数学建模 微分方程模型

2 2 传染病模型传染病模型 3 3 战争模型战争模型 4 4 最优捕鱼问题最优捕鱼问题 1 1 微分方程微分方程模型模型 微微分分方方程程模模型型1 1 微分方程微分方程模型模型 一、微分方程模型的建模步骤微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系变量之间的直接关系函数表达式，但却容易找到函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统这时往往采用微分关系式来描述该系统即建立微即建立微分方程模型分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。型的基本步骤。例例1某人的食量是某人的食量是10467（焦（焦/天），其中天），其中5038（焦（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦（焦/公斤公斤天）乘以他的体重（公斤）。假设天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而地有效，而1公斤脂公斤脂肪含热量肪含热量41868（焦）。（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。试研究此人的体重随时间变化的规律。模型分析模型分析在问题中并未出现在问题中并未出现“变化率变化率”、“导数导数”这样的关键这样的关键词，但要寻找的是体重（记为词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间）关于时间t的的函数。如果我们把体重函数。如果我们把体重W看作是时间看作是时间t的连续可的连续可微函数，我们就能找到一个含有微函数，我们就能找到一个含有的微分方程。的微分方程。模型假设模型假设1.以以W(t)表示表示t时刻某人的体重，并设一天开始时时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为人的体重为W0。2体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为W(t)是关于连续是关于连续t而且充分光滑的。而且充分光滑的。3体重的变化等于输入与输出之差，其中输入体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。输出就是进行健身训练时的消耗。模型建立模型建立问题中所涉及的时间仅仅是问题中所涉及的时间仅仅是“每天每天”，由此，由此，对于对于“每天每天”体重的变化体重的变化=输入输入-输出。由于考输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化体重的变化/天天=输入输入/天天输出输出/天。代入具天。代入具体的数值，得体的数值，得输入输入/天天=10467（焦（焦/天）天）5038（焦（焦/天）天）=5429（焦（焦/天），天），输出输出/天天=69（焦（焦/公斤公斤天）天）（公斤）（公斤）=69（焦（焦/天）。天）。体重的变化体重的变化/天天=W/t（公斤（公斤/天），天），当当 t0时，它等于时，它等于dW/dt。考虑单位的匹配，考虑单位的匹配，利用利用“公斤公斤/天天=（焦（焦/每天）每天）/41868（焦（焦/公斤）公斤）”,可建立如下微分方程模型可建立如下微分方程模型模型求解模型求解 用变量分离法求解，模型方程等价于用变量分离法求解，模型方程等价于积分得积分得从而求得模型解从而求得模型解就描述了此人的体重随时间变化的规律。就描述了此人的体重随时间变化的规律。现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?显然由显然由W的表达式，当的表达式，当t时，体重有稳定值时，体重有稳定值W 81。我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，在平衡状态下，W是不发生变化的。所以是不发生变化的。所以这就非常直接地给出了这就非常直接地给出了W平衡平衡=81。所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！衡值，就不必去求解微分方程了！至此，问题已基本上得以解决。至此，问题已基本上得以解决。一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：(1)根据规律列方程。利用数学、力学、物理、根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。方程模型。(3)模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的建模方法。建模方法。2 2 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最最大大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的健有效接触感染的健康者人数不超过病人数康者人数不超过病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特的特例例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0模型模型4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为2）病人的日接触率）病人的日接触率 ,日日治愈率治愈率,接触数接触数 =/建模建模需建立需建立 的两个方程的两个方程模型模型4SIR模型模型无法求出无法求出 的解析解的解析解在相平面在相平面 上上研究解的性质研究解的性质模型模型4消去消去dtSIR模型模型相轨线相轨线 的定义域的定义域相轨线相轨线11si0D在在D内作相轨线内作相轨线 的图形，进行分析的图形，进行分析si101D模型模型4SIR模型模型相轨线相轨线 及其分析及其分析传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延s(t)单调减单调减相轨线的方向相轨线的方向P1s0imP1:s01/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例xs0i0P1i0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被被传染人数比例传染人数比例 xs0-1/=战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出提出预测战役结局的模型预测战役结局的模型3 3 战争模型战争模型 一般模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g 取决于战争类型取决于战争类型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤乙方每个士兵的杀伤率率a=ry py,ry 射击率，射击率，py 命中命中率率0正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系平方律平方律 模型模型乙方胜乙方胜游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=cxy,c 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c=ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry/sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积0游击战争模型游击战争模型线线性性律律 模模型型0混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力设设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。产前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景4 最优捕鱼问题 产量模型产量模型假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下捕捞情况下渔场鱼量满足渔场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定稳定的条件的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼最大鱼量量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t),判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程产量模型产量模型平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断x0 稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大控制捕捞强度使产量最大图解法图解法P的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点P的纵坐标的纵坐标 h产量产量产量产量最大最大f 与与h交点交点P控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半y=rxhPx0hmx0*=N/2P*y=E*xy0y=h(x)=ExxNy=f(x)效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入 T=ph(x)=pEx支出支出 S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量捕捞过度捕捞过度ERE*令令=0