锐角三角函数定义及性质

我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简记为RtABC，直角C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫A的对边与邻边，用a、b表示.A的对边a 脑中有“图”，心中有“式”BAC斜边cA的邻边bA的邻边的邻边bACBA的对边的对边a斜边斜边c知识点知识点1：直角三角形的认识：直角三角形的认识1：对于：对于A来说：来说：2：对于：对于B来说来说,它它们分别是什么？们分别是什么？脑中有“图”，心中有“式”问题问题1 1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是度数是3030，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35m35m，那么需要准，那么需要准备多长的水管？备多长的水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.ABC 思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情情境境探探究究 根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜角所对的直角边等于斜边的一半边的一半”，即，即ABC 在在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.可得可得 AB=2BC=70m，即需要准备，即需要准备70m长的水长的水管管.在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于都等于 .ABC50m30mB C 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于边与斜边的比都等于 .如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使使C90，A45，计算，计算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ，你，你能得出什么结论？能得出什么结论？ABC 综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？对边与斜边的比是否也是一个固定值？当当A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；是一个固定值；当当A45时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值也是一个固定值.任意画任意画RtABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA ，那么，那么=ABCA1由于由于CC90，AA 所以所以RtABCRtA1B1C1所以所以所以所以B1C1 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数的度数一定时，不管三角形的大小如何，一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与的对边与斜边的比都是一个固定值斜边的比都是一个固定值探索探索驶向胜利的彼岸 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的的对边与斜边的比叫做对边与斜边的比叫做A的正弦的正弦（sine），记作），记作sinA，即即例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有当当A45时，我们有时，我们有ABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记作c正弦正弦新知探索新知探索:1.你能将你能将“其他边之比其他边之比”用比例的式用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？子表示出来吗？这样的比有多少？2.当锐角当锐角A确定时，确定时，A的邻边与斜边的比，的邻边与斜边的比，A的的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由出理由.方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明方法二：根据相似三角形的性质来说明.如图，在如图，在RtABC中，中，C90，ABC斜边斜边c对边对边a邻边邻边b我们把锐角我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的 余弦余弦（cosine），记作），记作cosA，即即我们把锐角我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的 正切正切（tangent），记作），记作tanA，即即驶向胜利的彼岸知识点知识点2：锐角三角函数定义：锐角三角函数定义1、A的对边与斜边的比值叫做的对边与斜边的比值叫做A的正弦，记作的正弦，记作sinA,即即2、A的邻边与斜边的比值叫做的邻边与斜边的比值叫做A的余弦，记作的余弦，记作cosA,即即3、A的对边与邻边的比值叫做的对边与邻边的比值叫做A的正的正切，记作切，记作tanA,即即4、A的邻边与对边的比值叫做的邻边与对边的比值叫做A的余切，记作的余切，记作cotA,即即锐角锐角A的正弦、的正弦、余弦、正切、余余弦、正切、余切叫做锐角切叫做锐角A三三角函数角函数简记：简记：重要提示：重要提示：三角函数三角函数只与角度的大小有关，只与角度的大小有关，与边的长短无关。与边的长短无关。锐角三角函数定义w正弦正弦,余弦余弦,正切正切,余切余切:回顾与思考回顾与思考 1 1驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸bABCac三角函数的应用三角函数的应用例例1如图所示，求出如图所示，求出A的四个三角函数。的四个三角函数。ABC158解：解：AC=sinA=COSA=tanA=cotA=提示：已知直角三角形提示：已知直角三角形任意两边可以求出两锐任意两边可以求出两锐角的四个三角函数值。角的四个三角函数值。课本课本P90页例题页例题跟进训练跟进训练 求出图中求出图中D的四个三角函数值的四个三角函数值CDE106解：解：CE=sinD=COSD=tanD=cotD=ABC6例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=6，求，求cosA和和tanB的值的值ABC6练习：练习：如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=6，求，求cosA和和tanB的值的值练一练练一练1.判断对错判断对错:A10m6mBC1)如图如图(1)sinA=（）(2)cosB=（）(3)sinA=0.6m （）(4)SinB=4/5 （）sinAsinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，如图，cosB=（）2.2.在在RtABCRtABC中，锐角中，锐角A A的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100100倍，倍，sinAsinA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定C练一练练一练3.如图如图ACB37300则则 sinA=_cosA=_ .12例例2.已知已知 ABC中，中，ACB=90ACB=90。，BC:AC=3BC:AC=3：4 4，求，求 A的四个三角函数值的四个三角函数值.例例3如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AB=AC=13,cosB=则则BC=_。ABCD分析分析：三角函数是在直角三角三角函数是在直角三角形中，而题中没有直角三角形，形中，而题中没有直角三角形，所以，需要作辅助线，将所以，需要作辅助线，将B放放入一个直角三角形中。入一个直角三角形中。cosB=BD=5,BC=2BD=1010如图，在如图，在ABC中，中，AB=CB=5，sinA=，求，求ABC 的面积的面积.BAC55知识点知识点3：三角函数的性质：三角函数的性质1：取值范围：取值范围：ACB0sinA10cosA1tanA0cotA0abcac,bc,且且a、b、c都大于都大于02.互余两角之间的三角函数关系互余两角之间的三角函数关系:w直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余:A+B=90:A+B=900 0.则则B=90-AbABCac则则 sinA=cosBsinA=cosB或或cosA=sinB.cosA=sinB.tanA=cotBtanA=cotB或或cotA=tanBcotA=tanB.sinA=cos（90-A）或或cosA=sin（90-A）.tanA=cot（90-A）或）或cotA=tan（90-A）.一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦等于一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角的余切；它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角的余切；一个角的余切等于它的余角的正切。一个角的余切等于它的余角的正切。3.3.同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系(1)(1)平方和关系平方和关系:bABCac(2)(2)商的关系商的关系:(3)(3)倒数关系倒数关系:例例3已知已知sinA=，求，求A的其他三的其他三个三角函数值个三角函数值解：解：cosA=tanA=cotA=sinA=a:c,可设可设a=k,C=3k,由勾股由勾股定理可求出定理可求出b,然后根据定义然后根据定义求出其他三个求出其他三个三角函数值可三角函数值可跟进训练跟进训练拓展训练拓展训练可设可设_=5k,_12k又又 =1在在Rt ABC 中，中，ACB=90，AB=5 BC=3 CD AB 求求sin BCDA AC CD DB B补充练习补充练习2.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ACB90，AC=12，AB=13，BCM=BAC，求，求sin BAC和点和点B到直线到直线MC的距离的距离3.如图所示，如图所示，CD是是RtABC的斜边的斜边AB上的高，上的高，求证：求证：