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1.如如图图所所示示，一一均均匀匀细细棒棒，长长为为l，质质量量为为m，可可绕绕过过棒棒端端且且垂垂直直于于棒棒的的光光滑滑水水平平固固定定轴轴O在在竖竖直直平平面面内内转转动动。棒棒被被拉拉到到水水平平位位置置从从静静止止开开始始下下落落，当当它它转转到到竖竖直直位位置置时时，与与放放在在地地面面上上一一静静止止的的质质量量亦亦为为m的的小小滑滑块块碰碰撞撞，碰碰撞撞时时间间极极短短。小小滑滑块块与与地地面面间间的的摩摩擦擦系系数数为为，碰碰撞撞后后滑滑块块移移动动距距离离S后后停停止止，而而棒棒继继续续沿沿原原转转动动方方向向转转动动，直直到到达达到最大摆角。到最大摆角。求：求：(1)碰撞后棒的中点碰撞后棒的中点C 离地面的最大高度离地面的最大高度h。(2)若碰撞为完全弹性碰撞，若碰撞为完全弹性碰撞，h=?(3)若碰撞若碰撞为完全非完全非弹性碰撞，性碰撞，h=?解：解：(1)碰撞前杆的碰撞前杆的转速：速：碰撞碰撞过程角程角动量守恒：量守恒：针对小滑小滑块用用动能定理：能定理：碰撞后杆上碰撞后杆上摆过程机械能守恒：程机械能守恒：(2)碰撞碰撞过程程动能守恒：能守恒：(3)碰撞碰撞过程角程角动量守恒，滑量守恒，滑块与杆粘与杆粘连：2.如如图图所所示示，用用一一穿穿过过光光滑滑桌桌面面上上小小孔孔的的软软绳绳。将将放放在在桌桌面面上上的的质质点点m与与悬悬挂挂着着的的质质点点M连连接接起起来来，在在桌桌面面上上作作匀匀速速率率圆圆周周运运动动。问问：(1)若若绳绳的的质质量量可可以以忽忽略略不不计计，m桌桌面面上上作作圆圆周周运运动动的的速速率率v和和圆圆周周半半径径r满满足足什什么么关关系系时时才才能能使使M静静止止不不动动？(2)若若绳绳的的质质量量为为m0，长长度度为为L，则则v与与r应应满满足足怎怎样样的关系？的关系？mMrvmgNTMgT解：解：(1)M和和m的受力分析如的受力分析如图:对m：当当M静止静止时。对M有：有：解得：解得：(2)若若绳的的质量不量不为0，则作作圆周运周运动的的绳也需要向心力，也需要向心力，设绳的的线密度密度为=m0/L距离距离圆心心x处的的长度度为dx的一段的一段绳质量量为 dm=dx在水平方向上有：在水平方向上有：积分得：分得：竖直直绳的力平衡的力平衡再代入再代入T和和T，整理得整理得dmTxTxTxTTMg(L-r)gTxo3.如如图：空空心心环B半半径径R，初初始始角角速速度度0，对轴转动惯量量为J0，可可绕转轴自自由由旋旋转。求求：小小球球A无无摩摩擦擦滑滑到到角角时时，环环的的角角速速度度和和球球相相对对于于环环的的速速度度各各为为多少？多少？w w0 0bORBAOac解：小球下落解：小球下落过程，球与程，球与环组成成的系的系统对轴OO角角动量守恒：量守恒：a :小球小球A在在点的速率点的速率为 下滑下滑过程中，小球、程中，小球、环、地球、地球为系系统机械能守恒：机械能守恒：a :4.长长为为l，质质量量为为 m 的的均均匀匀杆杆，在在光光滑滑桌桌面面上上由由竖竖直直位位置置自自然然倒倒下下，当当夹夹角角为为 时时（见见图），图），求：求：(1)质心的速度；质心的速度；(2)杆的角速度。杆的角速度。解解：(1)水水平平方方向向不不受受力力，故故质心心在在水水平平方方向向不不产生生加加速速度度，质心心原原来来静静止止，故故质心心水水平平方方向向的的速速度度为零零。只只有有竖直直方方向向的的速速度度。设任任一一时刻刻，质心的位置心的位置为：则：则：(2)在杆下滑过程中，只有重力作功，故在杆下滑过程中，只有重力作功，故机械能守恒机械能守恒，对任一，对任一夹角夹角 ，有：，有：由于：由于：代入后代入后:经整理，得：经整理，得：5.质量很小量很小长度度为l 的均匀的均匀细杆，可杆，可绕过其中心其中心 O并与并与纸面垂直的面垂直的轴在在竖直平面内直平面内转动。当。当细杆杆静止于水平位置静止于水平位置时，有一只小虫以速率，有一只小虫以速率 v0 垂直落垂直落在距点在距点O为 l/4 处，并背离点，并背离点O 向向细杆的端点杆的端点A 爬爬行。行。设小虫与小虫与细杆的杆的质量均量均为m。问：欲使：欲使细杆杆以恒定的角速度以恒定的角速度转动，小虫，小虫应以多大速率向以多大速率向细杆杆端点爬行端点爬行?解：小虫与解：小虫与细杆的碰撞杆的碰撞视为完全非完全非弹性碰性碰撞，碰撞前后系撞，碰撞前后系统角角动量守恒量守恒由角由角动量定理量定理即即考考虑到到6.一装沙一装沙车以速率以速率v=3m/s从沙斗下通从沙斗下通过，每秒每秒钟落入落入车厢的沙的沙为 m=500kg，如果如果使使车厢的速率保持不的速率保持不变，应用多大的用多大的牵引引力？力？(设车与与轨道的摩擦不道的摩擦不计)解解：设t时刻刻已已落落入入车厢沙沙子子的的质量量与与沙沙车的的质量量之之和和为m，dt时间内即将落入的沙子内即将落入的沙子质量量为dm。以以m和和dm为研究系研究系统t+dt时刻的刻的动量量为t时刻水平刻水平总动量量为动量的增量量的增量为根据根据动量定理量定理 7.如如图，斜面固定在地面上，不，斜面固定在地面上，不计所有所有摩擦，摩擦，求斜面与求斜面与A间，A与与B间的作用。的作用。A木木块：牛二律的矢量式的形式：牛二律的矢量式的形式投影式投影式(代数式代数式)解：以地面解：以地面为参照系（参照系（惯性系）性系）的受力的受力图A A木块：木块：取向下取向下为正方向，投影式正方向，投影式(代数式）代数式）为运运动学学规律律联立求解，运算及立求解，运算及结果略。果略。B木木块：牛二律的矢量式的形式：牛二律的矢量式的形式 8、8、唱唱机机的的转转盘盘绕绕着着通通过过盘盘心心的的固固定定竖竖直直轴轴转转动动，唱唱片片放放上上去去后后将将受受转转盘盘摩摩擦擦力力的的作作用用而而随随转转盘盘转转动动,如如图图3所所示示。设设唱唱片片为为半半径径为为R、质质量量为为 m的的均均匀匀圆圆盘盘，唱唱片片和和转转盘盘间间的的摩摩擦擦系系数数为为k ，转转盘盘以以角角速速度度w 匀匀速速转转动动。求求：（1）唱唱片片刚刚被被放放到到唱唱盘盘上上去去时时受受到到的的摩摩擦擦力力矩矩为为多多大大？（2）唱唱片片达达到到角角速速度度w 需需要要多多长长时时间间？在在这这段段时时间间内内，转转盘盘保保持持角角速速度度w不不变变，驱驱动动力力矩矩共共做做了了多多少少功功？唱唱片片获获得了多大的得了多大的动动能？能？解：唱片的面密度为m/(R2)。在唱片上取如图8所示的面积元ds，其面积为dS=rddr。小质元的质量可以写为 dm=mrddr/(R2)该面元所受摩擦力对转轴的力矩为该面元所受摩擦力对转轴的力矩为：dM=rdfkrdmgkmgr2ddr/(R2)唱片上各质元所受的力矩方向相同，所以整个唱片上各质元所受的力矩方向相同，所以整个唱片受到的摩擦力矩的大小为唱片受到的摩擦力矩的大小为（2）唱唱片片受受到到摩摩擦擦力力矩矩作作用用，做做匀匀角角加加速速转转动动，角角速速度度增增大大，直直至至达达到到转转盘盘的的角角速速度度为为止止。这这段时间内，其角加速度的值由转动定律求得段时间内，其角加速度的值由转动定律求得rdrO图8 习题8解答用图唱片达到角速度唱片达到角速度w 需要的需要的时间为转盘保持角速度转盘保持角速度w w 不变，驱动力矩的功为不变，驱动力矩的功为 AMDq Mw t唱片获得的动能为唱片获得的动能为rdrO图8 习题8解答用图9.质质量量为为m1半半径径为为R水水平平圆圆盘盘绕绕竖竖直直轴轴以以角角速速度度 0转转动动。圆圆盘盘上上有有一一质质量量为为m2玩玩具具汽汽车车从从t=0时时刻刻沿沿它它的的一一条条半半径径由由中中心心向向边边缘缘行行驶驶，如如图图9所所示示。现现将将玩玩具具汽汽车车视视为为质质点点，且且它它相相对对于于盘盘的的速速率率v恒恒定定。已已知知m1=2kg,m2=1kg,R=1m,o=20rad/s,v=1m/s，求求:玩玩具具汽汽车车行行至圆盘边缘时至圆盘边缘时,圆盘转了多少圈圆盘转了多少圈?图9 习题9用图解解 圆盘与玩具汽车组成的系统角动量守恒，得到方程圆盘与玩具汽车组成的系统角动量守恒，得到方程解方程得：解方程得：圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为车在车在t t时刻位于距轴时刻位于距轴r 处时的转动惯量为处时的转动惯量为圆盘在圆盘在0t t时间间隔内的角位移为时间间隔内的角位移为将已知条件代入上式得将已知条件代入上式得:圆盘在圆盘在0t t时间间隔转动的圈数时间间隔转动的圈数N为为
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