社会统计课件

社會統計第四講抽樣分配與點估計Ming-chi ChenPage.1社會統計Sampling Theory and Some Important Sampling Distributions統計主要問題在於如何透過樣本的統計量來推估或檢證母體的參數(parameters)。A parameter is a numerical quantity that describes some characteristics of a population.參數為描述母體某些特性的數值。如、母體中位數等皆為參數。觀念Ming-chi Chen2社會統計Sampling Theory and Some Important Sampling Distributions為了要瞭解母體的特性，我們可以對於母體中的所有單位進行普查(census)，但普查有很多缺點:(一)耗時耗力，成本高。(二)無法蒐集較為深入、詳細的資訊，(三)普查錯誤機率大。因此我們經常從母體中抽取少量的樣本，計算樣本統計量來幫我們推估母體的性質。觀念Ming-chi Chen3社會統計Sampling Theory and Some Important Sampling Distributions樣本統計Sample statistics 是用來描述樣本的特性的數量，。Sample mean 、sample variance S2,and the sample proportion樣本統計為觀察到的樣本之函數，樣本的統計量隨著取樣的不同，會有不同的變化。因此，樣本統計量本身可以被視為是一隨機變數。觀念Ming-chi Chen4社會統計Introduction to Sampling Distribution一個樣本的統計量(如樣本平均數)是樣本的函數觀念Population母體參數x4x49x103x354x41Sample樣本平均數 x4x42909x1005x31x411隨機變數的特定值Ming-chi Chen5社會統計Introduction to Sampling Distribution用於推估母體的參數（）的樣本統計量（如X-bar），稱為估計式(an estimator)。觀念將實際抽樣所得到的樣本帶入估計式，得到的數值(如-bar)稱為估計值(estimate)Ming-chi Chen6社會統計Estimator and Estimate從母體中觀察到一組隨機樣本 x1,x2,xn，母體參數的估計式estimator為一樣本統計sample statistic，它是一種運算規則rule，告訴我們如何運用x1,x2,xn去計算出母體參數的估計值。將x1,x2,xn帶入估計式estimator所得到的數值稱為估計值estimate。觀念Ming-chi Chen7社會統計Sampling distribution抽樣分配樣本的統計量為一隨機變數，每一個特定變量出現的機率不同，因此，樣本統計量為一機率分配，稱為樣本統計的抽樣分配(sampling distribution)，為多次抽樣結果的機率分佈。例如從母體中抽固定大小n的樣本，求取每一個樣本的平均數，這些平均數會有一個分布，這就是抽樣分配。人社系全體同學200人，每次抽25人測量其平均身高，一共可以抽出C20025個樣本，每個樣本都有其平均身高，把這些數值集合起來會有一個分配，這就是樣本分配。或者從母體中抽固定大小n的樣本，求取每一個樣本具有某種特質（ex.投票給A候選人）的比例，這些比例也會有一個分布，這也是抽樣分配。觀念Ming-chi Chen8社會統計Desirable properties of estimators可以用來估計母體參數的樣本統計量有很多種，例如我們可以用樣本平均數 來估計母體平均值，也可以用樣本的中位數來估計。對於某些樣本來說，樣本平均值並不見得是母體參數的最佳估計值。究竟一個好的估計式必須具備哪些條件？我們需要一些標準來評估各種估計式。觀念Ming-chi Chen9社會統計好的估計式必備條件?不偏性（unbiased）有效性（efficiency）最小變異不偏性漸近不偏性一致性充分性牽涉數理統計部分，略過不談Ming-chi Chen10社會統計Sampling Error抽樣誤差首先我們希望估計的誤差愈小愈好估計值與被估計的母體參數之間的差距稱為抽樣誤差。抽樣誤差隨樣本不同而有變化，如果估計量的機率分配集中於母體參數的周遭，則抽樣誤差較小，反之較大。觀念Ming-chi Chen11社會統計Sampling Error抽樣誤差從母體中抽取一隨機樣本的方法有很多種，如果從N中取n個元素(without replacement)做為樣本，且每個n被抽到的機率相同，則稱為簡單隨機樣本(a simple random sample)。從N中取n共有NCn=N!/n!(N-n)!取法。每一個隨機樣本被選取的機率為1/NCn。觀念Ming-chi Chen12社會統計Derivation of a Sampling Distribution抽樣分配例題：一母體中有五個元素1,3,4,8,9，從這母體中選取n=3的簡單隨機樣本，列出所有可能樣本的機率分佈，並計算各樣本的平均數、中位數，評估何者為較優良的估計量？觀念Ming-chi Chen13社會統計Derivation of a Sampling Distribution抽樣分配1,3,4,8,9,觀念母體參數=(1+3+4+8+9)/5=5 N=5,樣本個數為3的樣本共有 C53=10簡單隨機樣本(a simple random sample)，每一個樣本出現的機率相同。Ming-chi Chen14社會統計Derivation of a Sampling Distribution抽樣分配觀念平均數的抽樣誤差中位數的的抽樣誤差Ming-chi Chen15社會統計Derivation of a Sampling Distribution抽樣分配觀念Sampling distribution of sample meanSampling distribution of sample median樣本平均數的抽樣分配樣本中位數的抽樣分配Ming-chi Chen16社會統計Sampling Distribution三個有關估計量的樣本分佈的問題(1)估計量的抽樣分配呈現何種型態？是否為常態分配？(2)估計量的抽樣分配平均值為何？(3)抽樣分配的變異數為何？Ming-chi Chen17社會統計Sampling Distribution在眾多樣本裡，有些樣本的平均值大於母體平均值，有些小於，如果計算所有樣本平均值的平均，是否與母體平均值相近？Ming-chi Chen18社會統計Sampling Distribution如果抽樣分配的平均值（期望值）等於欲估計的母體參數，我們稱之為母體參數的不偏估計式(unbiased estimator)。一個不偏估計式的抽樣分配會集中於母體參數。The sampling distribution of an unbiased estimator is centered at the population parameter.如果抽樣分配不集中於母體參數，則此估計量有偏誤(biased)。Ming-chi Chen19社會統計Sampling Distribution令A為母體參數 的一個估計式，如果 E(A)=則A為母體參數的不偏估計式。如果E(A),則稱A為的偏誤估計式(a biased estimator of).偏誤量為：Bias=E(A)-Ming-chi Chen20社會統計Calculating E(X)and E(M)觀念Sampling distribution of the sample meanSampling distribution of the sample median母體中數為4Ming-chi Chen21社會統計Biased and unbiased estimatorsE(A)E(B)Bias of BSampling distribution of BSampling distribution of AUnbiased estimator of Biased estimator of Ming-chi Chen22社會統計Relative Efficiency假設A為的不偏估計式。儘管A的抽樣分配會集中於，但並不代表A中的任何特定值皆剛好等於。一個好的估計量除了抽樣分配要集中於母體參數外，其抽樣分配的標準差要愈小愈好。一個母體參數可以有很多個不同的不偏估計量，如隨機變數為對稱分配時，樣本平均數與樣本中位數皆為不偏估計量，但我們喜歡比較集中的估計量。Ming-chi Chen23社會統計高偏差低變異高偏差低變異 高偏差高變異高偏差高變異 不偏與有效Ming-chi Chen24社會統計低偏差高變異低偏差高變異 低偏差低變異低偏差低變異 不偏與有效Ming-chi Chen25社會統計Relative Efficiency假設XN(,2)，樣本數為n，樣本平均數與樣本中位數何者為較好的估計值？由於兩者皆為不偏估計量，因此我們傾向於採用標準差較小的估計量X：Ming-chi Chen26社會統計Relative EfficiencyLet A and B be two unbiased estimators of some population parameter.The relative efficiency of A with respect to B is the ratio of their variances;that is;The estimator A is said to be more efficient than B if Var(A)Var(B)Ming-chi Chen27社會統計Relative Efficiency假設XN(,2)E(X)=E(M)=Sampling distribution of XSampling distribution of MMing-chi Chen28社會統計Minimum Variance Unbiased Estimator當估計式A是母體參數的一個不偏估計式，而且沒有其他的不偏估計式有更小的變異數時，則A為 的最小變異不偏估計式（minimum variance unbiased estimator）x就是的最小變異不偏估計式。Ming-chi Chen29社會統計Sampling Distribution of Sample Mean收入的次數分配=30.47=16.54取樣本數n=20的樣本來計算樣本平均值Ming-chi Chen30社會統計Sampling Distribution of Sample Mean取n=20的樣本五十個，並計算樣本平均值，其抽樣分佈：E(X)=30.47 Sx=2.573Ming-chi Chen31社會統計Sampling Distribution of Sample Mean抽樣分配較原分配接近常態分配E(X)=30.47 Sx=2.573=30.47=16.54Ming-chi Chen32社會統計無論母體為何種分配，樣本平均數的分配呈現鐘型且接近常態分配。而且當樣本數n愈大，趨近於常態分配的情形欲明顯。X的抽樣分配其平均值等於母體平均數：Sampling Distribution of Sample Mean抽樣分配的標準差比母體標準差小。Ming-chi Chen33社會統計Very simple random sample(VSRS)觀念A very simple random sample is a sample whose n observations x1,x2,xn are independent.The distribution of each X is the population distribution p(x):that is P(x1)=P(x2)=P(xn)=population distribution P(x)Then each observation has the mean and standard deviation of the population.E(x)=,Var(X)=2Ming-chi Chen34社會統計Introduction to Sampling Distribution樣本中每一個元素被抽到的機率皆相同每一個元素的期望值為母體平均數每一個元素的標準差為母體標準差觀念Population母體參數P(x1)=P(x2)=P(xn)=population distribution P(x)E(x)=,Var(X)=2Ming-chi Chen35社會統計Ming-chi Chen36社會統計Ming-chi Chen37社會統計Standard Error of X-barThe typical deviation of X from its target represent the estimate error,and so it is commonly called the standard error標準誤,or SE:Ming-chi Chen38社會統計Small-population samplingIf sampling is done without replacement from a finite population containing N elements,then the variance of X is Finite population correction factor有限母體修正因子，若n/N30，套用中央極限定律：Ming-chi Chen85社會統計例題樣本平均數與母體平均數差距不會超過$400，即X-bar介於24,60025,000之間。P(24,600 X-bar 25,400)=?250002540024600Ming-chi Chen86社會統計Sampling distribution of the difference between two sample mean假設有兩獨立母體1122121/n1222/nMing-chi Chen87社會統計Sampling distribution of the difference between two sample mean當樣本n很大時，樣本平均數差之抽樣分配為近似常態分配121/n1222/n21-2Ming-chi Chen88社會統計Sampling distribution of the difference between two sample mean1-2Ming-chi Chen89社會統計例題美國某發卡銀行風險分析師宣稱女性用卡人平均每月消費是80元美金，變異數是1400，而男性平均是80元，而變異數是1320元。取一個包含100女性用卡人和120位男性用卡人的樣本，請問女性樣本均數至少比男性高出5元的機率為何？Ming-chi Chen90社會統計例題Ming-chi Chen91社會統計例題Ming-chi Chen92社會統計例題Ming-chi Chen93社會統計例題Ming-chi Chen94社會統計例題A牌液晶銀幕的平均壽命為6.5年，標準差為0.9年；B牌液晶螢幕平均壽命為6年，標準差為0.8年。我們從A牌中抽出36個樣本，從B牌抽出49個樣本，請問A牌的樣本平均壽命比B牌樣本平壽命長至少1年的機率？Ming-chi Chen95社會統計例題Ming-chi Chen96社會統計Sampling Distribution of the Sample ProportionP是母體中所有具有某項特質的比例（失業、大學生）為了要推測p，我們從母體中取一個大小為 n的樣本，計算其中有X個觀察值具有此項特質。我們用樣本的比例 p=X/n來估算p。q=1-pMing-chi Chen97社會統計Sampling Distribution of the Sample ProportionThe Normal Approximation Rule for Proportion:If np5,and nq 5,the random variable p has approximately a normal distribution with:Ming-chi Chen98社會統計Sampling Distribution of the Sample ProportionIf the distribution of p is approximately normal,then random variableMing-chi Chen99社會統計例題在選舉前，有55%的選民支持歐巴馬，假設我們任取n=400人的隨機樣本來預測歐巴馬的當選率，我們預測歐巴馬會輸的的機率為？Ming-chi Chen100社會統計例題Of your first 15 grandchildren,what is the chance there will be more than 10 boys?“more than 10 boys”the proportion of boys is more than 10/15”Use the Normal Approximation Rule:Ming-chi Chen101社會統計Sampling distribution of the difference between sample proportionsSuppose we take independent sample of size n1 and n2 from two population.Let p1 and p2 be the proportion of items in each population that possess a certain characteristics,and let q1=(1-p1),q2=(1-p2).If n1p15,n1q15,n2p25,n2q25,then the random variable(p1-p2)is approximately normally distributed withMing-chi Chen102社會統計例題假設某行銷公司想要知道某電視節目在高、低收入人口中受歡迎的程度。假設高收入的人中有40%喜歡看此節目，在低收入人口中喜歡此節目的佔50%。這家行銷公司從高收入的人口中抽取100人的樣本，從低收入中抽200人的樣本。請問兩樣本比率差距小於.05的機率？Ming-chi Chen103社會統計例題Ming-chi Chen104社會統計