清华微积分(高等数学)课件微积分(一)小结

微积分微积分（一）（一）小结小结一一.函数函数1.定义定义7/4/20241（1）有界性）有界性2.函数的初等性质函数的初等性质（3）奇偶性）奇偶性（4）周期性）周期性（2）单调性）单调性7/4/202424.会分析复合函数中变量的关系，会会分析复合函数中变量的关系，会 求给定函数的反函数。求给定函数的反函数。3.利用函数符号描述有关函数的性质；利用函数符号描述有关函数的性质；要求要求1.要熟练掌握基本初等函数的定义要熟练掌握基本初等函数的定义 域、值域及图形；域、值域及图形；2.利用给定条件或问题，找出函数关系利用给定条件或问题，找出函数关系 及定义域；及定义域；7/4/202431.极限的定义极限的定义二、函数的极限二、函数的极限7/4/202442.极限的性质极限的性质（1）唯一性）唯一性:（2）有界性）有界性:（3）保号性）保号性:7/4/202453.极限的运算法则极限的运算法则（1）四则运算法则）四则运算法则（2）复合函数的极限法则）复合函数的极限法则4.无穷小量的比较无穷小量的比较（3）夹逼定理）夹逼定理7/4/20246注意注意 并非所有无穷小量都可以进行比较并非所有无穷小量都可以进行比较例如例如而而不存在不存在7/4/20247搞清以下关系搞清以下关系（4）无穷大量与无界函数的关系）无穷大量与无界函数的关系.7/4/202486.求未定型极限的方法求未定型极限的方法(1)利用基本公式利用基本公式:7/4/20249(2)利用等价无穷小替换；利用等价无穷小替换；(3)利用罗必达法则；利用罗必达法则；(4)利用夹逼定理；利用夹逼定理；(5)利用泰勒公式利用泰勒公式7/4/202410要求要求(2)熟练掌握极限的性质，能够运熟练掌握极限的性质，能够运用它们分析证明简单的问题用它们分析证明简单的问题.(3)能够熟练的运用极限的各种运能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函数算法则、重要极限及定理求函数的极限。的极限。(1)正确理解函数极限的概念。正确理解函数极限的概念。7/4/202411三三.连续函数连续函数1.定义定义要求要求(1)能叙述两种函数在能叙述两种函数在 连续的等价定义连续的等价定义.(2)会确定间断点及其类型会确定间断点及其类型.7/4/2024122.连续函数的性质连续函数的性质(1)两个连续函数经有限次四则运算两个连续函数经有限次四则运算 和复合得到的新函数仍是连续函数。和复合得到的新函数仍是连续函数。(2)若函数若函数 ，则有以下重，则有以下重 要定理：要定理：1）有界定理）有界定理2）根值定理（零点定理）根值定理（零点定理）3）介值定理）介值定理7/4/2024134）最值定理）最值定理3.初等函数在其定义区间上是连续的初等函数在其定义区间上是连续的要求要求(2)掌握连续函数的性质，并能够运掌握连续函数的性质，并能够运用它们分析证明简单的问题。用它们分析证明简单的问题。(1)会利用初等函数的连续性求函数会利用初等函数的连续性求函数的极限。的极限。7/4/202414四四.导数与微分导数与微分1.基本概念基本概念(1)导数定义导数定义设函数设函数 在点在点 及其附近有定义，及其附近有定义，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数 在在 可导，可导，在在 的导数记作的导数记作 。7/4/202415(2)微分定义微分定义7/4/202416(3)高阶导数的定义高阶导数的定义7/4/202417(4)可微与可导的关系可微与可导的关系2.基本导数公式基本导数公式(5)可微与连续的关系可微与连续的关系7/4/2024187/4/2024197/4/2024203.导数的运算法则导数的运算法则(1)导数的四则运算法则导数的四则运算法则(2)复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则(3)隐函数求导法隐函数求导法(4)反函数求导法反函数求导法(5)参数方程求导法参数方程求导法(6)对数微分法对数微分法(7)高阶导数的莱布尼兹公式高阶导数的莱布尼兹公式7/4/2024214.导函数的性质导函数的性质(1)导数的零点定理导数的零点定理(2)导数的介值定理导数的介值定理(3)导函数在定义区间内无第一类间断点。导函数在定义区间内无第一类间断点。7/4/202422要求要求(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，掌握导数概念、物理意义及几何意义，会用定义求分段函数在分点处的导数。会用定义求分段函数在分点处的导数。(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。数的关系。(3)熟记基本导数（微分）公式。熟记基本导数（微分）公式。(4)熟练运用各种求导熟练运用各种求导(微分微分)法则求初等函法则求初等函数的导数、微分。数的导数、微分。7/4/202423五五.导数应用导数应用1.微分学基本定理微分学基本定理(1)罗尔定理罗尔定理(2)拉格朗日定理拉格朗日定理(3)柯西定理柯西定理2.函数的增减性函数的增减性7/4/2024243.函数的极值函数的极值(1)极值的概念极值的概念:7/4/202425(2)极值的必要条件（费马定理）极值的必要条件（费马定理）(3)极值的充分条件极值的充分条件7/4/2024264.函数的凸性函数的凸性(2)凸性的判别法凸性的判别法7/4/202427(3)拐点的定义与判别拐点的定义与判别1)定义定义曲线的上凸弧与下凸弧的分界点曲线的上凸弧与下凸弧的分界点7/4/2024285.曲线的渐近线曲线的渐近线7/4/2024297/4/2024306.罗必达法则7/4/2024317.泰勒公式泰勒公式（1）皮亚诺型余项的泰勒公式）皮亚诺型余项的泰勒公式7/4/2024322.拉格朗日型余项的泰勒公式拉格朗日型余项的泰勒公式7/4/2024333.常用的麦克劳林公式常用的麦克劳林公式7/4/2024347/4/202435要求要求7/4/202436(9)利用泰勒公式求极限、证明不等式利用泰勒公式求极限、证明不等式(8)会用直接展开或间接展开的方法求会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式函数的泰勒公式7/4/202437例例1证证设设7/4/202438从而从而所以所以7/4/202439例例2证证则则7/4/202440例例3证证反证法。设另有交点反证法。设另有交点则对函数则对函数有有由罗尔定理由罗尔定理7/4/2024417/4/202442