高中数学学业水平测试必修1复习课件

高中数学学业水平测试必高中数学学业水平测试必修修1 1复习课件复习课件知识网络知识网络集合集合映射映射方程方程子集、空集、全集子集、空集、全集交集、并集、补集交集、并集、补集反函数反函数函数函数基本函数基本函数图象图象性质性质不等式不等式y取定值取定值y0y01.1集合的概念集合的概念1、集合的概念：、集合的概念：(1)把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个集合集合.集合里的各个对象叫做集合的元素，元素与集合里的各个对象叫做集合的元素，元素与集合的关系用集合的关系用或或表示表示.(2)集合分为：有限集、无限集、空集集合分为：有限集、无限集、空集.(3)集合的三大特性：确定性、互异性、无序性集合的三大特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合可用列举法、描述法、图示法表示集合可用列举法、描述法、图示法表示.(5)注意注意N、Z、Q、Q+、R、R+等所表示的数集等所表示的数集.2、集合之间的关系、集合之间的关系性质：性质：若若 ，则则 AACBCABAAAB(2)若若 ，且至少有一个，且至少有一个xB，但，但 xA，集合，集合A叫做集合叫做集合B的真子集的真子集.表示为表示为 或或 .ABAB(3)若若 且且 ，那么这两个集合相等，那么这两个集合相等.表示表示 为为AB.BAABACBCAAB性质：性质：若若A则则 ；若若 ，则，则(1)子集：若子集：若xA，则，则 xB，集合，集合A叫做集合叫做集合B的子集的子集.表表示为示为 或或 方法小结方法小结1、明确集合中元素的确定性、互异性和、明确集合中元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用无序性，并注意此性质在解题中的应用.2、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、数轴表示等基本方法数轴表示等基本方法.3、理解集合的基本概念、相互关系、术语、理解集合的基本概念、相互关系、术语符号等，能正确地表示出一些较简单的集符号等，能正确地表示出一些较简单的集合合.4 4、空集、空集、空集、空集 是一个特殊的集合，它是任何集合的子是一个特殊的集合，它是任何集合的子是一个特殊的集合，它是任何集合的子是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未指明集合非空时要考虑到空集的可能性指明集合非空时要考虑到空集的可能性指明集合非空时要考虑到空集的可能性指明集合非空时要考虑到空集的可能性.5 5、常用的集合元素：、常用的集合元素：、常用的集合元素：、常用的集合元素：对于集合对于集合对于集合对于集合A=x|xA=x|x2 2+x+x1=01=0中，中，中，中，A A即为方程的解即为方程的解即为方程的解即为方程的解.对于集合对于集合对于集合对于集合A=x|x+13A=x|x+13xx中，中，中，中，A A即为不等式的解即为不等式的解即为不等式的解即为不等式的解.对于集合对于集合对于集合对于集合A=y|y=xA=y|y=x2 22x+52x+5中，中，中，中，A A为函数的值域为函数的值域为函数的值域为函数的值域.对于集合对于集合对于集合对于集合A=(x,y)|y=xA=(x,y)|y=x2 22x+52x+5中，中，中，中，A A为函数上为函数上为函数上为函数上所有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集所有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集所有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集所有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合合合合.6 6、识记以下重要的结论：、识记以下重要的结论：、识记以下重要的结论：、识记以下重要的结论：ABABAB=A AB=A ，A A B=BB=BAB=AAB=A B B A A B=ABB=AB，1.2集合的运算集合的运算1、交集：、交集：AB=x|xA且且xB2、并集：、并集：AB=x|xA或或xB3、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集.4、补集：、补集：A=x|xI 且且xA性质：性质：AA=A，A=，AB=BA性质：性质：AA=A，A=A，AB=BA性质：性质：AA=I，A A=,A=A方法小结方法小结解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，依据概念，结合图形，分步解决：依据概念，结合图形，分步解决：1、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法法.2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算到最简形式，再进行运算.3、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理有时需进行讨论有时需进行讨论.4、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通注意各类知识的融会贯通.1.3映射与函数映射与函数1、映射：对于集合、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则，存在某种对应法则f，使得集合使得集合A中的任何一个元素在集合中的任何一个元素在集合B中都有唯一中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到到集合集合B的映射，记为的映射，记为f：AB2、函数：、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，都有唯一确定的值和它对应，那么那么y就是就是x的函数的函数.(2)设设A、B都是非空数集，那么都是非空数集，那么A到到B的映射的映射f：AB就叫做就叫做A到到B的函数，记作的函数，记作y=f(x)3、函数的、函数的“三要素三要素”：对应法则、定义域、值域：对应法则、定义域、值域.只只有有“三要素三要素”完全相同的两个函数才是同一函数完全相同的两个函数才是同一函数.方法小结方法小结1、理解映射的概念、理解映射的概念A、B为非空数集；为非空数集；A中的中的元素必有象，但元素必有象，但B中的元素不一定有原象；中的元素不一定有原象；A中中的任一元素的象是唯一的，因此对应是的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或一对一或多对一多对一”.2、理解函数与映射的关系、理解函数与映射的关系.函数的函数的“三要素三要素”是对是对应法则、定义域、值域应法则、定义域、值域.只有只有“三要素三要素”完全相同的完全相同的两个函数才是同一函数两个函数才是同一函数.3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数做分段函数.4、若、若y是是u的函数，的函数，u又是又是x的函数即的函数即y=f(u)，u=g(x)，x(a，b)，u(m，n)，那么，那么y关于关于x的函数的函数y=f(g(x)，叫做，叫做f和和g的复合函数的复合函数.1.4函数的定义域函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.2、求函数的定义域的主要依据是：、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母分式的分母不为不为0；偶次方根的被开方数非负；偶次方根的被开方数非负；对数的真对数的真数大于数大于0；指数、对数函数的底数大于指数、对数函数的底数大于0且不等于且不等于1；指数为指数为0或负数时，底数不为或负数时，底数不为0；实际问题实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义实际意义.1、函数的定义域是指自变量的取值范围、函数的定义域是指自变量的取值范围.方法小结方法小结1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组等式或不等式组.2、已知、已知f(x)的定义域为的定义域为D，求，求fg(x)的定义的定义域时，可令域时，可令g(x)D解得解得x的范围的范围C，即为，即为fg(x)的定义域；已知的定义域；已知 fg(x)的定义域为的定义域为D，求，求f(x)定义域时，可先由定义域时，可先由xD，求出，求出g(x)的范围的范围C，即为，即为f(x)定义域定义域.1.5函数的值域函数的值域函数的值域就是在对应法则函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量的作用下，自变量x的值对应的的值对应的y值的集合值的集合.方法小结方法小结1、求函数值域的常用方法有：、求函数值域的常用方法有：配方法：求形如配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域的函数值域问题问题,要注意要注意f(x)的取值范围对值域的影响的取值范围对值域的影响.真分式法真分式法:求式函数求式函数求式函数求式函数f(x)=f(x)=形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，如如如如f(x)=f(x)=转化为转化为转化为转化为f(x)=1f(x)=1 求值域求值域求值域求值域;2x2x1 12x2x3 3axaxb bcxcxd d5 5x x3 3反函数法反函数法:求式函数求式函数求式函数求式函数f(x)=f(x)=形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，形函数的值域，均可使用反函数法均可使用反函数法均可使用反函数法均可使用反函数法.axaxb bcxcxd d判别式法：把函数转化成关于判别式法：把函数转化成关于x的二次方程的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根通过方程有实根,判别式判别式0,从而求得原函数的值域从而求得原函数的值域.形如形如y=(a1,a2不同时为不同时为0)的函数的值域的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二时还需要用二次方程根的分布来求解次方程根的分布来求解.a a1 1x x2 2+b+b1 1x+cx+c2 2a a2 2x x2 2+b+b2 2x+cx+c2 2单调性法单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域的单调性求出函数的值域.换元法换元法:运用代数或三角代换运用代数或三角代换,将所给函数化成值域将所给函数化成值域容易求出的另一类函数容易求出的另一类函数3、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律要告自己积累经验，掌握规律.2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用.不等式法不等式法:利用基本不等式求函数值域利用基本不等式求函数值域,但要注但要注意其使用的条件意其使用的条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”.数形结合法数形结合法:利用函数所表示的几何意义利用函数所表示的几何意义,借助于借助于几何方法求出函数值域几何方法求出函数值域.1.6函数的奇偶性函数的奇偶性v1、定义：如果对于函数、定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任的定义域内的任一个一个x,都有都有f(x)=f(x)(或或 f(x)=f(x)），），那么那么 f(x)是偶函数（或奇函数）是偶函数（或奇函数）.v2、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.v3、奇偶函数的定义域一定关于原点对称、奇偶函数的定义域一定关于原点对称.v4、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数（函数、既是奇函数又是偶函数（f(x)=0）.方法小结方法小结1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于原点对称原点对称.2、函数奇偶性的可用如下变形判定：、函数奇偶性的可用如下变形判定：奇函数：奇函数：f(x)+f(x)=0 或或f(x)f(x)=1偶函数：偶函数：f(x)f(x)=0 或或f(x)f(x)=13、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：奇函数或偶函数的方法有：根据恒等式性质，根据恒等式性质，利用待定系数法；利用待定系数法；利用特殊值法利用特殊值法.特别是当奇函特别是当奇函数在数在x=0时有意义必有时有意义必有f(0)=0.（f(x)0）几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零的斜率都大于（小于）零.3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性函数、对数函数的单调性.两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；y=f(x)与与y=f(x)有相反的单调性；有相反的单调性；当当 y=f(x)恒恒为正或恒为负时，为正或恒为负时，y=f(x)与与y=1/f(x)有相反的单调性有相反的单调性.4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：好处：1.7函数的单调性函数的单调性1、定义：设函数、定义：设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于属于：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当当 x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），），那么就说那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数在这个区间上是增（减）函数.2、注意定义的变形：设、注意定义的变形：设x1、x2a，bf(x1)f(x2)x1x20或或(x1x2)(f(x1)f(x2)0 f(x)为增函数为增函数f(x1)f(x2)x1x20或或(x1x2)(f(x1)f(x2)0 f(x)为减函数为减函数方法小结方法小结1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减明在哪个区间上递增或递减.2、根据定义证明函数单调性的方法：、根据定义证明函数单调性的方法：设设x1、x2A，且设，且设x1x2；作差：作差：f(x1)f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符判断差的符号，并作结论号，并作结论.3、复合函数单调性的判断方法：设、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x(a,b),u(m,n)，都是单调函数，则，都是单调函数，则y=f(g(x)在在a,b上也是单调函数上也是单调函数.若若y=f(u)是是(m,n)上的增（减）上的增（减）函数，则函数，则y=f(g(x)的增减性与的增减性与u=g(x)的增减性相同的增减性相同（相反）（相反）.也可概括为也可概括为“同增、同减为增，一增一减为同增、同减为增，一增一减为减减”.正、反比例函数、一次、二次函数正、反比例函数、一次、二次函数1、正比例函数：、正比例函数：y=kx（k0）xyok0 xyok0图象图象性质性质:1、定义域为、定义域为R；2、值域为、值域为R；3、是奇函数；、是奇函数；4、单调性：、单调性：k0时为增函数时为增函数,K0时为减函数时为减函数.图象图象2、反比例函数：、反比例函数：y=（k0）kxxyok0 xyok0性质性质:1、定义域：、定义域：(,0)(0,);2、值域：、值域：(,0)(0,)；3、是奇函数；、是奇函数；4、k0时，在时，在(,0)或或(0,)上是增函数；上是增函数；k0在在(,0)或或(0,)上是减函数上是减函数.3、一次函数：、一次函数：y=kxb（k0）xyok0 xyok0图象图象性质性质:1、定义域为、定义域为R；2、值域为、值域为R；3、b=0是奇函数；是奇函数；b0时为非时为非奇非偶函数；奇非偶函数；4、k0时为增函数时为增函数,K0时为减函数时为减函数.4、二次函数：、二次函数：y=ax2+bx+c（a0）oxy4 4、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为、图象开口往上，对称轴为x=x=，有最小值，有最小值，有最小值，有最小值，在（在（在（在（，为减函数，在为减函数，在为减函数，在为减函数，在 ，+)+)为增为增为增为增函数函数函数函数.b b2a2ab b2a2ab b2a2a4ac4acb b2 24a4a性质：性质：性质：性质：1 1、定义域：、定义域：、定义域：、定义域：R R；2 2、值域：、值域：、值域：、值域：，+);+);3 3、当、当、当、当b=0b=0时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当b0b0时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数.a a0 0时的图时的图时的图时的图象与性质象与性质象与性质象与性质oxy4 4、图象开口往下，对称轴为、图象开口往下，对称轴为、图象开口往下，对称轴为、图象开口往下，对称轴为x=x=，有最大值，有最大值，有最大值，有最大值，在（在（在（在（，为增函数，在为增函数，在为增函数，在为增函数，在 ，+)+)为减为减为减为减函数函数函数函数.b b2a2ab b2a2ab b2a2a4ac4acb b2 24a4a性质：性质：性质：性质：1 1、定义域：、定义域：、定义域：、定义域：R R；2 2、值域：（、值域：（、值域：（、值域：（，;3 3、当、当、当、当b=0b=0时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当时为偶函数，当b0b0时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数.a a0 0时的图象与性质时的图象与性质时的图象与性质时的图象与性质00=0图象图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)x=x1 或或x=x2x=x1=x2=b2ax|xx2x|x1 xx2b2ax|x OOR无实根无实根5 5、二次函数与二次不等式、二次函数与二次不等式、二次函数与二次不等式、二次函数与二次不等式方法与小结方法与小结方法与小结方法与小结1 1、解决分式函数、解决分式函数、解决分式函数、解决分式函数f(x)=f(x)=，可转化为反比例函，可转化为反比例函，可转化为反比例函，可转化为反比例函数来解决数来解决数来解决数来解决.如如如如f(x)=f(x)=转化为转化为转化为转化为f(x)=2f(x)=2 ;2x2x1 1x x3 3axaxb bcxcxd d5 5x x3 32 2、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶点点点点(,),)，由此可知函数的图象、对，由此可知函数的图象、对，由此可知函数的图象、对，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、判别式、最值等称轴、单调区间、判别式、最值等称轴、单调区间、判别式、最值等称轴、单调区间、判别式、最值等.4ac4acb b2 24a4ab b2a2a3 3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=af(x)=a(x(xk)k)2 2mm，零点式：，零点式：，零点式：，零点式：f(x)=a(xf(x)=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2).).4 4、二次函数、二次函数、二次函数、二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c当当当当=b=b2 24ac4ac0 0时时时时,图象与图象与图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点轴有两个交点轴有两个交点M(xM(x1 1,0),N(x,0),N(x2 2,0),0),并且并且并且并且|MN|=|x|MN|=|x1 1x x2 2|=.|=.|a|a|5 5、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为、二次函数隐含着二次项系数不为0 0的条件，的条件，的条件，的条件，但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次项系数为项系数为项系数为项系数为0 0和不为和不为和不为和不为0 0两种情况进行讨论两种情况进行讨论两种情况进行讨论两种情况进行讨论.6 6、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面考虑：考虑：考虑：考虑：判别式；判别式；判别式；判别式；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；对称轴与区间端点的关系对称轴与区间端点的关系对称轴与区间端点的关系对称轴与区间端点的关系.7 7、二次函数在区间、二次函数在区间、二次函数在区间、二次函数在区间mm，nn上的最值一般分上的最值一般分上的最值一般分上的最值一般分 mm，mm n n 和和和和 n n三种情况进行讨论三种情况进行讨论三种情况进行讨论三种情况进行讨论.b b2a2ab b2a2ab b2a2a1.101.10幂函数幂函数幂函数幂函数1 1、定义：形如、定义：形如、定义：形如、定义：形如y=xy=xn n（n n是常数）叫做幂函数是常数）叫做幂函数是常数）叫做幂函数是常数）叫做幂函数.2 2、在高考中、在高考中、在高考中、在高考中n n限于在集合限于在集合限于在集合限于在集合，1 1，1 1，2 2，3 3 中取值中取值中取值中取值.1 12 21 12 21 13 33 3、图象与性质：、图象与性质：、图象与性质：、图象与性质：n n0 0n n1 1n n1 10 0n n1 1x xy yo o定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性：定义域、值域、奇偶性：视视视视n n的情况而定；的情况而定；的情况而定；的情况而定；当当当当n n0 0时在时在时在时在(0,(0,)为增函数，当为增函数，当为增函数，当为增函数，当n n0 0时时时时在在在在(0,(0,)为减函数；为减函数；为减函数；为减函数；当当当当n n0 0时图象都过时图象都过时图象都过时图象都过(0,0)(0,0)和和和和(1,1)(1,1)点点点点;当当当当n n0 0时过时过时过时过(1,1)(1,1)点点点点.方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数的图象；的图象；的图象；的图象；2 2、当、当、当、当x x1 1时，幂函数的指数越大，图象越高，时，幂函数的指数越大，图象越高，时，幂函数的指数越大，图象越高，时，幂函数的指数越大，图象越高，当当当当0 0 x x1 1时，幂函数的指数越大，图象越低；时，幂函数的指数越大，图象越低；时，幂函数的指数越大，图象越低；时，幂函数的指数越大，图象越低；3 3、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得出进一步结论，使问题得到解决出进一步结论，使问题得到解决出进一步结论，使问题得到解决出进一步结论，使问题得到解决.1.111.11指数式与对数式指数式与对数式指数式与对数式指数式与对数式1 1、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：、各种有理数指数的定义：正整数指数幂：正整数指数幂：正整数指数幂：正整数指数幂：a an n=aaa=aaa（n n N N）；）；）；）；零指数幂：零指数幂：零指数幂：零指数幂：a a0 0=1=1（a0a0）负整数指数幂：负整数指数幂：负整数指数幂：负整数指数幂：a an n=（a0a0，n n N N）正分数指数幂：正分数指数幂：正分数指数幂：正分数指数幂：a =a =（a0a0，n n1 1，mm、n n N N）负分数指数幂：负分数指数幂：负分数指数幂：负分数指数幂：a a =（a a0 0，n n1 1，mm、n n N N）1 1a an nmmn nmmn nn na ammn na amm1 12 2、幂的运算法则：、幂的运算法则：、幂的运算法则：、幂的运算法则：a amma an n=a=ammn n a ammaan n=a=ammn n （a0a0）（a amm）n n=a=amnmn （abab）mm=a=ammb bmm3 3、对数：如果、对数：如果、对数：如果、对数：如果a ab b=N=N，那么，那么，那么，那么b b叫做以叫做以叫做以叫做以a a为底为底为底为底N N的对数，的对数，的对数，的对数，记为记为记为记为b=logb=loga aN.aN.ab b=N b=log=N b=loga aN.N.（a a0 0且且且且a1a1）logloga aN N4 4、对数恒等式：、对数恒等式：、对数恒等式：、对数恒等式：a =Na =N（a a0 0且且且且a1a1，N N0 0）5 5、对数的性质：、对数的性质：、对数的性质：、对数的性质：0 0和和和和1 1没有对数；没有对数；没有对数；没有对数；logloga a1=01=0；logloga aa=1.a=1.6 6、对数的运算法则：、对数的运算法则：、对数的运算法则：、对数的运算法则：logloga a(MN)=log(MN)=loga aMM log loga aN N （MM，N N0 0）logloga aMMn n=n log=n loga aM M （MM0 0）logloga a =log=loga aMM log loga aN N （MM，N N0 0）MMN N7 7、对数的换底公式：、对数的换底公式：、对数的换底公式：、对数的换底公式：logloga aN=N=loglogb bN Nloglogb ba a重要推论：重要推论：重要推论：重要推论：logloga ab logb logb ba=1a=1，log loga a b bn n=log=loga ab bm m mmn n8 8、常用对数：、常用对数：、常用对数：、常用对数：lgxlgx1010n n=n=nlgx=nlgx=n正的纯小数正的纯小数正的纯小数正的纯小数(1x(1x1010，n n是整数是整数是整数是整数)以以以以1010为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做常用对数.以以以以e e为底的对数叫做自然对数为底的对数叫做自然对数为底的对数叫做自然对数为底的对数叫做自然对数.方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、根式的运算常常化成幂的运算来进行、根式的运算常常化成幂的运算来进行、根式的运算常常化成幂的运算来进行、根式的运算常常化成幂的运算来进行.2 2、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则.3 3、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题常用方法常用方法常用方法常用方法.4 4、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观点处理问题点处理问题点处理问题点处理问题.通过方程（组）来求值，用换元法转通过方程（组）来求值，用换元法转通过方程（组）来求值，用换元法转通过方程（组）来求值，用换元法转化方程求解等化方程求解等化方程求解等化方程求解等.1.121.12指数函数与对数函数指数函数与对数函数指数函数与对数函数指数函数与对数函数1 1、指数函数、指数函数、指数函数、指数函数y=ay=ax x(a(a0 0且且且且a1)a1)的图象和性质：的图象和性质：的图象和性质：的图象和性质：x xo oy yx xo oy yx xo oy yx xo oy y2 2、对数函数、对数函数、对数函数、对数函数y=logy=loga ax(ax(a0 0且且且且a1)a1)的图象和性质：的图象和性质：的图象和性质：的图象和性质：方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数函数，其函数性质受底数函数，其函数性质受底数函数，其函数性质受底数a a的影响，所以分类讨论的影响，所以分类讨论的影响，所以分类讨论的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出思想表现得更为突出思想表现得更为突出思想表现得更为突出 ，同时两类函数的函数值变化，同时两类函数的函数值变化，同时两类函数的函数值变化，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征.2 2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用的应用的应用的应用.3 3、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：、熟记以下几个结论：logloga ab b0 (a0 (a1)(b1)(b1)1)0;0;logloga ab b0 (a0 (a1)(b1)(b1)1)0 0当当0a1时时，mn0 logamlogan当当a1时时，mn0 logamlogan1.131.13指数方程与对数方程指数方程与对数方程指数方程与对数方程指数方程与对数方程1、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程做对数方程.2、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为代数方程来解代数方程来解.3、解对数方程一定要注意验根、解对数方程一定要注意验根.方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、指数方程主要类型及其解法：、指数方程主要类型及其解法：、指数方程主要类型及其解法：、指数方程主要类型及其解法：化为同底：化为同底：化为同底：化为同底：a af(x)f(x)=a=ag(x)g(x)，化为，化为，化为，化为f(x)=g(x),f(x)=g(x),再求解再求解再求解再求解.指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化：a af(x)f(x)=b=b，化为，化为，化为，化为f(x)=logf(x)=loga ab b.换元法：换元法：换元法：换元法：a a2f(x)2f(x)+ba+baf(x)f(x)+c=0,+c=0,设设设设y=ay=af(x)f(x)化为二次方程求解化为二次方程求解化为二次方程求解化为二次方程求解.a af(x)f(x)=b=bg(x)g(x),两边取对数两边取对数两边取对数两边取对数,化为化为化为化为f(x)logf(x)logc ca=g(x)loga=g(x)logc cb b图象法图象法图象法图象法:含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数法求近似解或求解的个数法求近似解或求解的个数法求近似解或求解的个数.2 2、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型及其解法：、对数方程主要类型及其解法：化为同底：化为同底：化为同底：化为同底：logloga af(x)=logf(x)=loga ag(x)g(x)，化为，化为，化为，化为f(x)=g(x),f(x)=g(x),再求解再求解再求解再求解,要注意验根要注意验根要注意验根要注意验根.指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化：指、对数互化：log loga af(x)=bf(x)=b，化为，化为，化为，化为f(x)=af(x)=ab b,要验根要验根要验根要验根.换元法：换元法：换元法：换元法：logloga a2 2f(x)+blogf(x)+bloga af(x)+c=0,f(x)+c=0,设设设设y=logy=loga af(x),f(x),化为二次方程求解化为二次方程求解化为二次方程求解化为二次方程求解,要验根要验根要验根要验根.图象法图象法图象法图象法:含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数法求近似解或求解的个数法求近似解或求解的个数法求近似解或求解的个数.不同底对数方程不同底对数方程不同底对数方程不同底对数方程:通过换底公式通过换底公式通过换底公式通过换底公式,化为同底求解化为同底求解化为同底求解化为同底求解.1.141.14函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象1 1、作图：、作图：、作图：、作图：利用描点作图法：利用描点作图法：利用描点作图法：利用描点作图法：确定函数的定义域；确定函数的定义域；确定函数的定义域；确定函数的定义域；化化化化简函数解析式；简函数解析式；简函数解析式；简函数解析式；讨论函数的性质讨论函数的性质讨论函数的性质讨论函数的性质(奇偶性、单调奇偶性、单调奇偶性、单调奇偶性、单调性、周期性性、周期性性、周期性性、周期性)；画出函数的图象画出函数的图象画出函数的图象画出函数的图象.利用基本函数图象的作图变换：利用基本函数图象的作图变换：利用基本函数图象的作图变换：利用基本函数图象的作图变换：平移变换：平移变换：平移变换：平移变换：y=f(x)y=f(x)h h0,0,右移右移y=f(xy=f(x)h h0,0,左移左移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+kk k0,0,上移上移k k0,0,下移下移伸缩变换伸缩变换y=f(xy=f(x)y=f(x)y=f(x)0 01,1,伸伸伸伸1,1,缩缩缩缩y=f(xy=f(x)y=Af(x)y=Af(x)0 0A A1,1,缩缩缩缩A A1,1,伸伸伸伸对称变换对称变换对称变换对称变换y=f(xy=f(x)y=y=f(x)f(x)作作作作x x轴对称轴对称轴对称轴对称y=f(xy=f(x)y=f(y=f(x)x)作作作作y y轴对称轴对称轴对称轴对称y=f(xy=f(x)y=f(2ay=f(2ax)x)作关于直线作关于直线作关于直线作关于直线x=ax=a对称对称对称对称y=f(xy=f(x)y=fy=f1 1(x)(x)作关于直线作关于直线作关于直线作关于直线y=xy=x对称对称对称对称y=f(xy=f(x)y=y=f(f(x)x)作关于原点对称作关于原点对称作关于原点对称作关于原点对称y=f(x)y=f(x)y=f(|x|)y=f(|x|)保留保留保留保留y y轴右边图象轴右边图象轴右边图象轴右边图象,去掉去掉去掉去掉y y轴左边图象轴左边图象轴左边图象轴左边图象并作其关于并作其关于并作其关于并作其关于y y轴对称图象轴对称图象轴对称图象轴对称图象y=f(xy=f(x)y=|f(x)|y=|f(x)|保留保留保留保留x x轴上方图象轴上方图象轴上方图象轴上方图象并将并将并将并将x x轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去轴下方图象翻折上去2 2、识图、识图、识图、识图对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象中特殊点的作用图象中特殊点的作用图象中特殊点的作用图象中特殊点的作用.3 3、用图、用图、用图、用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了关系问题提供了关系问题提供了关系问题提供了“形形形形”的直观性，它是探求解题途的直观性，它是探求解题途的直观性，它是探求解题途的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法解题的思想方法解题的思想方法解题的思想方法.方法小结方法小结方法小结方法小结1 1、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上.要熟悉一些要熟悉一些要熟悉一些要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于于原点对称，偶函数的图象关于于原点对称，偶函数的图象关于于原点对称，偶函数的图象关于y y轴对称，一个函数的轴对称，一个函数的轴对称，一个函数的轴对称，一个函数的反函数是它本身时，其图象关于直线反函数是它本身时，其图象关于直线反函数是它本身时，其图象关于直线反函数是它本身时，其图象关于直线y=xy=x对称等等对称等等对称等等对称等等.2 2、证明曲线、证明曲线、证明曲线、证明曲线C C1 1与与与与C C2 2的对称性，即要证的对称性，即要证的对称性，即要证的对称性，即要证C C1 1 上任一点关上任一点关上任一点关上任一点关于对称中心或对称轴的对称点在于对称中心或对称轴的对称点在于对称中心或对称轴的对称点在于对称中心或对称轴的对称点在C C2 2上，反之亦然上，反之亦然上，反之亦然上，反之亦然.3 3、方程、方程、方程、方程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数的解的个数可以转化为函数y=f(x)y=f(x)与与与与y=g(x)y=g(x)的图象的交点个数的图象的交点个数的图象的交点个数的图象的交点个数.4 4、不等式、不等式、不等式、不等式f(x)f(x)g(x)g(x)的解集为的解集为的解集为的解集为f(x)f(x)的图象位于的图象位于的图象位于的图象位于g(x)g(x)的的的的图象上方的那部分点的横坐标的取值范围图象上方的那部分点的横坐标的取值范围图象上方的那部分点的横坐标的取值范围图象上方的那部分点的横坐标的取值范围.函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点.练习：求下列函数的零点：练习：求下列函数的零点：（1 1）;（2 2）.函数的零点就是方程函数的零点就是方程f(x)=0f(x)=0的实数根，的实数根，也就是函数也就是函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的交点轴的交点的横坐标的横坐标.1.15函数与方程函数与方程函数零点存在性原理函数零点存在性原理 结论结论:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是上的图象是连续不断的一条曲线，并且有连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)f(a)f(b)0 0时，函时，函数数y=f(x)y=f(x)在区间（在区间（a a，b b）内一定没有零点吗？）内一定没有零点吗？思考思考3:3:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线，那么当续不断的一条曲线，那么当 f(a)f(b)f(a)f(b)0 0时，函时，函数数y=f(x)y=f(x)在区间（在区间（a a，b b）有多少个零点呢？）有多少个零点呢？思考思考1:1:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是间上的图象是间断的，上述原理适应吗？断的，上述原理适应吗？用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解.x0246105y241086121487643219f(2)f(3)02.52.752.6252.56252.531252.5468752.53906252.53515625-0.0840.5120.2150.066-0.0090.0290.0100.001(精确度精确度0.01)（2，3）求方程求方程的近似解的近似解（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.625）（2.5，2.5625）（2.53125，2.5625）（2.53125，2.546875）（2.53125，2.5390625）1 10.50.50.250.250.1250.1250.06250.06250.031250.031250.0156250.0156250.0078130.007813例例1二分法：对于在区间对于在区间a，b上连续不断上连续不断且且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断地，通过不断地把函数把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法到零点近似值的方法叫做二分法.一、定义一、定义1、确定区间确定区间a，b，验证，验证f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度 ；2、求区间（、求区间（a，b）的中点）的中点c；3、计算、计算 f(c)；（1）若）若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；（2）若）若f(a)f(c)0，则令，则令b=c(此时零点此时零点 )；（3）若）若f(c)f(b)0，则令，则令a=c(此时零点此时零点 ).4、判断是否达到精确度、判断是否达到精确度 ：即若：即若 ，则得到零点近似值则得到零点近似值a(或或b)；否则重复；否则重复24.二、给定精确度二、给定精确度 ，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)零零点近似值的步骤如下：点近似值的步骤如下：例例1、如图，有一块半径为、如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计的半圆形钢板，计划剪成等腰梯形划剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底的形状，它的下底AB是是 O的的直径，上底直径，上底CD的端点在圆周上的端点在圆周上.写出这个梯形周长写出这个梯形周长y和腰长和腰长x的函数式，并求出它的定义域的函数式，并求出它的定义域.分析：周长（分析：周长（y）=2AD+CD+AB=2x+CD+AB关键是如何把关键是如何把CD用用x来表示来表示.CD=EF=AB-2AE=2R-2AE而而ABCDOEF要求要求AE，则在三角形，则在三角形AED中考查中考查.ADB是直角三角形，是直角三角形，DE是斜边上的高是斜边上的高从而有从而有y=2x+（2R-）+2R 即即y=-+2x+4R （0 xR）函数应用举例函数应用举例 解决应用性问题的思路和方法，我们解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：可以用示意图表示为：分析、联系、分析、联系、抽象、转化抽象、转化建立数学模型建立数学模型（列数学关系式）（列数学关系式）数学方法数学方法数学结果数学结果实际结果实际结果回答问题回答问题解决应用性问题的关键是读题解决应用性问题的关键是读题懂题懂题建立数学关系式建立数学关系式.实际问题实际问题 例例2、某种商品进货单价为、某种商品进货单价为40元，按单价每个元，按单价每个50元售出，能元售出，能卖出卖出50个个.如果零售价在如果零售价在50元的基础上每上涨元的基础上每上涨1元，其销售量就元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润润.分析分析：利润：利润=（零售价（零售价进货单价）销售量进货单价）销售量故有：设利润为故有：设利润为 y元，零售价上涨元，零售价上涨x元元 y=（50+x-40）（）（50-x）（其中（其中 0 x50）y=-x2+40 x+500即零售价上涨到零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润元时，这批货物能取得最高利润.最高利润为最高利润为900元元.