第二章2：可控性课件

2-2 2-2 线性系统的可控性线性系统的可控性 1.1.可控性的定义可控性的定义一、可控性的定义及判别定理一、可控性的定义及判别定理 若对状态空间的任任一一非非零零状状态态 x(t0)，都存在一个有限时刻 t1t0 和一个容许控制 ut0,t1，能在t1时刻使状态 x(t0)转移到零，则称状态方程 在t0时刻是可控的。反之称为在 t0 时刻不可控。定义定义2-2-3:3:令初始时刻电容两端的电压x(t0)不为零，则网络的对称性使得无论施加何种控制均无法在有限时刻t1使x(t1)=0。根据以上定义，系统在t0不可控。y_+_+_xu例例2-4:2-4:考虑由如下网络组成的系统：说明如下：说明如下：1.定义仅要求输入 u 能在有限时间内将状态空间中任何初态转移到零状态，至于状态遵循什么轨迹转移则并未指定；而且对输入除了容许控制之外也未对其幅值加以任何限制，这种不加限制的控制称为无约束容许控制无约束容许控制。2.与可控概念相反，只只要要存存在在一一个个非非零零初初态态 x(t0)，无论t1取多大，都不能找到一个容许控制将这个状 态 x(t0)控制到 x(t1)=0，这时称系统在t0是 不可控的。3.这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控到达原点的可控性。性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的（见习题23）。2.2.可控性的一般判别准则可控性的一般判别准则 直接利用定义判断系统可控很不方便，故需要研究判别系统可控性的一般准则。定理定理2-42-4状态方程在t0可控，必要且只要存在一个有限时间 t1t0，使矩阵 的 n个行在t0,t1上线性无关。证明：充分性。证明：充分性。证明是构造性的，思路如下：为非奇异。2.对于任给的 x(t0)，构造如下控制输入(2-8)可以证明，(2-9)式所定义的u(t)能在 t1 时刻将x(t0)转移到 x(t1)=0。必要性。必要性。反证法。设在t0时刻方程可控，但对任何t1t0,在 t0，t1上都是线性相关的，又由于方程在t0时刻可控，当取x(t0)=时，存在有限时刻t1t0和uto,t1,使x(t1)=0，即 矛盾。证完。证完。推推论论2-42-4 状态方程（2-7）在t0可控的充分必要条件是存在有限时刻 t1t0 使得W(t0,t1)为非奇异。通常将式（2-8）式所定义的矩阵W(t0,t1)称为可控性Gram矩阵，或简称为可控性矩阵。证明：证明：直接利用定理2-1。例：例：讨论如下系统在任意时刻t0的可控性:可采用前一节介绍的方法来判断 f1 和 f2 的线性相关性。故3.3.可控性的一个实用判据可控性的一个实用判据 为了应用定理24，必须计算 假定A(t),B(t)是(n1)次连续可微的，定义矩阵序列 M0,M1,Mn1如下：易于验证，以上矩阵序列满足：定理定理2525 设状态方程dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵A(t),B(t)是(n1)次连续可微的。若存在有限存在有限时间t1t0,使得 则状态方程在t0 时刻可控。证明：证明：只要证明存在一个t1t0，使得行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到一个t1t0，使得的秩是 n 就可以了。由有(t0,)B()在t0,t1上行线性无关。证完。证完。例例2727 讨论如下系统的可控性：直接计算得到：易于验证，上述矩阵的行列式对任意 t 0 均非零，故系统对任意 t0 都是可控的。注意：注意：该定理无需计算状态转移矩阵。但需要特别注意的是，仅是一个充分条件；该定理在时变线性系统的可控性分析中是很重要的。参考文献：参考文献：K.Tsakalis and P.A.Ioannou:“Linear Time-Varying Systems,Control and Adaptation”,Prentice Hall,Englewood Cliffs,New Jersey,1993.定定义义24 若对t0时刻状态空间中的任任一一非零状态x(t0)，存在着一个有限时刻t1t0和一个容许控制，能在t1,t0内使状态x(t1)=0转移到x(t0)，则称状态方程（2-7）在t0时刻是可达的。二、可达性的概念二、可达性的概念 t0t1可控可控t0t1可达可达 完全类似于可控性的讨论，如下结论为显然：定理：定理：状态方程在t0时刻可达的充分必要条件是存在有限的t1t0，使得在t1，t0上行线性无关，或等价地，下列可达性矩阵非奇异(t1 t0，矩阵非奇异；下列提法等价:定理定理2-62-6(4)rankB AB An1B=n；（2-14）(5)在复数域上，矩阵(sIA)1B的行是线性无关的；(6)对于A 的任一特征值 ，都有 以上六个等价性条件基本概括了时不变系统在可控性方面的主要成果。证明的主要思路：证明的主要思路：(2)eAtB（也即eAtB）的行在0，)上是复数域行线性无关的。(1)在0，)中的每一个 t0,（A,B）可控；证明：证明：注意到拉氏变换是一一对应的线性算子即可。(2)eAtB（也即eAtB）的行在0，)上是复数域行线性无关的。(5)在复数域上，矩阵(sIA)1B的行是线性无关的；证明：证明：这是推论2-4的直接结果。(3)：对于任何t0 0 及任何 t t0，矩阵非奇异。反证法。若 利用(1-48)式：要证系统可控。反证法。若不可控，则对任意t0及（也可用定理2-4并考虑Hamilton定理）上式对 求导，再求导，依次可得 令 =t0，有思考题：思考题：1 1）为什么可以求导数？为什么可以取=t0？考虑解析函数、定理2-3及凯莱-哈密尔顿定理。2）试证明(2)与(4)的等价性。要证 反证法反证法。若有一个0 使，要证 用反证法。若不然，证明步骤如下：证明步骤如下：2.利用上述引理，考虑矩阵利用上述引理，考虑矩阵矛盾。矛盾。证完。证完。下面考虑引理的证明。证明思路：证明思路：则2）的形式为：即该矩阵行满秩，则必有A3=0。注注1 1：定理2-6 中(4)和(6)是判断时不变系统可控性的两个最常用的判据。（4）中的矩阵 U=B AB,An 1B 称为状态方程 的可控性矩阵可控性矩阵，在研究时不变系统时，矩阵U起着十分重要的作用。一般将命题4称为秩判据秩判据。命题(6)又称为PBH检验法检验法，是由罗马尼亚学者Popov 等三人提出的。自然成立。因此，注注2 2：关于定理2-6判据(6)的说明：可以将 换为 (s为任意复数)。因为当 s不是A的特征值时，可控性判据小结可控性判据小结1.1.时变线性系统：时变线性系统：1）充分必要条件：）充分必要条件：2）充分条件：）充分条件：2.2.时不变系统的可控性问题时不变系统的可控性问题（k=0，1，2，ni，i=1，2，m）称为方程 命题（6）是通过A的特征值来判断可控性的。通常我们把A的特征值i 称为系统的振型振型或模态模态，把eAt 中的与i 相对应的模式。模式。四、时不变系统的振型（模态）、模式四、时不变系统的振型（模态）、模式定义：定义：凡使矩阵AiI B 满秩的i 称为可控振型可控振型；使矩阵AiI B降秩的i 称为不可控振型不可控振型。1.1.振型（模态）与模式的定义振型（模态）与模式的定义不可控制振型所对应的模式与控制作用无耦合关系，因此不可控振型又称为系统的输输入入解解耦耦零零点点，(将在可控性分解中深入研究，引理就是可控性分解引理就是可控性分解）。一个线性时不变系统可控的充分必要条件是没有输入解耦零点。与该不可控的模态2相对应的模式是e2t，它与控制无耦合关系。当0 是A的重特征值重特征值时，若 rankA0I Bj，有 五、简化的可控性条件五、简化的可控性条件rank Uk=rank Uj并且 jminnr,1其中r 是矩阵B的秩，是矩阵A的最小多项式的次数。证完。证完。定义定义2-52-5：设系统可控。令使得rank Uj=rankUj+1=n成立的最小整数 j 为(1)，则称 为方程的可控性指数。对可控系统，由j=1minnr,1 minn r,1+1