塑性力学第三章ppt课件

塑性力学第三章40学时教材：塑性力学引论（修订版），王仁、黄文彬、黄筑平著广西大学土木建筑工程学院硕士研究生40学时课程第三章 应变分析、应力分析和屈服条件 3.1 应变张量和应力张量（2）或用张量定义表示或用张量定义表示来表示。来表示。在小变形假设下在小变形假设下，相应的，相应的(工程工程)应变可定义为：应变可定义为：在直角坐标系中，任意一点的位置可用坐标值在直角坐标系中，任意一点的位置可用坐标值或或 来表示。相应点的位移可用来表示。相应点的位移可用或或小变形下的应变定义如此定义的应变是二阶对称张量如此定义的应变是二阶对称张量 上上式式中中应应变变的的六六个个独独立立分分量量是是通通过过三三个个位位移移分分量量的的偏偏导导数数给给出出的的，消消去去位位移移后后可可得得到到应应变变分分量量之之间间的的关关系系，即即协协调条件。调条件。物体在变形和运动过程中，其质点的速度分量物体在变形和运动过程中，其质点的速度分量假设下可表示为：假设下可表示为：（3）在小变形在小变形定义变形（速）率张量定义变形（速）率张量 在小变形情况下变形在小变形情况下变形（速）（速）率张量也是应变张量的时间变化率率张量也是应变张量的时间变化率 （4）在此种情形下，应变增量可表示为在此种情形下，应变增量可表示为（5）对对于于率率无无关关材材料料，与与真真实实时时间间成成单单调调递递增增关关系系的的参参数数都都可取为时间参量。式中参数可取为时间参量。式中参数t t不一定是真实时间。不一定是真实时间。Cauchy应力张量 在在通通过过物物体体内内任任一一点点的的面面元元上上，其其应应力力向向量量可可用用Cauchy公式来确定。公式来确定。用张量方式来描述，用张量方式来描述，Cauchy公式可以写作公式可以写作（6）Tn nz（6 6）式可以用来描述应力边界条件）式可以用来描述应力边界条件 在在连连续续介介质质中中应应用用NewtonNewton第第二二定定律律（或或动动量量守守恒恒定定律律），可以得到应力张量满足的运动方程，可以得到应力张量满足的运动方程（7）（8）而而 在在连连续续介介质质中中应应用用动动量量矩矩守守恒恒定定律律，可可以以得得到到应应力力张张量满足的量满足的对称性条件对称性条件（7 7）、（8 8）两两式式是是在在变变形形后后的的几几何何位位置置上上建建立立起起来来的的，但在小变形情形下，变形前后的坐标可不加区别。但在小变形情形下，变形前后的坐标可不加区别。准静态情形下，省略（准静态情形下，省略（7 7）式的惯性项，从而得到平衡）式的惯性项，从而得到平衡方程：方程：（9）3.2 应变张量或应力张量的不变量 当当所所截截取取的的面面元元是是以以 为为法法向向量量时时，面面元元上上只只有有正正应应变变（或或正正应应力力）而而没没有有剪剪应应变变（或或剪剪应应力力）时时，向向量量 称称为为称称为为主方向，相相应应的的正正应应变变（或或正正应应力力）则则称称为为主应变（或（或主应力）。）。先来看主应力，由任一截面上的应力向量满足关系先来看主应力，由任一截面上的应力向量满足关系主方向、主应变和主应力当面元只有正应力时，该应力向量与面元法向量平行，故当面元只有正应力时，该应力向量与面元法向量平行，故于是有于是有 再来看主应变，由于应变张量的坐标变换公式与应力张再来看主应变，由于应变张量的坐标变换公式与应力张量坐标变换公式相同，因此确定主应变也有相同公式（量坐标变换公式相同，因此确定主应变也有相同公式（应变应变张量与应力张量都是二阶对称张量，在坐标变换上具有同样张量与应力张量都是二阶对称张量，在坐标变换上具有同样的性质）。的性质）。于是，可以写出统一的公式于是，可以写出统一的公式（10）式式中中 是是 的的主主值值。若若 代代表表应应力力张张量量，是是主主应应力力。若若 代表应变张量，代表应变张量，是主应变。是主应变。应力不变量与应变不变量 （1010）式具有非零解的条件是）式具有非零解的条件是由此得到关于由此得到关于的三次多项式的三次多项式（11）（12）其中其中称称为为 的的第第一一、第第二二和和第第三三不不变变量量。因因为为它它们们与与坐坐标标系系的选择无关。的选择无关。可可以以证证明明 有有三三个个实实根根（可可参参考考弹弹塑塑性性力力学学的的习习题题与与例例题题，清清华华徐徐秉秉业业编编），这这里里不不证证。将将 的的主主值值记记为为 、和和 ，且规定，且规定 。（1212）式也可用主值来表示：）式也可用主值来表示：（13）3.3 偏应力张量和偏应变张量 基基于于实实验验测测试试结结果果，对对于于大大多多数数金金属属材材料料，在在较较大大的的静静水水压压力力作作用用下下，材材料料仍仍表表现现为为弹弹性性性性质质。这这就就意意味味着着，应应力力张张量量可可以以分分为为两两部部分分。一一部部分分是是静静水水应应力力，它它对对材材料料的的作作用用不会造成塑性变形。另一部分可以使得材料产生塑性变形。不会造成塑性变形。另一部分可以使得材料产生塑性变形。定义静水分量和偏量定义静水分量和偏量 （14）（15）张量张量 的偏量的偏量 的几点性质：的几点性质：1.和和 具有相同的主方向，其不变量可表示为具有相同的主方向，其不变量可表示为（16）如果如果则则也是相应偏张量的特征方程也是相应偏张量的特征方程因此因此 和和 具有相同的主方向具有相同的主方向2.可通过可通过 表示为表示为（17）证明证明于是有于是有又又得证得证上式也可通过主值上式也可通过主值 表示为表示为（18）如如 的主值满足的主值满足 ，则有，则有基本不等式基本不等式（19）证明证明 得证得证比较是很重要的参数，用它可定义一些重要的参量。是很重要的参数，用它可定义一些重要的参量。如定义等效应变式中式中 是应变张量是应变张量 的偏张量。的偏张量。（20）定义等效应力（21）式中式中 是应力张量是应力张量 的偏张量。的偏张量。定义等效剪应变（22）定义等效剪应力（23）定义八面体剪应变（24）定义八面体剪应力（25）3.4 屈服条件把简单应力状态下屈服应力的概念推广到一般应力状态。把简单应力状态下屈服应力的概念推广到一般应力状态。1.假假定定材材料料在在变变形形的的初初始始阶阶段段处处于于弹弹性性状状态态，这这种种弹弹性性状状态态的界限称为屈服条件。的界限称为屈服条件。2.当当微微元元的的应应力力状状态态达达到到该该界界限限时时，进进一一步步的的加加载载就就可可能能使使微元产生不可恢复的塑性变形。微元产生不可恢复的塑性变形。3.屈服条件可以用表达式屈服条件可以用表达式 写出。写出。4.屈屈服服条条件件在在以以应应力力分分量量为为坐坐标标的的应应力力空空间间中中一一般般是是一一个个曲面，称为屈服曲面。曲面，称为屈服曲面。5.5.当当应应力力 位位于于此此曲曲面面之之内内,即即 时时,材材料料处处于于弹弹性性状状态态;当当应应力力位位于于此此曲曲面面上上,即即 时时,材材料料将将开开始始屈屈服服而进入塑性状态。而进入塑性状态。各向同性假设各向同性假设：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服与材料的取向无关，即与坐标系选择无关。由这一假设，屈与材料的取向无关，即与坐标系选择无关。由这一假设，屈服条件可表示成三个主应力的函数：服条件可表示成三个主应力的函数：（26）或应力张量不变量的函数：或应力张量不变量的函数：静水应力不影响材料的塑性性质的假设静水应力不影响材料的塑性性质的假设：即屈服条件只与应：即屈服条件只与应力偏量有关。于是屈服条件可以用应力偏张量的不变量来表力偏量有关。于是屈服条件可以用应力偏张量的不变量来表达达两个重要的假设（27）（28）一般来说，这两个假设对多数金属和饱和土是适用的。一般来说，这两个假设对多数金属和饱和土是适用的。在不适用的情形，需要对屈服条件进行修正。在不适用的情形，需要对屈服条件进行修正。由这两个假设，如果屈服曲面存在，则可能在主应力空由这两个假设，如果屈服曲面存在，则可能在主应力空间中用几何方法加以描述。间中用几何方法加以描述。在主应力空间中，任意一应力状态都可用一个向量在主应力空间中，任意一应力状态都可用一个向量 来表示。来表示。上上式式还还可可分分解解为为偏偏量量部部分分和和静静水应力部分。水应力部分。为主偏应力向量为主偏应力向量为静水应力向量。注意到为静水应力向量。注意到知知与与是正交的。是正交的。过过O点以点以 为法向量的平面习惯上称为为法向量的平面习惯上称为平面，可写为平面，可写为（29）由于由于与与正交，正交，主偏应力向量主偏应力向量 过过O点点,知知主偏应力向量主偏应力向量 是是平面的面内向量。平面的面内向量。以下，以下，建立建立 平面上的直角坐标系，并建立主应力平面上的直角坐标系，并建立主应力 主偏应力主偏应力 与与 平面上相应的点的坐标的关平面上相应的点的坐标的关系。系。主应力坐标系基矢主应力坐标系基矢顶点构成一平面，该平面平行于顶点构成一平面，该平面平行于平面。平面。将基矢将基矢投影到投影到平面上，得平面上，得。由于。由于不平行于不平行于平面平面,再将基矢再将基矢的顶点连线投影到的顶点连线投影到平面上，由于这些顶点连线平行于平面上，由于这些顶点连线平行于平面，投影所得线的长度不变。平面，投影所得线的长度不变。将有所缩减。将有所缩减。中任意两向量及顶点连线构成一个等腰三角形，中任意两向量及顶点连线构成一个等腰三角形，其顶角角度为其顶角角度为120120，底角角度为，底角角度为3030。因此可以算出。因此可以算出 那么，主偏应力那么，主偏应力在在平面上的平面上的 坐标值为：坐标值为：平面上任一点的坐标可用主偏应力表达为：平面上任一点的坐标可用主偏应力表达为：同样，主应力同样，主应力在在平面上的平面上的 坐标值为：坐标值为：于是于是平面上任一点的坐标可用主应力或主偏应力表达为：平面上任一点的坐标可用主应力或主偏应力表达为：（30）用极坐标描述，有：用极坐标描述，有：（31）上上式式中中 称称为为LodeLode参参数数，表表示示了了主主应应力力之之间间的相对比值。的相对比值。（3131）式中）式中 因此有因此有（31）如如果果规规定定 ，则则LodeLode参参数数 的的取取值值范范围围为为（-1-1，1 1）或）或 。例如：。例如：纯拉伸纯拉伸 对应于对应于 。纯剪切纯剪切 对应于对应于 。纯压缩纯压缩 对应于对应于 。注意到注意到 ，由（，由（3030）式可解出：）式可解出：（32）屈服曲面与屈服曲线屈服曲面与屈服曲线 屈服曲面与屈服曲面与 平面的交线称为屈服曲线。平面的交线称为屈服曲线。当当屈屈服服条条件件不不受受静静水水应应力力影影响响时时，从从主主应应力力空空间来看，此时的屈服条件间来看，此时的屈服条件 表表示示的的是是一一个个母母线线垂垂直直于于 平平面面的的柱柱面。面。因为该曲面与静水应力因为该曲面与静水应力（是是向向量量 的的大大小小）的的大大小小无无关关，这这意意味味着着以以任任何何一一个个平平行行于于平平面面的的平平面面去去截截曲曲面面 ，得到的交线都是形状一样的。，得到的交线都是形状一样的。在在这这种种情情形形下下，要要讨讨论论屈屈服服条条件件只只需需分分析析 平平面面上上的的屈屈服曲线。服曲线。屈服曲线的几何性质屈服曲线的几何性质根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定，如果根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定，如果 是屈服曲线上的一点，是屈服曲线上的一点，也是屈服曲线上的一点。由也是屈服曲线上的一点。由（3030）式知）式知 也是屈服曲线上的一点也是屈服曲线上的一点可知屈服曲线对称于可知屈服曲线对称于 轴，同理可知还对称于轴，同理可知还对称于 轴和轴和 轴。轴。又根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定，材料的又根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定，材料的拉伸和压缩屈服极限相等（对许多金属材料近似成立）。还拉伸和压缩屈服极限相等（对许多金属材料近似成立）。还可知，如果可知，如果 是屈服曲线上的一点，则是屈服曲线上的一点，则 也是屈服曲线上的一点。于是由（也是屈服曲线上的一点。于是由（3030）式知）式知因因此此 平平面面上上 也也是是屈屈服服曲曲线线上上的的一一点点。但但由由于于屈屈服服曲曲线线对对称称于于 轴轴，必必是是屈屈服服曲曲线线上上的的一一点点。故故知知屈屈服服曲曲线线对对称于称于过原点且垂直于过原点且垂直于 轴的直线。轴的直线。同同理理，过过原原点点的的另另外外两两条条投投影影轴轴的的垂垂线线也也是是对对称称轴轴。因因此此，在在各各向向同同性性假假设设下下屈屈服服曲曲线线有有6条条对对称称轴轴。所所以以，在在此此情情形形下下，只只要要在在30范范围围内内做做屈屈服服试试验验就就可可以以确确定定屈屈服服曲曲线。线。3.5 几个常用的屈服条件一、Tresca屈服条件（1864年）当最大剪应力达到某一极限值时，材料开始产生屈服。如当最大剪应力达到某一极限值时，材料开始产生屈服。如果规定果规定 ，则，则Tresca屈服条件可写为屈服条件可写为（33）由由（3030）式式可可知知，上上式式在在 平平面面上上相相当当于于 内内与与 轴平行的直线段：轴平行的直线段：（34）根根据据对对称称性性对对其其加加以以延延拓拓，知知Tresca屈屈服服条条件件在在 平平面面上上是是一一个个正正六六边边形形。如如果果不不规规定定 ，则则（3333）式式可可写为写为（35）在主应力空间中在主应力空间中Tresca屈服条件是一个正六面体柱面。其母屈服条件是一个正六面体柱面。其母线与轴线线与轴线 相平行。相平行。对于平面应力状态对于平面应力状态 ，（，（3535）式可写作）式可写作（36）这这在在 应应力力平平面面上上是是一一个个六六边边形形，它它是是六六棱棱柱柱面面与与 平平面面相相截截得得到的交线。到的交线。值的确定值的确定 值由实验确定。例如可用简单拉值由实验确定。例如可用简单拉伸伸 测得测得（37）如果采用纯剪切实验如果采用纯剪切实验 ，则，则（38）显显然然，如如果果TrescaTresca屈屈服服条条件件正正确确，则则测测得得的的 值值应应相相同，即应有同，即应有（39）关于Tresca屈服条件的应用 在在主主方方向向已已知知的的情情形形下下，Tresca屈屈服服条条件件是是便便于于应应用用的的。如不是这样，应用起来就不大方便。如不是这样，应用起来就不大方便。设设 ,即即 。由（。由（3131）和（）和（3232）式，有）式，有 于是于是这样，这样，TrescaTresca屈服条件可写为：屈服条件可写为：这样这样Tresca屈服条件就能用偏应力张量的不变量来表屈服条件就能用偏应力张量的不变量来表示。一般来说，应用起来还是不大方便的。上式还可以写示。一般来说，应用起来还是不大方便的。上式还可以写为为二、Mises屈服条件（1913年）Tresca屈服条件没有考虑中间主应力的影响。屈服条件没有考虑中间主应力的影响。Mises屈屈服服条条件件假假定定（2828）式式 具具有有如如下下的最简形式：的最简形式：（40）其其中中 为为材材料料常常数数。由由上上式式可可见见Mises屈屈服服条条件件与与 无无关。关。由（由（3131）式，上式也可写为）式，上式也可写为（41）可可见见，MisesMises屈屈服服条条件件在在 平平面面上上是是一一个个圆圆，在在主主应应力力空间中则是一个母线与轴线空间中则是一个母线与轴线 相平行的圆柱面。相平行的圆柱面。对于对于 平面应力状态，平面应力状态，MisesMises屈服条件可表示为屈服条件可表示为（42）这在这在 应力平面上是一个椭圆。应力平面上是一个椭圆。对对Mises屈服条件的物理解释屈服条件的物理解释 材材料料微微元元的的八八面面体体剪剪应应力力或或材材料料微微元元单单位位体体积积的的剪剪切切应应变变能能达达到到一一定定数数值值时时，材料微元就将开始进入屈服。材料微元就将开始进入屈服。八面体剪应力八面体剪应力剪切应变比能剪切应变比能 值的确定值由实验确定。值由实验确定。例如在简单拉伸例如在简单拉伸 时，时，应用应用MisesMises屈服条件，可以测得屈服条件，可以测得（43）如果采用纯剪切实验如果采用纯剪切实验 ，则由，则由（44）显显然然，如如果果MisesMises屈屈服服条条件件正正确确，则则用用不不同同的的试试验验测测得得的的 值应相同，即应有值应相同，即应有（45）Tresca屈服条件与Mises屈服条件的简单比较 在在 平平面面上上，假假定定简简单单拉拉伸伸时时两两个个屈屈服服面面重重合合，则则Tresca 六六边边形形 内内 接接 于于 Mises 圆圆。此此 时时 由由（3737）、（3838）式式 ,和和（4343）、（4444）式式 ，知知若若以以拉拉伸伸试试验验确确定定屈屈服服参参数数，在在纯纯剪剪切切时时两两种种屈屈服服条条件件相相差差最最大。大。如如假假定定纯纯剪剪切切时时两两个个屈屈服服面面重重合合，则则TrescaTresca六六边边形形外外切切于于MisesMises圆圆。此此时时由（由（3737）、（）、（3838）式）式和（和（4343）、（）、（4444）式）式 知知在在简简单单拉拉伸伸时时，两两种种屈屈服服条条件件相相差最大。差最大。不论哪种情况，最大的相对误差都是不论哪种情况，最大的相对误差都是三、最大偏应力屈服条件（或双剪应力屈服条件）最大偏应力屈服条件 最最大大偏偏应应力力屈屈服服条条件件的的概概念念最最早早是是由由R.SchmidtR.Schmidt在在19321932年年提提出出的的。俞俞茂茂宏宏用用双双剪剪应应力力的的概概念念对对上上述述屈屈服服条条件件作了说明。作了说明。最大偏应力屈服条件可用下式表示最大偏应力屈服条件可用下式表示（46）上式又可表示为上式又可表示为 显显然然，考考虑虑到到对对称称性性，上上式式在在 平平面面上上构构成成由由六六条条直直线线围围成成的的正正六六边边形形。要要确确定定这这一一六六边边形形，可可利利用用（3030）式式。由由（3030）式式的的第第二二式式，知知正正六六边边形形的的一一条条直直线线与与 垂垂直直。由由拉拉压压屈屈服服对对称称，可可得得正正六六边边形形另另一一条条与与 垂垂直直的的直直线线。类类推确定这一六边形。推确定这一六边形。最大偏应力屈服条件最大偏应力屈服条件值的确定如果用简单拉伸如果用简单拉伸 确定确定 ，则，则与与Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件的简单比较屈服条件的简单比较最最大大偏偏应应力力屈屈服服条条件件在在 平平面面上上是是一一个个外外接接于于Mises圆圆的的正正六边形。与六边形。与Tresca六边形相比，它的方位相差六边形相比，它的方位相差30。双剪应力屈服条件双剪应力屈服条件 当当两两个个较较大大的的主主剪剪应应力力的的绝绝对对值值之之和和达达到到某某一一数数值值时时，材料将开始屈服。材料将开始屈服。设设 ，则主剪应力绝对值可定义为：，则主剪应力绝对值可定义为：（47）双剪应力屈服条件由下式表示：双剪应力屈服条件由下式表示：（48）最大最大谁大？谁大？上上式式（双双剪剪应应力力屈屈服服条条件件）与与最最大大偏偏应应力力屈屈服服条条件件（4646）式等价，因为若式等价，因为若 ，注意到，注意到 ，有，有 所以双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件等价所以双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件等价 由（由（3131）、（）、（3232）和（）和（4646）式，在未知最大主应力方）式，在未知最大主应力方向时最大偏应力屈服条件可写为向时最大偏应力屈服条件可写为 其中其中3.6 屈服条件的实验验证用这样的试件和加载方式可以实现可变的双向应力状态。用这样的试件和加载方式可以实现可变的双向应力状态。设设圆圆管管的的平平均均半半径径为为 ，壁壁厚厚为为 ，。在在拉拉力力 和和内内压压 的的作作用用下下，圆圆管管近近似似地地处处于于平平均均应应力力状状态。在柱坐标系中圆管中任意一点的应力分量为：态。在柱坐标系中圆管中任意一点的应力分量为：，（49）如果如果 ，则可取，则可取 ，故有：，故有：（50）当当 等于零时，等于零时，这对应于简单拉伸的情形。这对应于简单拉伸的情形。当当 时，时，当当 时，时，于于是是，知知在在 的的范范围围内内改改变变 和和 的的比比值时，可以得到值时，可以得到 在在 内不同的值。内不同的值。与与Lode的实验结果比较的实验结果比较 设设 ，规规定定拉拉伸伸时时各各种种屈屈服服条条件件是是重重合合的的（即各种屈服条件的参数都以拉伸试验来加以确定）。（即各种屈服条件的参数都以拉伸试验来加以确定）。对对Tresca屈服条件，有屈服条件，有（51）对对于于Mises屈屈服服条条件件，由由（4141）式式,，,和（和（4343）式，有）式，有上式还可以表示为上式还可以表示为 因此屈服条件可以写为因此屈服条件可以写为（52）利用（利用（3030）和（）和（3131）式）式对于最大偏应力屈服条件对于最大偏应力屈服条件,由由 ，所以，所以，或或从上式中可解出从上式中可解出而当而当 时，时，但由最大偏应力屈服条件但由最大偏应力屈服条件 因此因此而当而当 时，时，由最大偏应力屈服条件由最大偏应力屈服条件 因此因此于是最大偏应力的屈服条件可写为于是最大偏应力的屈服条件可写为（53）可可知知，以以 为为纵纵坐坐标标，以以 为为横横坐坐标标，将将（5151）、（5252）和和（5353）式式与与试试验验结结果果比比较较，便便可可看看出出哪哪种种屈屈服服条条件更为接近真实结果。件更为接近真实结果。二、薄圆管受拉力和扭矩的联合作用（Taylor-Quinney，1931年）在拉力和扭矩的作用下在拉力和扭矩的作用下，（54）相应的主应力为：相应的主应力为：相应的主偏应力为：相应的主偏应力为：（55）（56）从而从而 （57）当当 时时 ，对对应应于于简简单单拉拉伸伸的情形。的情形。当当 时时 ，对对应应于于纯纯剪剪切切的的情形。情形。于于是是，改改变变 和和 的的比比值值，可可以以得得到到 在在 内内不不同的值。同的值。仍规定拉伸时各种屈服条件是重合的。仍规定拉伸时各种屈服条件是重合的。对对Tresca屈服条件，有屈服条件，有或或（58）对于对于Mises屈服条件，有屈服条件，有（59）或或 对于最大偏应力屈服条件。对于最大偏应力屈服条件。由（由（56）式知，当）式知，当时时，。且且 ，因因此此最最大大偏偏应力屈服条件可写为应力屈服条件可写为或或（60）于于是是，以以 为为纵纵坐坐标标，以以 为为横横坐坐标标，将将（5858）、（5959）和和（6060）式式与与试试验验结结果果比比较较便便可可看看出出哪哪种种屈服条件更为接近真实结果屈服条件更为接近真实结果回推法得到的屈服面(引自苏莉西北工业大学2007年硕士论文)钢薄圆管轴向拉压/扭转测试初始屈服面3.7*岩土力学中的库伦屈服条件确定B点如何确定A点？平面上平面上I I1 10 0故由（故由（6666）式）式3.8 加载条件屈屈服服条条件件是是指指当当材材料料未未经经受受任任何何塑塑性性变变形形时时的的弹弹性性响响应的界限。应的界限。加载条件加载条件材料经受过塑性变形后的弹性响应的界限。材料经受过塑性变形后的弹性响应的界限。（68）是用于刻划塑性变形历史的内变量参量。在应力空间是用于刻划塑性变形历史的内变量参量。在应力空间中，这是一个以中，这是一个以 为参数的曲面，称之为为参数的曲面，称之为加载曲面加载曲面。需要说明的几点：需要说明的几点：1.随随 的的变变化化，加加载载曲曲面面的的大大小小、形形状状和和位位置置都都要要发发生变化。生变化。2.应力状态不能位于加载曲面之外（不考虑应变率效应时）应力状态不能位于加载曲面之外（不考虑应变率效应时）3.应应力力位位于于加加载载曲曲面面之之内内时时，应应力力的的改改变变不不引引起起 的的变变化化，材料也不产生新的塑性变形。材料也不产生新的塑性变形。4.应应力力位位于于加加载载曲曲面面之之上上时时，继继续续加加载载将将使使得得 改改变变，材材料产生新的塑性变形，加载曲面也将变化。料产生新的塑性变形，加载曲面也将变化。5.加载曲面的变化可用下式来描述：加载曲面的变化可用下式来描述：（69）于是知加载过程中，加载曲面应满足以下条件：于是知加载过程中，加载曲面应满足以下条件：上式通常称为一致性条件。上式通常称为一致性条件。（70）在在不不同同的的加加载载路路径径下下，加加载载曲曲面面的的演演化化是是不不同同的的。要要描描述述加加载载曲曲面面的的演演化化规规律律，需需要要建建立立合合理理的的模模型型，常常用用的的模模型型主主要要有有两两种种。一一种种是是等等向向强强化化模模型型，一一种种是是随随动动强强化模型。化模型。1.1.等向强化模型等向强化模型（71）等等向向强强化化模模型型的的特特点点是是：加加载载曲曲面面是是屈屈服服曲曲面面在在应应力力空空间中的相似扩大，忽略了塑性变形引起的材料各向异性性质。间中的相似扩大，忽略了塑性变形引起的材料各向异性性质。是一个标量内变量。是一个标量内变量。按等效塑性应变定义的塑性变按等效塑性应变定义的塑性变形参量形参量 按塑性功定义的塑性变形参量按塑性功定义的塑性变形参量函数函数 一般可由简单拉伸实验确定。一般可由简单拉伸实验确定。特别地，对于特别地，对于MisesMises屈服条件，相应的等向强化模型为屈服条件，相应的等向强化模型为（72）例例如如在在单单轴轴拉拉伸伸试试验验中中取取 ，或或 。又又取取 或或 。这这样样可可以以方方便便地地由由实实验验确确定定函函数数对于对于Tresca屈服条件（略）屈服条件（略）（73）2.随动强化模型随动强化模型（74）随随动动强强化化模模型型的的特特点点：加加载载曲曲面面就就是是屈屈服服曲曲面面随随着着塑塑性性变变形形的的过过程程在在应应力力空空间间中中作作刚刚性性移移动动，加加载载曲曲面面的的大大小小和和形形状都不改变。状都不改变。上上式式中中内内变变量量 是是表表征征加加载载曲曲面面中中心心移移动动的的对对称称二二阶阶张张量量,称称为为移移动动张张量量或或背背应应力力(the(the shift shift 或或 the the back back stress)stress)。背应力背应力 的演化规律的演化规律（1 1）线性随动强化模型）线性随动强化模型（75）特别地，对于特别地，对于MisesMises屈服条屈服条件，相应的随动强化模型为件，相应的随动强化模型为（76）在简单拉伸情形下，（在简单拉伸情形下，（7676）式简化为）式简化为如果实验给出曲线如果实验给出曲线 两式比较，有两式比较，有（2）Ziegler模型模型（77）后后来来Chaboche在在该该模模型型基基础础上上发发展展了了ChabocheChaboche模模型型，现已被广泛应用于循环塑性研究。现已被广泛应用于循环塑性研究。可可以以给给出出随随动动强强化化和和等等向向强强化的混合模式：化的混合模式：钢薄圆管轴向拉压/扭转测试预拉、预扭和预拉扭屈服面习题3.1的求解大致步骤关于克罗内克尔符号的有关计算三项中最多能保留一项，k=i或k=j那一项。三项最多能保留k=j那一项。三项只能保留k=j那一项。