空间向量数量积及坐标运算

3两个向量的数量积两个向量的数量积 1、空间向量的夹角空间向量的夹角 (1)定义及记法定义及记法 已知两个已知两个 a，b，在空间中任取一点，在空间中任取一点O，作，作 a，b，则，则 叫做向量叫做向量a与与b的夹角，记的夹角，记作作 (2)范围和性质范围和性质 范围：范围：a，b 性质：性质：a，b b，a 如果如果a，b ，则称，则称a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作 非零向量非零向量AOBa，b090ab（3）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为夹角为0，反向共线时，夹角为，反向共线时，夹角为.2异面直异面直线的定的定义 的两条直的两条直线叫做异面直叫做异面直线 3两条异面直两条异面直线所成的角所成的角 把异面直把异面直线 ，这时两条直两条直线的的夹角角()叫做两条异面直叫做两条异面直线所成的角如果所所成的角如果所成的角是直角，成的角是直角，则称两条异面直称两条异面直线 .不同在任何一平面内不同在任何一平面内平移到一个平面内平移到一个平面内锐角或直角锐角或直角互相垂直互相垂直4异面直线夹角的范围是异面直线夹角的范围是(0，1空空间两个向量的数量两个向量的数量积 已知空已知空间两个向量两个向量a，b，把平面向量的数量，把平面向量的数量积 叫做两个空叫做两个空间向量向量a，b的数量的数量积(或内或内积)2两个空两个空间向量的数量向量的数量积的性的性质 (1)ae (2)ab (3)|a|2 (4)|ab|正射影数量？正射影数量？ab|a|b|cosa，b|a|cosa，eab0aa|a|b|3两个向量的数量积是实数，它可正、可负、可为零两个向量的数量积是实数，它可正、可负、可为零4两个空两个空间向量的数量向量的数量积的运算律的运算律(1)(a)b (2)ab (3)(ab)c (ab)baacbc3空空间向量的直角坐向量的直角坐标运算运算 1单位正交基底与坐位正交基底与坐标向量向量 建立空建立空间直角坐直角坐标系系Oxyz，分，分别沿沿x轴，y轴，z轴的的正方向引正方向引单位向量位向量i，j，k，这三个互相垂直的三个互相垂直的单位向量构位向量构成空成空间向量的一个基底向量的一个基底 ，这个基底叫做个基底叫做 单位向量位向量i，j，k都叫做都叫做 i，j，k单位正位正交基底交基底坐坐标向量向量2空空间向量的直角坐向量的直角坐标运算运算(1)设a(a1，a2，a3)b(b1，b2，b3)向量坐向量坐标运算法运算法则ab ab a ab (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则也就是也就是说，一个向量在空，一个向量在空间直角坐直角坐标系中的坐系中的坐标等于表等于表示示这个向量的有向个向量的有向线段的段的 (a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3(x2x1，y2y1，z2z1)终点的坐点的坐标减去起点的坐减去起点的坐标 abab0a1b1a2b2a3b30练习：设a(1，5，1)，b(2，3，5)(1)若若(kab)(a3b)，求，求k；(2)若若(kab)(a3b)，求，求k.思路点思路点拨先建立空先建立空间直角坐直角坐标系，写出各向量系，写出各向量的坐的坐标，再利用向量方法，再利用向量方法进行求解行求解3已知已知a，b是异面直线，是异面直线，Aa，Ba，Cb，Db，ACb，BDb，且，且AB2，CD1，则，则a与与b所成的所成的角是角是()A30B45C60 D90答案：答案：C