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第二章第二章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法常用方法常用方法 1 二分法二分法 2 一般迭代法一般迭代法3 牛顿迭代法牛顿迭代法4 弦截法弦截法 根的隔离；误差估计；迭代收敛阶根的隔离；误差估计；迭代收敛阶2 一般迭代法一般迭代法(1)迭代法迭代法 (1)把（把（1）等价变换为如下形式）等价变换为如下形式 (2)建立迭代格式建立迭代格式 (3)适当选取初始值适当选取初始值x 0，递推计算出所需的解。递推计算出所需的解。定理定理2.2 （非局部收敛定理）（非局部收敛定理）如果如果 在在 上上连续可微且以下条件满足连续可微且以下条件满足：命题命题2.2 若在区间若在区间 内内 ，则对任，则对任何何 ，迭代格式，迭代格式 不收敛。不收敛。推论推论 设设 x*=g(x*)，若若 g(x)在在 x*附近附近连续可微且连续可微且 ，则迭代格式，则迭代格式 xk+1=g(xk)在在 x*附近局部收敛。附近局部收敛。(2)迭代法的收敛性迭代法的收敛性简单地代之以简单地代之以 (3)迭代法的误差估计迭代法的误差估计 3 牛顿迭代法牛顿迭代法 其迭代函数为其迭代函数为 牛顿迭代法牛顿迭代法 4 4 弦截法弦截法 弦截法弦截法第三章第三章 线性代数方程组的数值解法线性代数方程组的数值解法 1解线性方程组的消去法解线性方程组的消去法1解线性方程组的矩阵分解法解线性方程组的矩阵分解法3 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法给定一个线性方程组给定一个线性方程组求解向量求解向量 x。(1)高斯消去法高斯消去法1.解线性方程组的消去法解线性方程组的消去法 1）消元过程）消元过程：对对k=1,2,n 依次计算依次计算 2)回代过程回代过程：这一无回代的消去法称为这一无回代的消去法称为高斯高斯-若当若当（Jordan）消去法消去法(2)(2)高斯高斯-若当若当（Jordan）消去法消去法 高斯高斯-若当若当（Jordan）消去法消去法 一般公式：一般公式：定理定理 3.1 如果的各阶顺序主子式均不为零，即有如果的各阶顺序主子式均不为零，即有即消去法可行。即消去法可行。推论推论 若系数矩阵若系数矩阵严格对角占优严格对角占优，即有，即有 (3)选主元素的消去法选主元素的消去法 主元素的选取通常采用两种方法：主元素的选取通常采用两种方法：一种是一种是全主元消去法全主元消去法；另一种是；另一种是列主元消去法列主元消去法。2 解线性方程组的矩阵分解法解线性方程组的矩阵分解法 一、一、非对称矩阵的三角分解法非对称矩阵的三角分解法 矩阵分解法的基本思想是：矩阵分解法的基本思想是：可逆下三角矩阵可逆下三角矩阵可逆上三角矩阵可逆上三角矩阵对于给定的线性方程组对于给定的线性方程组 （1）分解分解解两个三角形方程组。解两个三角形方程组。矩阵的矩阵的Crout分解的计算公式分解的计算公式(3-12)注：注：3.3.3 对称正定矩阵的三角分解对称正定矩阵的三角分解 定义定义 3.1 若若n 阶方矩阵阶方矩阵 A 具有性质具有性质 且对任何且对任何n 维维向量向量 成立成立 ，则称，则称 A 为对称正定矩阵。为对称正定矩阵。定理定理3.4 若若A 为对称正定矩阵，则为对称正定矩阵，则 (1)A的的k阶顺序主子式阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵和对角矩阵D 使得使得 （3-16）这称为矩阵的这称为矩阵的乔里斯基乔里斯基（Cholesky）分解分解。(3)有且仅有一个下三角矩阵有且仅有一个下三角矩阵 ，使，使 （3-17）这称为分解矩阵的这称为分解矩阵的平方根法平方根法。3 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 迭代法迭代法思想思想:(1)Ax=b (3-1)(2)建立迭代格式建立迭代格式这称为这称为一阶定常迭代格式一阶定常迭代格式，M 称为称为迭代矩阵迭代矩阵。约化便得约化便得 从而可建立迭代格式从而可建立迭代格式对对 （3-23）以分量表示即以分量表示即(1)、Jacob迭代法迭代法雅可比雅可比（Jacobi）迭代迭代 则雅可比迭代格式（则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为）可用矩阵表示为 MJf J用矩阵表示为用矩阵表示为 对雅可比迭代对雅可比迭代格式修改得格式修改得高斯高斯-塞德尔塞德尔（Gauss-Seidel）迭代迭代 f G-SMG-S(2)Gauss-Seidel迭代法迭代法例例3.10 分别用雅可比迭代法和高斯分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解塞德尔迭代法求解 线性方程组线性方程组 解解 相应的迭代公式为相应的迭代公式为雅可比迭代雅可比迭代高斯高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代令令 取四位小数迭代计算取四位小数迭代计算 由雅可比迭代得由雅可比迭代得 由高斯由高斯-塞德尔迭代得塞德尔迭代得 定理定理 3.5 若一阶定常迭代格式（若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵）的迭代矩阵 满足条件满足条件 则该迭代格式对任何初始向量则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。均收敛。则该迭代格式对任何初始向量则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。均收敛。定理定理 3.6 若一阶定常迭代格式（若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵）的迭代矩阵 满足条件满足条件 迭代法的收敛性迭代法的收敛性 推论推论 如果线性代数方程组如果线性代数方程组 A x=b的系数矩阵的系数矩阵 A 为严格对角为严格对角占优矩阵，即占优矩阵，即则相应的雅可比迭代法与高斯则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向塞德尔迭代法对任何初始向量量 均收敛。均收敛。定理定理 3.8 一阶定常迭代格式一阶定常迭代格式 对任何初对任何初始向量均收敛的始向量均收敛的充分必要条件充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于为其迭代矩阵的谱半径小于1，即，即 这里这里 为为 M 的特征值的特征值 第四章第四章 函数的插值与拟合法函数的插值与拟合法1 插值多项式的构造插值多项式的构造2 最小二乘法最小二乘法定义定义 4.1 设设 y=f(x)在区间在区间a,b上连续，在上连续，在a,b内内n+1个互不个互不 相同的点相同的点 上取值上取值 .求一代数多项式求一代数多项式P(x)，使使 得得 则称则称P(x)为为f(x)的的插值函数插值函数1 插值多项式插值多项式定理定理 4.1 在在 n+1 个互异点个互异点 上满足插值条上满足插值条 件件(4-1)的次数不超过的次数不超过n次的插值多项式次的插值多项式 存在且惟一。存在且惟一。两种插值多项式形式两种插值多项式形式 (1)拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 下列列表函数的多项式下列列表函数的多项式Ln(x)xx0 x1-xi-1xixi+1-xnyy0y1-yi-1yiyi+1-yn线性插值线性插值(n=1)，抛物插值抛物插值 (n=2)(2)牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式Ln(x)和和N(x)插值多项式的余项插值多项式的余项 例：已知列表函数例：已知列表函数,并并计算计算f(0.5)的计算值。的计算值。解：解：x-1012y111-5x-1012y111-5(1)由数据表由数据表构造均差表构造均差表kxkf(xk)一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差0-1100-11010-3211-632-5又解：又解：2 数据的多项式最小二乘拟合数据的多项式最小二乘拟合 xx0 x1-xi-1xixi+1-xnyy0y1-yi-1yiyi+1-yn已知一组数据：已知一组数据：-这个多项式称为这组数据的这个多项式称为这组数据的 最小二乘拟合多项式最小二乘拟合多项式求求最小二乘多项式的步骤最小二乘多项式的步骤例例4.5 试对以下数据进行多项式拟合试对以下数据进行多项式拟合 xi12345678yi1.13.88.715.624.6 37.4 49.664.2解解
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