第2章随机变量及其分布剖析课件

第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数7/9/202412.1.1 随机变量随机变量观察以下随机试验的结果观察以下随机试验的结果:例例2.1 掷一枚骰子考察出现的点数掷一枚骰子考察出现的点数,则则试验结果与数之间试验结果与数之间的恒等映射为的恒等映射为:例例2.2 某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命试验试验,记录灯泡的寿命记录灯泡的寿命,则则样本点与数之间也有恒等映射样本点与数之间也有恒等映射7/9/20242例例 随机从某人群中抽样随机从某人群中抽样,观察抽得的人观察抽得的人的性别的性别,此时此时我们可以建立样本点与数之间的映射为我们可以建立样本点与数之间的映射为:定义定义2.1 设设 是一试验的样本空间是一试验的样本空间,如果对如果对于每一个样本点于每一个样本点,规定一个实数规定一个实数这样就定义了一个定义域为这样就定义了一个定义域为的实值函数的实值函数称称X为为随机变量随机变量.注意注意:还有许多试验的结果本身不是实数还有许多试验的结果本身不是实数7/9/20243随机变量的定义随机变量的定义随机变量随机变量常用常用X、Y、Z 或或 、等表示等表示.7/9/20244随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别(1)定义域是样本空间定义域是样本空间,样本空间不一定样本空间不一定是实空间是实空间;(2)随机变量的取值具有随机性随机变量的取值具有随机性,即试验即试验之前之前,不知道样本空间不知道样本空间 中哪一个样本点中哪一个样本点 出现出现,从而从而取何值不能确定取何值不能确定,而而试验之后试验之后,才确定取何值才确定取何值;(3)随机变量的取值具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率;例如例如在例在例2.1中中,7/9/20245利用随机变量表示事件利用随机变量表示事件 有了随机变量的定义之后有了随机变量的定义之后,我们可以用我们可以用随随机变量落入某个区域机变量落入某个区域来表示随机事件来表示随机事件.例如例如:用用表示掷骰子的时候表示掷骰子的时候“出现奇数点出现奇数点”这一随机事件这一随机事件;用用“X=1”表示表示“掷出的骰子数等于掷出的骰子数等于1”这一随机事件这一随机事件.一般情况下，我们可以用一般情况下，我们可以用表示随机变量取值在表示随机变量取值在G中的样本点构成的中的样本点构成的事件，简记为事件，简记为7/9/202462.1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义2.2 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数xR，定义，定义 F(x)P(X x)称称F(x)为随机变量为随机变量X的的分布函数分布函数.注注(1)分布函数的本质是一个概率，即分布函数的本质是一个概率，即 事件事件|X()x的概率的概率P(X x);(2)对任意实数对任意实数a,b(ab),P(aX b)F(b)F(a).7/9/20247X012P0.10.60.3例例2.5 已知随机变量已知随机变量X的的取值情况如右表，求取值情况如右表，求X的的分布函数分布函数.分布函数的求法分布函数的求法因为分布函数是定义在整个数轴上，所以因为分布函数是定义在整个数轴上，所以0127/9/20248可见可见,此题中此题中,F(x)是一个阶梯型函数是一个阶梯型函数.7/9/20249例例2.6某射手向半径为某射手向半径为R的圆形靶射击一次，假定的圆形靶射击一次，假定不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，r 为为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比比,设随机变量设随机变量X表示弹着点与靶心的距离表示弹着点与靶心的距离,求求X的分布函数的分布函数,并求概率并求概率RX解解:对任意的对任意的7/9/202410例例2.6由题意由题意,7/9/202411例例2.6F(x)xF(x)是一个是一个单调不减的单调不减的函数函数7/9/202412定理定理2.1 分布函数的性质分布函数的性质 1)单调不减性单调不减性：若：若x12)与分布与分布函数函数.解解:Xp1234P(X2)=P(X=3)+P(X=4)=1/15.7/9/202419例例2.7由题意由题意:7/9/202420解解:设设Ai表示第表示第i个个零件不合格零件不合格,它们之间它们之间互相独立互相独立.用一台机器独立地制造用一台机器独立地制造3个同种零件个同种零件,第第i个个零件不合格的概率为零件不合格的概率为1/(i+1),i=1,2,3.以以X表表示三个零件中不合格品的个数，求示三个零件中不合格品的个数，求X的分的分布律与分布函数布律与分布函数.例例7/9/2024217/9/202422X7/9/2024232.2.2 常见的离散型分布常见的离散型分布(1)几何分布几何分布定义定义2.4 若随机变量若随机变量X取值为取值为1,2,且且其中其中则称则称X服从参数服从参数为为的的几何分布几何分布,记为记为可见可见,若一个随机变量若一个随机变量X表示重复的贝努利表示重复的贝努利试验中试验中,首次成功出现所需的试验次数首次成功出现所需的试验次数,则则7/9/202424(2)超几何分布超几何分布定义定义2.5 设设N,n,m为正整数为正整数,若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称X服从服从超几何分布超几何分布,记为记为古典概型中古典概型中,不放回摸球试验不放回摸球试验,N个球个球,其中有其中有m 个红球个红球,随机从随机从N个球中取个球中取n个个,取到红球取到红球的个数为的个数为X,则则7/9/202425(3)二项分布二项分布 则称则称X服从参数为服从参数为n，p的的二项分布二项分布,记记为为 XB(n,p).定义定义2.6 设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1，2,n，且且 特别地特别地,当当n=1时，二项分布时，二项分布XB(1,p)，即为即为(0-1)分布分布.7/9/202426某人独立地射击，设每次射击的命中率某人独立地射击，设每次射击的命中率为为0.02，射击，射击400次，求至少击中目标两次，求至少击中目标两次的概率次的概率.解解:每次射击看成一次试验，设击中次每次射击看成一次试验，设击中次 数为数为X，则则例例XB(400,0.02).X的分布律为的分布律为 7/9/202427所求概率为所求概率为 7/9/202428二项分布的最有可能次数二项分布的最有可能次数若若XB(n,p)，则则可见可见,pk是先是随着是先是随着 k 的增大而增大的增大而增大,达达到其最大值后再随着到其最大值后再随着k 的增大而减少的增大而减少.记二项分布的最可能次数为记二项分布的最可能次数为k0，7/9/202429(4)泊松泊松(Poisson)分布分布则则称称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为X P().定义定义2.7 若随机变量若随机变量X可能的取值为可能的取值为0,1,2,且且可证：二项分布以泊松分布为极限分布可证：二项分布以泊松分布为极限分布.定理定理2.2(泊松定理泊松定理)设随机变量设随机变量且满足且满足则则7/9/202430证证:二项分布以泊松分布为极限分布二项分布以泊松分布为极限分布 左左=11得证得证.7/9/202431P(X 2)=1 P(X0)P(X1)=1(18)e80.996981.上例上例 可用泊松定理计算可用泊松定理计算.取取 =np=4000.028,故近似地有故近似地有X P(8),7/9/202432例例2.12 某网吧有某网吧有300台电脑台电脑,每台电脑的上网人因每台电脑的上网人因各种原因需要网管帮助的概率为各种原因需要网管帮助的概率为0.01,现在现在有两种方式配备网管有两种方式配备网管:A:配备配备10名网管名网管,每人负责每人负责30台电脑台电脑;B:配备配备8名网管名网管,共同负责共同负责300台电脑台电脑;(1)证明证明:方式方式B比方式比方式A效果好效果好;(2)若只需要方式若只需要方式B下有上网人得不到及时下有上网人得不到及时帮助的概率小于帮助的概率小于0.02,则则8名网管可减少至名网管可减少至几名几名?7/9/202433例例2.12 证明证明:设设 分别为两种方式下有人得分别为两种方式下有人得不到帮助的概率不到帮助的概率,则只需证则只需证 X为方式为方式A下一名网管负责的下一名网管负责的30台电脑中台电脑中任意时刻需要帮助的人数任意时刻需要帮助的人数,设设Ai为方式为方式A下第下第i名网管负责的名网管负责的30台电脑台电脑中有人得不到及时帮助中有人得不到及时帮助,i=1,2,10，7/9/202434例例2.12 注意注意相互独立相互独立,于是于是7/9/202435例例2.12 Y为方式为方式B下下300台电脑中任一时刻需要帮台电脑中任一时刻需要帮助的人数助的人数,由于由于np=3,近似地有近似地有于是于是,查泊松查泊松分布表分布表,有有(2)设设N为使得为使得的最小的的最小的N,查泊松分布表查泊松分布表,得得 N+1=8.7/9/202436某商店出售某种商品某商店出售某种商品,具历史记录分析具历史记录分析,每每月销售量服从参数月销售量服从参数=5的泊松分布的泊松分布.问在月问在月初进货时初进货时,要库存多少件此种商品要库存多少件此种商品,才能以才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？的概率充分满足顾客的需要？解解 用用X表示每月销量，则表示每月销量，则思考题思考题XP()=P(5).由题意由题意,要求要求k,使得使得P(Xk)0.999,即即7/9/202437这里的计算通过查这里的计算通过查Poisson分布表得到分布表得到,=5 k+1=14时时,k+1=13时时,所以所以，k=13，即月初进货库存要即月初进货库存要13件件.7/9/202438对离散型随机变量的认识对离散型随机变量的认识(1)离散型随机变量是通过离散型随机变量是通过“分布律分布律”来来刻画的；刻画的；(2)分布律包括两点分布律包括两点:一是随机变量的取值一是随机变量的取值,二是随机变量取值对应的概率二是随机变量取值对应的概率;(3)若已知分布律若已知分布律:A).可求随机变量落入任意区域的概率可求随机变量落入任意区域的概率;B).可求随机变量的分布函数可求随机变量的分布函数.7/9/2024392.3 连续型随机变量连续型随机变量定义定义2.8 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x)，使得使得则则称称X为为连续型随机变量连续型随机变量,概率密度函数概率密度函数，简称密度函数简称密度函数.f(x)为为X 的的 可知，连续型随机变量的分布函数可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数是连续函数.7/9/202440 xf(x)密度函数本身并不表示概率密度函数本身并不表示概率,对密度函数对密度函数的积分才是概率的积分才是概率.也就是说也就是说,密度函数图密度函数图象下的面积才表示概率象下的面积才表示概率.密度函数的意义密度函数的意义7/9/202441密度函数的性质密度函数的性质定理定理2.3 X为连续型随机变量为连续型随机变量,F(x)和和f(x)分别为分别为X的分布函数与密度函数的分布函数与密度函数,则则(1)对任意对任意a,b(ab),有有(1)非负性非负性：(2)归一性归一性：这两个性质这两个性质也是密度函也是密度函数的特征数的特征7/9/202442密度函数的性质密度函数的性质(2)F(x)是连续函数且在是连续函数且在f(x)的连续点，有的连续点，有连续型随机变量取单个值的概率为零连续型随机变量取单个值的概率为零.(3)对任意实数对任意实数c，有有P(X=c)0.因此，对连续型随机变量因此，对连续型随机变量X，有有7/9/202443f(x)ab在在f(x)的连续点的连续点x处有处有7/9/202444例例2.13已知随机变量已知随机变量X的密度为的密度为且且P(2X3)=2P(1X2),求常数求常数a,b及分布及分布函数函数F(x).解解：因为：因为7/9/202445例例2.13即即7/9/202446例例2.13下求分布函数下求分布函数F(x)本题的分布函数是不是分段函数呢本题的分布函数是不是分段函数呢?如果是如果是,应该分几段应该分几段?7/9/202447例例2.13注意积分限的变化注意积分限的变化7/9/202448例例2.13所以所以F(x)是分段是分段函数函数,共三段共三段表示为表示为:7/9/202449思考思考题题设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为试求试求X的密度函数的密度函数.解解:设设X的密度函数为的密度函数为f(x),则则7/9/2024502.3.2几种常见的连续型分布几种常见的连续型分布X U(a,b)定义定义2.9 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为则称则称X在区间在区间a,b上服从上服从均匀分布均匀分布,记为记为(1)均匀分布均匀分布7/9/202451均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景 若若XU(a,b)，则则X在区间在区间a,b中任意长中任意长度相同的子区间里的概率是相同的度相同的子区间里的概率是相同的.即即X落落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关而与子区间的位置无关.对任一长度为对任一长度为l的子区间的子区间7/9/202452abf(x)1F(x)均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数7/9/202453例例设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一分钟来一班车班车,如果某乘客在如果某乘客在7:00 到到7:30之间随机到之间随机到达该车站，试求该乘客候车时间不超过达该车站，试求该乘客候车时间不超过5分分钟的概率钟的概率解：解：设该乘客于设该乘客于7点过点过X分到达此分到达此站，站，XU(0,30)，则则设设A表示候车时间不超过表示候车时间不超过5分钟分钟,7/9/202454(2)指数分指数分布布 X的分布函数为：的分布函数为：定义定义2.10 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布,记为记为X e().7/9/202455例例解解7/9/2024567/9/202457思考题思考题 设打一次电话所用的时间设打一次电话所用的时间X(单位单位:分钟分钟)服从参数为服从参数为1/10的指数分布的指数分布.如果某人刚好如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待在你前面走进公用电话间，求你需要等待10分钟到分钟到20分钟之间的概率分钟之间的概率.解解：X的密度函数为的密度函数为7/9/202458令：令：B表示等待时间为表示等待时间为1020分钟，分钟，则则7/9/202459(3)函数与函数与分布分布定义定义2.11 函数的定义：函数的定义：函数的性质：函数的性质：(3)如果如果n为自然数，则为自然数，则7/9/202460定义定义2.12 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 分布分布则称随机变量则称随机变量X服从参数为服从参数为 的的分布分布.记为记为注注:当当 时时,分布分布为指数分布为指数分布7/9/202461例例2.15某厂生产的元件其寿命某厂生产的元件其寿命1)随机取一个元件随机取一个元件,求该元件寿命大于求该元件寿命大于4万小时的概率万小时的概率;2)随机取随机取10个元件个元件,求至少有求至少有1个元件寿个元件寿命大于命大于4万小时的概率万小时的概率;解解:由题意由题意,X的密度函数为的密度函数为:7/9/202462例例2.152)设设Y表示表示10只元件中寿命大于只元件中寿命大于4万小时万小时的只数的只数,已知已知:求求分部积分分部积分则则YB(10,0.406)，7/9/2024632.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布例例2.16 X有概率分布有概率分布求求Y,Z的概率分布的概率分布.解解:Y的取值为的取值为0,1,4,分别求分别求Y取这些值取这些值的概率的概率:P(Y=0)=P(X=0)=0.3，P(Y=1)=P(X=1 或或 X=1)=0.5，7/9/202464P(Y=4)=P(X=2)=0.2.从而从而类似地类似地,可得可得7/9/202465例例2.17设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为Y=2lnX,求求Y的密度函数的密度函数.解解:当当X取值在取值在(0,1)内时内时,Y的值域为的值域为Y的分布函数为的分布函数为:7/9/202466例例2.177/9/202467例例2.17连续型连续型情形下情形下,求密度函数的一般方法求密度函数的一般方法:7/9/202468一般方法一般方法已知随机变量已知随机变量X有密度函数有密度函数f(x),Y=g(X),则则(1)确定确定Y的值域的值域R(Y)；(2)对任意对任意yR(Y),求出求出Y的分布函数的分布函数(3)对对FY(y)求导可得求导可得fY(y),yR(Y)；(4)对对 时时,取取fY(y)=0.7/9/202469例例2.19设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为Y=X2,求求Y的密度函数的密度函数.解解:易得易得 R(Y)=0,4.有有注意注意X的密度函数定义在两个不同区间上的密度函数定义在两个不同区间上7/9/202470例例2.197/9/202471例例2.197/9/202472典型题分析典型题分析例例1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为试求随机变量试求随机变量Y的分布律的分布律.若若X为奇数为奇数若若X为偶数为偶数7/9/202473解：解：所以所以,随机变量随机变量Y的分布律为的分布律为7/9/202474设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为例例2求求X的分布律的分布律.7/9/202475设随机变量设随机变量X有分布函数为有分布函数为例例3求求常数常数A及及概率概率7/9/202476解：解：7/9/202477例例4设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为(1)试确定常数试确定常数C；(2)求求X的分布函数；的分布函数；(3)求求P(|X|0时时，F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)7/9/202479=1P(在在t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥)=1-P(Xt=0)=1-e-t，于是于是7/9/202480例例67/9/202481N(t)P(t)，即即：解解:7/9/202482所以所以T的分布函数为的分布函数为注注：此时：此时 t=27/9/202483(3)7/9/202484例例7某人骑自行车从学校到火车站某人骑自行车从学校到火车站,一路上要一路上要经过经过3个独立的交通灯个独立的交通灯,设各灯工作独立设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为且设各灯为红灯的概率为p,0p1,以以X表表示首次停车时所通过的交通灯数示首次停车时所通过的交通灯数,求求X的的概率分布概率分布.解解:设设Ai表示表示“第第i个灯为红灯个灯为红灯”,则则P(Ai)=p.7/9/2024857/9/202486例例8某人骑自行车从学校到火车站某人骑自行车从学校到火车站,一路上要一路上要经过经过3个独立的交通灯个独立的交通灯,设各灯工作独立设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为且设各灯为红灯的概率为p,0p1,以以Y表表示一路上遇到红灯的次数示一路上遇到红灯的次数,求求Y的概率分布的概率分布.解解:Y B(3,p).7/9/202487