：所以：5、隐函数求导法1）先将隐函数显化后用以前的方法求导；隐函数的求导方法有两种：例17 求由方程所确定的隐函数的导数。求导数得：解：两端对自变量例18 设，求 求导数得：解：两端对自变量又当时，从原方程得，代入上式得：例19 求椭圆在点处的切线方程。求导数得：解：两端对自变量又点位于椭圆上，由导数的几何意义知：故所求切线方程为：即：所求切线的斜率为：6、由参数方程所确定的函数的求导法由参数方程所确定函数的求导方法有两种：方法一：消去参数用前面的方法解。如：方法二：在中，若具有单调连续的反函数则通过代入法消参得，它可以看作是由复合而成的函数，若则由复合函数求导法则有：这即是参数方程的求导公式：函数的导数等于因变量与自变量分别对参数的导数之商。例20 求椭圆在处的切线方程。解：因为所以，故又当时，由点斜式得所求切线方程为：即：2）幂函数的导数：3）对数函数的导数：特别地：时，4）正弦函数和余弦函数的导数：7、初等函数的导数5）正切函数和余切函数的导数：，6）正割函数和余割函数的导数：7）指数函数的导数：特别地：8）反三角函数的导数：8、高阶导数把的导数称为函数的二阶导数。记为：阶导数的导数称为三阶导数，记为；三阶导数的导数 阶 称为四阶导数，记为；阶导数的导数称为导数，记为。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 例21，求 解：例22 设求证：两个函数的和差积求高阶导数：例23 设，求 解：设则：三、函数的微分1、微分的定义导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的程度（变化率的大小），即：当 时的极限。微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下函数改变量 本身的。引例面积的改变量大小 如图，一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由 变化到 ，问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的面积为 ，则 是边长 的函数 ，薄片受温度变化的影响时面积的改变量为：第一部分称为 的线性部分，它表示阴影面积，是主要部分；第二部分为 的高阶无穷小（若 ），是次要部分。其中：故可以用第一部分近似代替面积的增量，即：我们称这个近似值为面积S的微分，记为 可表示为：那么称函数 在点 是可微的。续定义2.32、微分与导数的关系结论：于是，又可以写成：因此，当 很小时，可以用 作为 的近似值，即：且令，则：上式表明：自变量的微分等于自变量的改变量。于是函数 的微分又可以记为：由可见，函数的微分与 及 有关。上式表明函数的微分等于该函数的导数与自变量微分的乘积。上式两边除以 ，得：注意由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求出来了，因此，求微分的问题，可归结为求导数的问题，故求导法又叫微分法。3、微分的几何意义函数在某点的微分等于曲线在该点切线的纵坐标的增量。4、微分的基本公式和运算法则同样，可以根据函数的和、差、积、商的求导法则，得到函数的和、差、积、商的求微分法则。1）基本函数的微分公式 2）和、差、积、商运算法则3）复合函数微分法则但：因为：于是：所以：若 为自变量 的复合函数：由此，计算微分也可如下：例24 设 解：1.例25 设解法一：解法二：先求导，再写出微分表达式即：4）微分在近似求值中的应用解：例26解：例271.罗尔定理 四、中值定理、罗彼塔法则（一）中值定理证明：（待续）（续）几何解释例28解2.拉格朗日中值定理 几何解释(如图)从上图可知:罗尔定理是该定理特例。推论1推论2 若，有则例29证明分析引入：3、柯西中值定理定理2.6(柯西中值定理)其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.综上所述：三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛（二）罗彼塔法则如：1、定理2.7称此求函数极限的法则为罗彼塔法则 证明例30更进一步地:解例31解例32解如:2、未定式的极限例33解例34解例35解注意：在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极限等，可使运算变得更简捷.例36解3)当某一点不存在（不包含 ）或循环时，此法则失效在使用罗彼塔法则求未定式的极限时，需要注意：1)每次使用都需检验是否满足罗彼塔法则的条件；2)随时化简，并注意同其它求极限方法并用；五、利用导数研究函数的性态（一）函数的单调性如图：反之，则有如下定理：定理2.8理解如：例36 解 例37解小结讨论函数单调性的步骤：A.求函数的定义域,找出无定义的点;B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间;D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法)解练习:例38分析：例38证明这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.(二）函数极值、最值 1、极值定义2.4这样理解 依定义A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值；B.极值不一定唯一；C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可导故极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点（如图）其中，导数为零的点称为函数的驻点.此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有：定理2.9证明那么如何判断某点是否取得极值呢？注意若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定。根据上述介绍，求函数极值的步骤为：例41 求函数 的极值。待续不是极值点，所以取极小值，所以不是极值点，所以续例41方法：2、最值解：在实际应用中，若函数在区间（开，闭，半开半闭）上可导且只有一个驻点，并且在该点处函数取得极值，则该极值便是最值；若是极大值则为最大值，若是极小值，则为最小值。可见：（三）曲线的凹凸性定义2.5：凹的凸的凹的凸的定理2.12 曲线的凹凸性的判定方法：解：例43一般地，判定函数凹凸性的步骤：（1）求定义域；（2）求二阶导并令其为0，求其根；（3）以根为分界点分区间判定。例44解：连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。有关拐点的讨论：拐点是曲线凹凸性的分界点，当然就意味着拐点两侧的凹凸性不同，即二阶导数符号不同。因此，曲线的拐点只能是二阶导数为0的点或者不存在的点。由此，判定函数凹凸性的步骤：（1）求定义域；（2）求二阶导等于0的点和不存在的点，并用这些点将定义域分成若干开区间；（3）判别二阶导在每个开区间内的符号，从而确定曲线的凹凸性，同时也确定 这些点是否拐点。例45解：例46解：曲线的渐近线有三种：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。（四）函数曲线的渐近线（五）函数图形的描绘的一般方法例48解极小拐点极大+0 0-+0 0-0 0+图形1（4）例48图：例48图：例48图：例48图：例49解拐点极大+0-0+-图形-3又例49图
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