矩阵概念及运算课件

第二节 矩阵的概念及运算一 矩阵的概念例1 某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所示：产品 销量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220 第二节 矩阵的概念及运算一 矩阵的概念1为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表：此表在数学上称为矩阵。为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的2定义 由 个数，排成的m行n列的数表叫做m行n列矩阵（或 矩阵）；其中 叫做矩阵的元素；分别叫做 的行标和列标。定义 由 个数，排成的m行n3通常用大写字母 或 表示矩 阵，也可记作 或n阶方阵（m=n时）：行矩阵（m=1时）：通常用大写字母 或 4列矩阵（n=1时）：零矩阵：或主对角线（方阵中元素所在的对角线）矩阵概念及运算课件5对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）：如 为对角方阵对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）：6上三角阵例如 为上三角阵矩阵概念及运算课件7下三角阵例如 为下三角阵矩阵概念及运算课件8 对称阵 满足例如 为对称阵单位阵例如 为单位阵 对称阵 9转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列，得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作例如，则矩阵的相等：（即：矩阵的相等恰意味着元素对应相等）转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列，得到的新矩阵，称为A的10二 矩阵的加法与减法设 规定（即：矩阵的加减意味着元素对应相加减）如：则 二 矩阵的加法与减法11注意：两个矩阵只有当它们的行数、列数分别相同时，才可进行加减。矩阵加法满足以下规律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（其中A,B,C都是 矩阵）注意：两个矩阵只有当它们的行数、列数分别相同时，才可进行加减12例2 已知并且A=B+C,求矩阵B和C 。例2 已知13三 数与矩阵相乘数k与矩阵 的乘积规定为即并规定 kA=Ak三 数与矩阵相乘14数与矩阵的乘法满足以下规律：（1）分配律：k(A+B)=kA+kB (k+h)A=kA+hA （2）结合律：k(hA)=(kh)A（其中，A，B都是 矩阵，k，h为任意常数）数与矩阵的乘法满足以下规律：15例3 已知求矩阵概念及运算课件16四 矩阵与矩阵相乘先看一个例子：某厂生产两种产品，第一季度的销售额如表（1）所示（单位：千元），表（2）为产品质量全为一等品或全为二等品时的利润表。产品 A B 等级 一等品 二等品月份 产品 一月 5 7 A 20%10%二月 6 10 B 30%15%三月 8 12 表（1）表（2）四 矩阵与矩阵相乘17因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。等级 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。18上述三个数表，用矩阵表示为可记C=AB 。其中而 （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）上述三个数表，用矩阵表示为19定义 设令则称 为A与B的乘积，记作C=AB 。即定义 设20结论：矩阵A与B的乘积AB有意义的充要条件是：左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数s 。例4 已知求AB和BA 。结论：矩阵A与B的乘积AB有意义的充要条件是：左矩阵A的列数21可见，在一般情况下，矩阵的乘法满足以下规律：（1）分配律：A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA（2）结合律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)（其中A,B,C为矩阵,k为任意的数）可见，在一般情况下，22在矩阵的乘法中，单位阵I所起的作用与普通代数中数1的作用类似，即AI=IA=A注意：当A,B均 时，可以有AB=0。例如：则 但AB=0（因此，通常的约分律在此不能滥用）在矩阵的乘法中，单位阵I所起的作用与普通代数中数1的作用类似23五 逆矩阵概念定义 对于n阶方阵A，若存在n阶方阵C，使得AC=CA=I（I为单位阵），则称C为A的逆矩阵（简称逆阵），记作 即 。从而这时方阵A称为可逆的（非奇异的），否则，A叫做不可逆的（奇异的）。五 逆矩阵概念24例如，则AC=CA=I。故 。矩阵概念及运算课件25逆矩阵有以下性质：（1）若A可逆，则 是唯一的。（2）若A可逆，则 。（3）若A,B均为n阶方阵，且A,B均可逆，则 。逆矩阵有以下性质：26以下为补充知识：1 矩阵概念的其它背景：（1）线性方程组的系数矩阵以下为补充知识：27和增广矩阵和增广矩阵28（2）线性变换的系数矩阵（2）线性变换292 矩阵加法的一种实际背景：某种物资（单位：吨）从m个产地运往n个销地，两次调运方案分别用矩阵表示。则求各产地到各销地的两次物资调运量就是作矩阵A和B的加法：2 矩阵加法的一种实际背景：303 “数乘矩阵”的一种实际背景：如果一个系统A的输出信号 太小，需外接一个放大器，其放大倍数为k，即输出信号 都放大到k倍，则实际上相当于数k与矩阵 作了乘积3 “数乘矩阵”的一种实际背景：314 利用矩阵的乘法，可以把线性方程组简写为矩阵形式AX=B。其中4 利用矩阵的乘法，可以把线性方程组32即即335 利用矩阵的乘法，也可以把n个输入m个输出的线性系统简写成矩阵形式Y=AX,其中5 利用矩阵的乘法，也可以把n个输入m个输出的线性系统34即即356 在线性控制系统中，往往要把一个线性系统A的输出送到另一个线性系统B中作为输入。于是，将A,B两个系统串联起来的系统等效于线性系统C=BA事实上，设Y=AX，Z=BY，则Z=B(AX)=(BA)X，即 Z=(BA)X因此，A,B的串联系统确实等效于C=BA系统。ABXYZ6 在线性控制系统中，往往要把一个线性系统A的输出送到367 对于n个未知数、n个方程的线性方程组AX=B（矩阵形式），若系数矩阵A可逆，则必有 （事实上，由AX=B有：，即 ，即 ）另外，对于一个线性变换Y=AX（矩阵形式）而言，若A为方阵且A可逆，则显然有 （逆变换）。故 恰为逆变换对应的矩阵。7 对于n个未知数、n个方程的线性方程组AX=B（矩阵378 可以证明：方阵A可逆的充要条件是8 可以证明：方阵A可逆的充要条件是38