气体动力学讲义吴子牛lecture

VIII:气体动力学第八讲线化方法：纪念钱学森先生九十寿辰2001年11月19日星期二上午9：50中午12：15明理楼422 钱学森简况 1911年12月11日出生于上海，3岁到北京 1929年中学毕业，考入上海交大机械工程系，1930年因病休学一年 1934年上海交大机械系铁道工程专业毕业 19341935考取清华大学留美资格(飞机设计)并在杭州飞机厂实习，1935年到MIT. 1936年转学加州理工学院航空系（从师于Von Karman） 1939年获得航空、数学博士学位(高速气动力学问题)，在加州理工学院任助理教授，出师第1篇论文为薄壳体稳定性理论(1940年) 钱学森简况续 1942年，参与美国机密工作(火箭技术等) 1946年，其导师von Karman与加州理工学院出现关系问题辞职。钱学森也离开，到MIT任副教授(空气动力学). 1947年，钱学森36岁成为MIT正教授 1949年秋回加州理工学院任喷气推进技术正教授，同年接到召唤其回国的信件 1950年7月被取消参加机密研究的资格，准备回国时，被拘留。保释后被监视5年之久(1955年6月表达需要祖国帮助愿望) 1954年在美国发表工程控制论专著 钱学森简况续在周总理关怀下，1955年回国 1955年11月与钱伟长合作筹建力学所，1956年1月5日任第一任所长 1957年任力学学会第一任理事长 1957年其工程控制论获中科院自然科学一等奖，并被补选为中国科学院学部委员 1958年任中国科技大学近代力学系主任，1959年(48岁)入党 1961年任中国自动化学会首任理事长后为中国的火箭、导弹等航天事业作出重大贡献 钱学森学术成就应用力学：A空气动力学，B固体力学喷气推进工程控制论物理力学工程科学其它(化学流体力学等) 内容提要 基本原理定常势流基本方程速度图法卡门钱学森方法小扰动线化方法线化方法的求解内容提要 VIII-1:基本原理气体动力学基本方程为非线性方程，一般情况下无法求解。特殊情况下存在特征线方法；某些情况下可以将方程线化，线化方程的求解有许多成熟的方法。方法一：速度图法。将物理空间的方程用变换换成速度空间的方程，使方程变为线性的。方法二：小扰动线化方法。由于物体几何形状比较薄平，物体的存在只给均匀来流一个小的扰动。于是可以针对小扰动量将方程线化。 符号约定空间： 或速度： 或zyx , 321 , xxxzyx VVV , 321 , VVV VIII-2:定常势流基本方程基本假设：理想气体、量热完全气体、均能、均熵、无旋基本方程：无旋假设 ：存在势函数01 222 ji ijjijij jjj xVxVaVVxVaV jj xV：021 222 ji xxxxj xxx jijijjj aa（能量方程） )(21 2222 VVaa 0 V VIII-3:速度图法考虑平面二维定常势流：通过变换,将物理平面(x,y)上的非线性方程，转换为速度平面( )的线性方程，称为速度图法(Hodograph Method)0 011 22222 xVyV xVyVaVVyVaVxVaV yx yxyxyyxx yx VV ,VIII-3:速度图法 物理平面与速度平面物理平面：速度平面：iyxz yxi iVVVe )(轴的夹角为速度矢量与为速率，xV x y V )( xV)(VVyVIII-3:速度图法 cosVsinV 流线坐标系流线坐标系 (s,n)流线坐标系与物理坐标系的关系(旋转角度为 )： xy流线sn V cossin sincos dndsdy dndsdx VIII-3:速度图法 流线坐标系中的方程方程转换0 011 22222 xVyV xVyVaVVyVaVxVaV y x yxyxyyxx 01 011 2 snVV nsVVM cossin sincos dndsdy dndsdx sincos/VV VV aVMyx VIII-3:速度图法 思考题考虑流线坐标系下的方程 假设流动为简单波流动，即 ，试证明 01 011 2 snVV nsVVM )(VV 12 MdVdV VIII-3:速度图法 坐标系方程定义势函数 和流函数由 得sV : nVo : 0 01 2 VV VMVoo 01 011 2 snVV nsVVM VIII-3:速度图法 0,0 0, Vns nVs 失端曲线变换失端曲线变换，也称恰普雷津变换 ddVVdddVVd , dVdVddddV 1,1 VVdetVIII-3:速度图法 失端曲线变换续由 得 dVdVddddV 1,1 ddddVdVdV , VV VV 1 ,1 1 ,1 VIII-3:速度图法 恰普雷津方程将 代入得恰普雷津方程VV VV 1 ,1 1 ,1 0 01 2 VV VMV oo 0 01 2 oo VV MVV VIII-3:速度图法 恰普雷津方程其它形式将 通过交叉求导并相减得 0 01 2 oo VV MVV 0)1()1( 2222222 MVMVVV VIII-3:速度图法 恰普雷津方程的精简形式定义 ： 则恰普雷津方程变为01 01 22 WMW MWW oo W WVWVWVWV VdVMWdW ,1 2VIII-3:速度图法 必做习题讨论恰普雷津方程组 在什么情况下存在特征线。在存在情况下，求出特征线和相容关系式。讨论是否存在简单波。 0 01 2 oo VV MVV VIII-3:速度图法 速度图法的求解思路通过求解恰普雷津方程(存在若干特解)，得 从而得由 得),(),( VV ddVdddVd VV , dyVdxVdydxd dyVdxVdydxd yx yx cossin sincos 00 dVdVdydVdVdx cossin,sincos 00VIII-3:速度图法 速度图法的求解思路续由消去 得 ddVdddVd VV , dVdVdydVdVdx cossin,sincos 00 dd , dVVdVVVVVdy dVVdVVVVVdx cossincossin sincossincos 00 00 VIII-3:速度图法 速度图法的求解思路续由 积分得 dVVdVVVVVdy dVVdVVVVVdx cossincossin sincossincos 00 00 ),(),( yxyxVV VIII-3:速度图法 极限线(limit line)速度图法有效的必要条件是变换有效，即变换雅可比矩阵的行列式满足由 定义的曲线称为极限线。 0)1(1),( ),(det 2222320 MVVV yxJ V 00)1( 2222 JMV V VIII-3:速度图法 速度图法的困难与优点在速度平面上，边界条件变为非线性的，所以速度图法极少能给出边值问题的解析解对于简单波流动(P-M流动)，恰普雷津变换是退化的，即在速度平面上，简单波流动区域退化为一条线复杂流动区域的部分区域可以用速度图法分析，有较多的研究结果如果流场与无穷远流场差别不大，等熵线可以用其在无穷远状态的切线代替，此时可压缩流恰普雷津方程与不可压缩流的方程相似，从而可以利用不可压缩流的结论(卡门钱学森方法)VIII-3:速度图法 VIII-4:卡门钱学森法发表于1939年的“Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids”,J.Aeronaut. Sci., 6,399(1939), 是作者在冯卡门指导下完成的博士论文的一部分。背景1：在高速流动范围设计机翼所遇到的翼面压力分布计算遇到困难(只有超音速范围可以用特征线理论，亚音速范围内机翼很薄或者速度极低时有小扰动线化理论和不可压缩流方法)。1902年，俄国的恰普雷津(S.A. Chaplygin)在博士论文中对定常势流作变换，将自变量从物理平面 变换到速度平面 ，将方程变为线性方程，被称为速度图法。yx, ,VVIII-4:卡门钱法 卡门钱学森法续背景2：作为近似，恰普雷津建议将等熵关系式用它的切线代替。后来有学者用驻点处的切线尽心近似计算，计算结果只对马赫数低于0.5的情况有效。背景3：冯卡门指导钱学森用来流处的切线进行近似，得到更好的结果。这是因为，在流场大部分区域，流动参数更接近来流值，而不是驻点值。当等熵线可以用其在无穷远状态的切线代替时，可压缩流恰普雷津方程与不可压缩流的方程相似，从而可以利用不可压缩流的结论(卡门钱学森方法)获得可压缩流的解。VIII-4:卡门钱法 等熵曲线的近似Constp / 1p 110p0p卡门钱学森近似VIII-4:卡门钱法 卡门钱学森近似来流处等熵线的斜率为卡门钱学森近似（切向气态律）22211 appddddp )( 1122 app VIII-4:卡门钱法 卡门钱学森近似性质对于切向气态律，有证明：由 另外，由动量方程11 02 MK 22222 222 aaaddpa )( 1122 app 11 1110 000 2222222 222222 2220 2022222222 2 222 KMaVaa aVa a aVdadV addVVaddVVdpVdV VIII-4:卡门钱法 卡门钱学森近似性质续由 得由11 02 MK 202222 20 2220 22222022 11 aVaVa constaaVaaV 220 202 022200 00 2200002 44,11 21 Wa WaVaVVWVdVVa a VdVVa aVdVaaVdVVdVMWdW VIII-4:卡门钱法 卡门钱学森近似性质总结在卡门钱学森近似下，有11 02 MK )( 1122 app 202222 aVaVa 220 20202 44,11 2 Wa WaVaVVW 2222 aa VIII-4:卡门钱法 是否 对于所考虑的(等熵、绝热)流动取 得与前面的性质一致，因此，有书把 作为卡门钱学森假设的出发点。1 ppaVaM ,21 ,211 20221120 1 11202220 , ,11 ppaVaM 1VIII-4:卡门钱法 恰普雷津方程定义 于是恰普雷津方程为WSMK ln,1 02 0 ,0 SKKS VIII-4:卡门钱法 不可压缩流的恰普雷津方程对于不可压缩流动， 因此恰普雷津方程简化为如下的柯西黎曼方程 101 002 K 0 ,0 SS 0,0 MVIII-4:卡门钱法 线性气态律的恰普雷津方程对于可压缩流动和卡门钱学森近似，已经证明 因此方程简化为 与不可压缩流方程完全一致。0 ,0 SS 11 02 MKVIII-4:卡门钱法 可压不可压相似比拟在卡门钱学森近似前提下，速度平面上的方程为对于不可压流动(以下标I区别)，速度平面上的方程为因此，在速度平面上，可压缩流与不可压缩流的解在对应自变量相等处完全相等，即0 ,0 SS 0 ,0 IIIIIIII SS IIIIIIII WWWWWW , ),(),( ),(),( VIII-4:卡门钱法 对应点速度关系式由 得IIIII WWVaVVWaVVW ,11 2,11 2 202202 220 20220 20220 20202 44444411 2 Wa WaWa WaVa VaVVaVV IIIII VIII-4:卡门钱法 密度与马赫数由 和 得由K=1得2222 aa 202222 aVaVa 22 0 2200 22000 44 IIVa Vaa Vaaa 220 22002 441 IIVa VaM 220 22002 441 IIVa VaM VIII-4:卡门钱法 密度续由 和得 0 0 220 2200 44 IIVa Va 220 22002 441 IIVa VaM 22220 2 )11( 4 MMaVI 22222 22222220 222 20 2222 )11( 44 )11( 441441 MMVV MMVVMaVVV aVVVM III IIIIII III VIII-4:卡门钱法 对应点坐标由得 dVdVdydVdVdx cossin,sincos 00 IIIII IIiIIIIiIIIIIi i zdizddadz iddaeViddVedVa VaidVe didVeidydxdz III 20 20220 220 041 444 IMIIIIII zzdizddVMMzz 8.022 111 11 VIII-4:卡门钱法 压力系数 由 得对于不可压缩流动)( 1122 app 1221 )(21 22 11222 MVaVppCp pIIIIIpI CVVVVVppC 1,121 222 VIII-4:卡门钱法 压力系数关系式由得卡门钱学森公式（ ） 12 2MCp 22222 222222 )11( 44 )11( 441 MMVV MMVVM III III pIII CVV 1 22 11211 MCM CC pIpIp 7.0M VIII-4:卡门钱法 结束语计算可压缩流翼型表面压力时，需要知道对应点不可压缩流的压力(实验或解析)，且对应点关系。当马赫数较小(M0.8)并且翼型较薄时，对应点基本相等 ，即两个流场取相同的翼型。卡门钱学森公式中的线性气态率假设实际上属于一种小扰动假设(压力被低估)，另外两个流场取相同翼型也是一种近似(压力被高估)。两种效应相抵，使得该公式直至高马赫数(M=0.7)仍然有效(p203)。VIII-4:卡门钱法Izz VIII-5:小扰动线化方法基本假设：来流 与 向一致(风轴)，在来流上叠加小扰动 小扰动满足方程VIII-5:小扰动线化法V x ),( zyx vvv zzyyxx vVvVvVV , , LVxvVvVvVv jizyx ,1 ,1 ,1 xyzV 翼型定义三个参数：弦长 ，弯度曲线 ，厚度曲线上下表面分别用“+”和“-”表示b V mf ff b mf)(21 ffft 小扰动线化方程的推导将 代入 得zzyyxx vVvVvVV , , 01 222 ji ijjijij jjj xVxVaVVxVaV )(1 22 kjizyx xvvOMzvyvxvM 152p详细表达式见VIII-5:小扰动线化法 亚、超流动小扰动线化方程对于一般超音速流动和亚音速流动 因此在小扰动假设下，从而简化为如下的小扰动线化方程 22 ),1(1 MOM 0)(2 kji xvvOM )(1 22 kjizyx xvvOMzvyvxvM 01 2 zvyvxvM zyxVIII-5:小扰动线化法 跨、高超流动小扰动方程对于跨音速流动或高超音速流动 因此即使在小扰动假设下，从而需要保留的某些高阶项，最后方程为非线性的(p154)1 01 22或 MM xvMOxvvOM x kji）（22 1)( )(1 22 kjizyx xvvOMzvyvxvM VIII-5:小扰动线化法 小扰动线化方程的适应范围流动范围：一般亚音速和一般超音速流动，即马赫数不太接近1，也不能太大流动位置：离开驻点较远(因为在驻点处， )， 但如果驻点影响范围与整个流动区域相比很小，则处处按小扰动线化处理效果不错，所算得的升力系数和力矩系数令人满意物面形状：在来流方向比较长，在某个(只此一个)垂直于来流的方向很薄。 VvxVIII-5:小扰动线化法 无旋流线化方程在无旋流假设下，存在势函数 ，满足 从而小扰动线化方程为, xV vV , 01 2222222 zyxM 椭圆型:1M双曲型:1MVIII-5:小扰动线化法 线化物面边界条件物面方程：物面法向：物面无穿透条件：零高度边界条件 ：VIII-5:小扰动线化法0),(),( ),( yxfzzyxForyxfz )1,(),( yx ffzyxFn 0 FV xfVhyxv z ),( xfVyxzvxfVyxvz )0,()0,( )(21 tm fff 压力系数压力系数定义定常均能假设等熵假设 因此 1221 22 ppMVppCp 121121 2222 aVaV 22222 1211 VVMaaTT 1 TTpp 112112 12222 VVMMCp VIII-5:小扰动线化法 线化压力系数将 代入 得 VvV vOvVVVV xx 2)(211 2 2222 112112 12222 VVMMCp xVVvC xp 22VIII-5:小扰动线化法 VIII-6:线化方程的求解分离变量法与积分变换法相似法则(利用不可压缩流结果)特征线理论(略)叠加法(线化流存在源、汇、偶极子)其它方法：旋成体理论(p190)VIII-6:线化方程求解 分离变量与积分变换法说明问题1：沿波形壁 的二维流动.定解问题： V z x xzw 2cos )(1,:,:小扰动波长波幅 0, 2sin20)1( 0 22222zx xVdxdzVz zxM wz 小扰动方程波形壁边界条件扰动传播有限远条件 方程类型亚音速流动，令 ，方程可以写为 属于椭圆型方程，扰动传播有限亚音速流动，令 ，方程可以写为 属于双曲型方程，扰动可以传播至22 1 M 022222 zx 0 22222 zx 122 M 无穷远条件亚音速流动，超音速流动，0, zx zx , 亚音速流用分离变量法求得从而按定义有 xzVzx 2sin2exp),( xzvVC xzVzv xzVxv zpzx 2cos2exp42 2cos2exp2 2cos2exp2 超音速流用积分变换法(达朗伯解)对于向右流动，按定义有 向左流动向右流动)( )(),( zxg zxfzx )(2sin42 )(2sin2 )(2sin2 zxvVC zxVzv zxVxv zpzx 流线比较流线方程：亚音速：超音速：)/(/ xz vVvdxdz xzz 2cos2exp 11 1)(2sin2 zxdxdzz 1M 1M constzx 扰动对称传播扰动向下游传播按指数衰减壁面引起的扰动沿马赫线传播至壁面引起的扰动 壁面压力系数比较亚音速：超音速： 1M 1M constzx xCp 2cos4 xCp 2sin4pC pC 0阻力为壁同步，固压力系数与波形)163(0 ,90 p阻力不为固度相位差压力系数与波形壁 说明问题2：超音速二维翼型线化解假设：超音速流，二维薄翼，小攻角，于是只有小扰动波产生，没有P-M膨胀波或激波那样的非线性波(均为马赫波)。这要求是薄翼、小攻角、尖前缘(当然也是尖后缘)、来流马赫数不高( ).物理模型(p172-179) 5.23.1 M xz1 M 0),( )(0)1( 010 22222 2 zMx wz zx dx xdhVdxdzVz zxM )(xhz )(xhz 012 zMx 012 zMx 亚音速线化流相似法则亚音速小扰动方程 通过简单仿射变换可以化成不可压缩流的拉普拉斯方程 由此可以建立可压缩流场和不可压缩流场之间的对应关系(相似关系)，利用(实验或解析容易获得的)不可压缩流场的解简单求出可压缩流场的解。222222222 1 0 Mzyx， 0 222222 I II II I zyx 仿射变换基本原理可压缩流场和不可压缩流场之间，如果各变量(包括自变量和因变量)之间存在比列关系(不同参数比列系数可以不一样)，使得控制方程和边界条件都能在可压和不可压之间互换，则各参数的比列对应关系称为仿射变换。 方程相似法则求比列系数k,a,b,c,如果关系式 使得事实上由(1)代入(2)得 因此，对 和任何k，上式都退化为(3)02222222 zyx 0222222 I II II I zyx czzbyyaxxk IIII , 0 2222222222 zkcykbxka /1,1 cba )1()2( )3( 物面相似法则当 ，取何 使得物面边界条件事实上，将 代入(1)得由(3)知，如果 ，则(1)退化为(2).III zzyyxx , ,: kk I 00 IIIIIIIIIII zFzyFyxFVzFzyFyxFV )1( )2( I IIII zzyyxx , 022 IIIIIIIIII zFzkyFykxFV )3(2, kVV I 总结可压缩流场和不可压缩流场之间存在如下仿射关系因此，先求解或实验测得不可压问题的解后，就可按(1)获得可压缩流场的解。 IIIIIIII zzyyxxzyxzyxVV ,),(),(, 20 222222 I II II I zyx 0 IIIIIIIIIII zFzyFyxFV )1( 连带相似法则在满足仿射变换 的可压与不可压流场之间，其它相似关系式可以按下式求得： IIIIIIII zzyyxxzyxzyxVV ,),(),(, 2 II IIzI IIIIz IyI IIIIy IxI IIIIx vz zyxz zyxzyxv vy zyxy zyxzyxv vx zyxx zyxzyxv 1),(1),(),( 1),(1),(),( 1),(1),(),( 22 pIIIxxP CMVvVvC I 22 1 1212 戈太特法则亚音速线化流场的参数可以借助于一个仿射变换的不可压缩无旋流场的相应参数间接求出，两个流场的空间关系式满足 相应点之间的流动参数满足 1 , 2 Mzzyyxx III pIp IzzIyyIxx I CC vvvvvv VV III221 1,1,1 戈太特法则应用范围：小扰动流动。空气动力学应用。考虑两个处于可压缩流场和不可压缩流场中的机翼。xz xz V Vb Ib 翼型尺寸关系由 得 因此，按戈太法则转换后，不可压缩流场翼型在x方向不变，在z方向缩小 倍 III zzyyxx , I mmIttII ffffbb , 流场尺寸关系考虑流线对x轴的倾角 。则 即 ，按戈太法则转换后，不可压缩流场在x方向不变，在z方向缩小 倍I, VvVvvV vtg VvvV vtg zIzIxII zIII zxz I 升力系数力矩系数关系由得由得PIPb ppL CCdxCCbC 20 1 ,1 LIL CC 21 PIPb ppM CCxdxCCbC 202 1 ,1 MIM CC 21 戈太特法则缺陷应用戈太特法则，从不可压缩流场获得可压缩流场的解，不可压缩流场的翼型与来流马赫数有关，而且总是与可压缩流场的翼型不一样。xz xz V Vb Ib 21, Mffffbb ImmIttII 普朗特葛劳渥特法则戈太特法则只能建立可压缩与不可压缩中不同翼型(并且不同攻角)的气动力关系，从而用起来十分不方便。普朗特葛劳渥特法则建立可压缩与不可压缩中相同翼型(并且相同攻角)的气动力关系，从而得到可压缩性对同一翼型的气动力影响。 基本原理引入两个不可压缩流场及翼型。其中不可压翼型1是可压缩流场的仿射变换翼型，而不可压翼型2与可压缩翼型完全一样。由可压缩与不可压缩1的气动力关系，以及不可压缩2与不可压缩1的关系，获得可压缩与不可缩2的关系可压缩1不可压缩 2不可压缩 1111, mmtt ffffbb 1, 12121212 mmtt ffffbb1, 2222 mmtt ffffbb 具体应用参阅气体动力学(p167-172)由于要用到不可压缩流动的流动参数与翼型参数的关系，有关理论包括三维机翼的升力线理论可以参阅“空气动力学” （陈再新等，航空工业出版社，1993）。 叠加法经过仿射变换或其它变换 亚、超音速的小扰动线化方程 可以转化为拉普拉斯方程拉普拉斯方程的基本解包括均匀流、点源(汇)、偶极子和点涡(线涡), 用它们进行叠加，满足一定的边界条件，就可以构成机身、机翼或翼身组合体等绕流问题的解。 01 2222222 zyxM 0 222222 III zyx ),(),( III zyxzyx 拉普拉斯方程基本解方程基本解一般形式基本解例子：点源(汇)、偶极子和点涡(线涡)。例如，位于 ( )、强度为 的点源解为0222222 III zyx ),( zyx bb , q 222 )()()( 144),( zyxqrqzyxs 亚音速流基本解仿射变换( )：由不可压缩流的基本解 得可压缩流的基本解例(源) III zzyyxx ,21 M 001 2222222222222 III zyxzyxM ),( IIIb zyx ),(),(),( zyxzyxzyx bIIIbb 22222 )()()( 14),( zyxqzyxs 超音速流基本解复仿射变换( )：由不可压缩流的基本解 得可压缩流的基本解例(源) III izziyyxx ,12 M 001 2222222222222 III zyxzyxM ),( IIIb zyx ),(),(),( iziyxzyxzyx bIIIbb 22222 )()()( 14),( zyxqzyxs 1i 补遗均匀来流点源可以使气流撑开，由此可以模拟旋成体流动(在轴线上布源)均匀来流加偶极子可以模拟绕封闭物体的运动总之，通过基本解的叠加(对于线性问题，叠加法是成立的)，可以模拟许多流动问题。