高中数学复习平面向量人教版必修4

高中高中数学复习平面向量平面向量人人教版版必修必修4 411 加法：加法：（平（平行行四四边形形法法则）则）特殊地：特殊地：若若 分分为为同同向向和反和反向向O Oxyi ij ja aA A(x,y)a a1 1.以原以原点点O O为为起起点的点的,2 2已知已知求求x xy yO O二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示向量的向量的模模（长度度）3 3.设 a a=(x x,y y),则则4.4.若若表示表示向量向量 a a 的的起起点点和和终点的点的坐坐标标分分别 为为A A(x x1 1,y,y1 1)、B(B(x x2 2,y,y2 2)，则，则向量的坐标运算向量的坐标运算设向量向量则则说明：明：两个向量个向量和和与差差的的坐坐标标分分别等等于于这两个向量个向量相相应坐坐标的标的和和与差差。说明：明：实数与向量的向量的积的的坐坐标等标等于用于用这个个实数乘原乘原来向量的相向量的相应坐坐标。标。说明：明：两个向量的个向量的数量量积等等于于它们对应坐坐标的标的乘乘积的的和和。的夹角公式向量垂向量垂直充要直充要条件件的的两种形式形式:四、平面向量之间关系向量平向量平行行(共线共线)充要充要条件件的的两种形式形式:向量相等的向量相等的充要充要条件件五、定五、定比分比分点的点的坐坐标标公公式、式、反反馈练习：1.1.判判断下列命下列命题是题是否正确：否正确：（1 1）（3 3）（5 5）若）若 ，则，则对于任于任一一非零非零 有有（4 4）（2 2）（6 6）若）若 ，则，则 至少有至少有一个为一个为（7 7）对于任意于任意向量向量 都有都有（8 8）是是两个单个单位位向量，则向量，则（9 9）若）若 ，则，则 答案答案(1 1)D D(2 2)B)B 答案答案(1 1)B)B(2 2)B)B4 4(20122012浙江高考浙江高考)设a a，b b是是两个个非零非零向量向量()A A若若|a ab b|a a|b b|，则，则ababB B若若abab，则，则|a ab b|a a|b b|C C若若|a ab b|a a|b b|，则，则存在存在实数，使得使得b baaD D若若存在存在实数，使得使得b baa，则，则|a ab b|a a|b b|解析：解析：若若|a a|b b|a a|b b|，则，则coscosa a，b b1 1，a a、b b反反向共线，向共线，故故A A错误，C C正确；正确；当a ab b时，a a、b b不不反反向，向，也也不共线，不共线，B B错误；若若a a、b b同同向，则向，则|a ab b|a a|b b|，D D错误答案：答案：C C 解解 例例1111 解析解析 答案：B答案：B答案：D(理)(2010唐山联考)已知c c、d d为非零向量，且c ca ab b，d da ab b，则|a|a|b|b|是cdcd的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为c c，d d为非零向量，所以cdcdcdcd0 0a a2 2b b2 20 0|a|a|2 2|b|b|2 20 0|a|a|b|b|.因此|a|a|b|b|是cdcd的充要条件，选C.答案：C例3(2010湖南文)若非零向量a a，b b满足|a a|b b|，(2a ab b)bb0，则a a与b b的夹角为()A30 B60C120 D150答案：C(文)(2010江西)已知向量a a，b b满足|a a|1，|b b|2，a a与b b的夹角为60，则|a|ab b|_.(理)已知向量a a(2,2)，b b(5，k)若|a ab b|不超过5，则k的取值范围是()A4,6 B6,4C6,2 D2,6答案：C点评：向量与三角、数列、函数、解析几何交汇是常见的命题方式 解解 答案答案 C CABCABCP一、选择题1已知|a a|3，|b b|5，如果a ab b，则a ab b()A15B15C15 D以上均不对答案C解析a ab b，cosa a，b b1，故选C.答案B(理)(2010山东省实验中学模考)已知A、B、C是锐角ABC的三个内角，向量p p(sinA,1)，q q(1，cosB)，则p p与q q的夹角是()A锐角B钝角C直角D不确定答案A答案A答案C答案C1(福建莆田质检)已知a a、b b、c c为非零的共面向量，p：|b bc c|b b|c c|，q：(a ab b)c c(a ac c)b b，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分又不必要条件答案A解析命题p：|b bc c|b b|c c|，即b b与c c方向相反；命题q：(a ab b)c c(a ac c)b b，即b b与c c共线，pq但qp，故选A.2(浙江宁波十校)若向量a a(cos，sin)，b b(cos，sin)，a a与b b不共线，则a a与b b一定满足()Aa a与b b的夹角等于 Ba ab bC(a ab b)(a ab b)Da ab b答案C解析|a a|2|b b|21，(a ab b)(a ab b)|a a|2|b b|2110，故选C.答案A答案D答案：答案：C C6(2010安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2C3 D4答案B7(2010浙江文)已知平面向量，|1，|2，(22)，则|2|的值是_一、一、外心外心A AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC C三角形三三角形三边的的中中垂线垂线交于交于一点，一点，这一点为三角形外一点为三角形外接接圆的的圆心，心，称外心外心。证明明外心定外心定理理证明明:设A AB B、BCBC的的中中垂线垂线交于交于点点O O，则则有有OA=OOA=OB B=O=OC C，故故O O也在也在A AC C的的中中垂线上，垂线上，因因为为O O到三顶点的距离相等，到三顶点的距离相等，故故点点O O是是A ABCBC外外接接圆的的圆心心因而因而称为外心为外心O OO O点点评：本本题将平面向量平面向量模的定模的定义与三角形三角形外心外心的定的定义及性及性质等相等相关知知识巧妙巧妙结合。合。到到的三的三顶点距离相等。点距离相等。故故是是解析：解析：由由向量向量模模的定的定义知知的外心的外心，选B.B.O O是是的外心的外心若若 为内一点，一点，则 是是 的（的（）A A内心心B B外心外心C C垂心垂心D D重心重心B B 二、垂心二、垂心A AB BC CA AB BC CA AB BC C三角形三三角形三边上的上的高交于高交于一点，一点，这一点一点叫叫三角形的三角形的垂心垂心。D DE EF F证明明:ADAD、B BE E、C CF F为为A ABCBC三三条高高，过点过点A A、B B、C C分分别作作对边的平的平行行线线相相交成交成AAB B C C，ADAD为为B B C C 的的中中垂线垂线；同理；同理B BE E、C CF F也分也分别为为AAC C、AAB B 的的中中垂线，垂线，由由外心定外心定理理，它们交于交于一点，一点，命命题题得得证证明明垂心定垂心定理理AAB B C C 1 1.O O是是的垂心的垂心是是A ABCBC的的边BCBC的高的高ADAD上的任意向量，上的任意向量，过垂心垂心.解解:例例4.4.（2002005 5全全国）点点O O是是A ABCBC所在所在平面上一点，平面上一点，若若，则点则点O O是是A ABCBC的（的（）（A A）三个内角的角平）三个内角的角平分分线的线的交交点点（B B）三）三条边的垂的垂直直平平分分线的线的交交点点（C C）三）三条中中线的线的交交点点（D D）三）三条高高线的线的交交点点则则O O在在C CA A边的的高高线上线上,同理可得同理可得O O在在CBCB边的的高高线上线上.D D垂心垂心5.5.(2002005 5湖南湖南)P P是是A ABCBC所在所在平面上一点，若平面上一点，若则则P P是是A ABCBC的（的（）A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心D D解解:故故P P是是A ABCBC的垂心的垂心.3 3.O O是是的重心的重心为为的重心的重心.是是BCBC边上的中上的中线ADAD上的任意向量，上的任意向量，过重心重心.2 2.在在中，中，给出出等等于已知于已知ADAD是是中中BCBC边的中的中线;5.5.B B20092009年海南年海南、宁夏理宁夏理数卷卷的第的第9 9题题:例例4.4.C CA A Q QB BA AC C G G也可特取正也可特取正三角形三角形！四、内心四、内心A AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC C三角形三内角平三角形三内角平分分线线交于交于一点，一点，这一点为三角形内一点为三角形内切切圆的的圆心，心，称内心内心。证明明内心定内心定理理证明明:设A A、B B的平的平分分线相线相交于交于I,I,过过I I作作IDIDBCBC，IEAIEAC C，IFAIFAB B，则，则有有IE=IF=IDIE=IF=ID因因此此I I也在也在C C的平的平分分线上，线上，即即三角形三内角平三角形三内角平分分线线交于交于一点一点I II I E E F F D D H H内角平内角平分分线定线定理：理：B B内心内心是是B BA AC C的角平分的角平分线上的任意向量，上的任意向量，过内心；心；2 2.O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过A ABCBC的（的（）A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心 2 2.O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过A ABCBC的（的（）A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心A AC CB BMMN NF FP P1 11 1菱菱形形AMFNAMFNP PP PB B传统解法：解法：例例3 3.（2002005 5全全国I I）A ABCBC的的外外接接圆的的圆心心为为O O，两条边上上的的高高的的交交点点为为H H，且且 ，则，则实数m=m=.1 1也可特取直也可特取直角三角形角三角形!4.4.（）向量向量 满足满足 则则CC为（为（）三不相等的三角形三不相等的三角形 角三角形角三角形 C C等等三角形等等三角形 等三角形等三角形D D 线过线过CC的内心，的内心，则则 等三角形的三线一定等三角形的三线一定 ，CC为等三角形，为等三角形，注注:等等边三角形三角形(即即正正三角形三角形)的的“外心、垂心、外心、垂心、重心、内心、重心、内心、中中心心”五心五心合合一一！