《固体物理基础教学课件》第一章

第 1章 晶 体 结 构1-1 晶 体 的 特 性1-2 晶 格 及 其 实 例1-3 晶 格 的 周 期 性1-4 晶 向 和 晶 面1-5 晶 体 对 称 性 与 布 拉 菲 格 子1-6 倒 格 子u 晶 体 ： 原 子 排 列 长 程 有 序 （ 水 晶 ， 岩 盐 ， 金 刚 石 ）晶 体 （ 规 则 点 阵 ） 1-1 晶 体 的 特 性u 物 理 ：* 固 定 熔 点 （ 在 熔 化 过 程 中 ， 晶 态 固 体 的 长 程 有 序 解 体 时 对 应 一 定 的 熔 点 ）* 原 子 排 列 长 程 有 序 （ 微 米 量 级 的 范 围 是 有 序 排 列 的 ） * 解 理 性 （ Si的 解 理 面 为 （ 111） ）u 几 何 外 形 ：* 凸 多 面 体 ， 晶 棱 平 行 ， 晶 面 夹 角 守 恒 p晶 体 的 晶 面 组 合 成 晶 带p晶 面 的 交 线 是 晶 棱 相 互 平 行p方 向 OO 称 为 该 晶 带 的 带 轴p重 要 的 带 轴 通 常 称 为 晶 轴示 例 ： 不 同 生 长 条 件 下 NaCl晶 体 的 外 形1-1 晶 体 的 特 性 1-1 晶 体 的 特 性u 金 刚 石 ： 复 式 面 心 立 方 结 构 ， 最 坚 硬 固 体 ， 绝 缘 体u 石 墨 ： 层 状 结 构 ， 质 软 ， 润 滑 性 好 ， 导 体u 石 墨 烯 ： 单 层 碳 原 子 ， 优 异 电 输 运 性 能晶 体 结 构 决 定 物 理 性 能 ！ ！金 刚 石 石 墨 石 墨 烯 1-2 晶 格u 怎 样 描 述 不 同 的 晶 体 结 构 ？ ？ 每 一 个 原 子 的 坐 标 都 写 出 来 ？ ？ 原子 数 目 10 23cm-3量 级 ， 不 可 行 ！ 寻 找 规 律 ！u 规 律 ： 金 ， 银 ， 铜 虽 然 化 学 成 分 不 同 ， 如 果 不 查 究 其 化 学 成 分 ，即 不 管 原 子 是 金 或 银 还 是 铜 ， 不 管 原 子 之 间 间 距 的 大 小 ， 那 他 们是 完 全 相 同 的 ， 就 是 他 们 的 结 构 完 全 相 同 ！u 数 学 方 法 抽 象 描 写 ： 不 区 分 物 理 ， 化 学 成 分 ， 每 个 原 子 都 是 不 区分 的 ， 只 有 原 子 （ 数 学 上 仅 仅 是 一 个 几 何 点 ） 的 相 对 几 何 排 列 有意 义 。金 刚 石 （ 立 方 ） 石 墨 （ 六 方 ） 石 墨 烯 （ 六 方 ） 理 想 晶 体 ： 实 际 晶 体 的 数 学 抽 象以 完 全 相 同 的 基 本 结 构 单 元 （ 基 元 ） 规 则 地 ， 重 复 的 以 完全 相 同 的 方 式 无 限 地 排 列 而 成 格 点 （ 结 点 ） ： 基 元 位 置 ， 代 表 基 元 的 几 何 点 晶 格 （ 点 阵 ） ： 格 点 （ 结 点 ） 的 总 和 原 子 种 类 和 间 距 不 同 ， 但 有 相 同 的 排 列 规 则 ， 则 这 些 原 子构 成 的 晶 体 具 有 相 同 的 晶 格 简 立 方 (cubic)， 面 心 立 方 (bcc), 体 心 立 方 (fcc),六 方(hcp) 1-2 晶 格 点 阵 基 元 晶 体晶 体 结 构 = 点 阵 （ 数 学 几 何 点 ） + 基 元 （ 物 理 ） p 晶 格 的 共 同 特 点 是 周 期 性 ， 用 原 胞 和 基 矢 描 述 。p 原 胞 (Primitive cell)： 晶 格 的 最 小 周 期 性 单 元 。 又 称 初 基 晶 胞 。p 基 矢 ： 原 胞 的 边 矢 量p 晶 胞 (Unit cell)： 晶 体 学 中 ， 为 了 反 映 晶 格 的 对 称 性 ， 选 取 较 大 的 周 期 性 单 元 ， 又 称 单 胞 。 单 胞 不 一 定 是 原 胞原 胞 选 取 不 唯 一 ，但 有 习 惯 的 选 取 方 式 。三 维 晶 格 原 胞 通 常 是平 行 六 面 体 。原 胞 和 晶 胞 1-3 晶 格 的 周 期 性 321 , aaa 简 立 方 晶 格 ： 原 胞 和 单 胞 相 同如 何 判 断 所 选 取 的 原 胞 是 正 确 的 ， 即 最 小 周 期 单 元 ？计 算 原 胞 体 积 所 对 应 的 原 子 数 。 原 胞 中 只 包 含 一 个 原 子1-3 晶 格 的 周 期 性 -简 单 立 方 晶 格基 矢原 胞 体 积 kaajaaiaa 321 , 3 321 )( aaaaV 123 ( )2 ( )2 ( )2aa j kaa k iaa i j 3321 41)( aaaaV , ,a ai b aj c ak 3)( acbaV 原 胞 基 矢原 胞 的 体 积单 胞 基 矢单 胞 的 体 积 单 胞 内 原 子 数 ： 4原 胞 内 原 子 数 ： 11-3 晶 格 的 周 期 性 -面 心 立 方 晶 格 单 胞 内 原 子 坐 标 ： （ 0,0,0） (1/2,0,1/2)（ 1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2) 单 胞 内 原 子 数 ： 2原 胞 内 原 子 数 ： 1 )(2 )(2 )(2321 kjiaa kjiaa kjiaa 原 胞 基 矢原 胞 体 积 3321 21)( aaaaV 1-3 晶 格 的 周 期 性 -体 心 立 方 晶 格, ,a ai b aj c ak 3)( acbaV 单 胞 基 矢单 胞 的 体 积单 胞 内 原 子 坐 标 ： （ 0,0,0） (1/2,1/2,1/2) p 以 某 个 格 点 为 中 心 ， 作 其 与 邻 近 格 点 的 中 垂 面 ， 这 些中 垂 面 所 包 含 最 小 体 积 的 区 域 为 维 格 纳 -赛 兹 原 胞p 对 称 性 原 胞 ， 不 依 赖 于 基 矢 的 选 择 ， 与 相 应 的 布 拉 菲格 子 有 完 全 相 同 的 对 称 性特 点 ：1.仅 包 含 一 个 格 点 ， 体 积 与惯 用 原 胞 相 等2.保 留 了 晶 格 所 有 的 对 称 性3.平 常 很 少 用 ， 在 能 带 理 论中 对 应 布 里 渊 区1-3x Wigner-Seitz原 胞 六 角 密 排 晶 格 的 原 胞 和 单 胞 一 样* 一 个 原 胞 中 包 含 A层 和 B层 原 子 各 一 个* 共 两 个 原 子1-3 晶 格 的 周 期 性 -密 排 六 方 晶 格)3(21 jiaa 基 矢 ： kca 3 )3(22 jiaa 简 单 晶 格 ： 原 胞 中 仅 包 含 1个 原 子 ， 所 有 原 子 的 几何 位 置 和 化 学 性 质 完 全 等 价复 式 晶 格 ： 包 含 两 种 或 以 上 的 等 价 原 子 * 两 种 不 同 原 子 或 离 子 构 成 ： NaCl, CsCl * 同 种 原 子 但 几 何 位 置 不 等 价 ： 金 刚 石 结 构 、 六 方 密 排 结 构复 式 晶 格 的 原 胞 就 是 相 应 的 简 单 晶 格 的 原 胞 ，在 原 胞 中 包 含 每 种 等 价 原 子 各 一 个1-3晶 格 的 周 期 性 -简 单 晶 格 与 复 式 晶 格 简 立 方 晶 格 在 实 际 晶 体 中 并 不 罕 见 （ CsCl, NH4Cl,CuZn等 ） 但 一 般 常 见 的 元 素 不 结 晶 为 简 立 方 结 构 。1-3 实 例 -简 单 立 方 晶 格 *为 了 保 证 同 一 层 中 原 子 球 间 的 距 离 等 于 A-A层 之 间 的 距 离 ， 正 方 排 列 的 原 子 球 并 不 是 紧 密 靠 在 一 起 ；*由 几 何 关 系 证 明 ， 间 隙 =0.31r0， r0为 原 子 球 的 半 径 。*具 有 体 心 立 方 晶 格 结 构 的 金 属 ： Li、 Na 、 Cr、 W、 Fe等 .1-3 实 例 -体 心 立 方 晶 格 ABCABC 密 堆 积 方 式 排 布面 心 立 方 晶 格 的 堆 积 比 =? 配 位 数 =？具 有 面 心 立 方 晶 格结 构 的 金 属 ： Au, Ag, Cu等1-2 实 例 -面 心 立 方 晶 格堆 积 比 率 ： 被 原 子 （ 球 ） 所 占 据 的可 用 体 积 的 最 大 比 率 。配 位 数 ： 最 近 邻 原 子 数 。 指 原 子 间距 最 小 并 相 等 的 原 子 个 数 ABAB密 排 堆 垛六 方 晶 格 的 堆 积 比 =?配 位 数 =？1-3 实 例 -密 排 六 方 晶 格具 有 密 排 六 方 晶格 结 构 的 金 属 ：Zn， Mg等 l 两 套 面 心 立 方 套 构 而 成l 第 二 套 4个 原 子 位 于 体 对 角 线 1/4处l 第 二 套 C原 子 与 4个 第 一 套 C原 子 形 成 正 四 面 体l Si, Ge为 金 刚 石 结 构1-3 实 例 -金 刚 石 晶 格 单 胞 中 的原 子 坐 标 ？ Na和 Cl分 别 构 成 面 心 立 方 格 子 ， 彼 此 在 空 间 有 一 个 位 移1-3 实 例 -NaCl晶 格 nCs和 Cl分 别 构 成 简 立 方 格 子 ， 彼 此 在 空 间 有 一 个 位 移n注 意 ： CsCl不 是 体 心 立 方 ， 而 是 简 立 方 结 构 ！1-3 实 例 -CsCl晶 格 u类 似 金 刚 石 结 构 ， Zn和 S分 别 组 成 面 心 立 方 格 子u化 合 物 半 导 体 如 GaAs, InP等 为 闪 锌 矿 结 构1-3 实 例 -闪 锌 矿 ZnS结 构 u类 似 密 排 六 方 结 构 ， Zn和 S分 别 组 成 六 方 格 子u化 合 物 半 导 体 如 ZnTe, AgI等 为 纤 锌 矿 结 构1-3 实 例 -纤 锌 矿 ZnS结 构 钙 钛 矿 型 的 化 学 式 可 写 为 ABO3 * A代 表 二 价 或 一 价 的 金 属 * B代 表 四 价 或 五 价 的 金 属 * BO3称 为 氧 八 面 体 基 团 , 是 钙 钛 矿 型 晶 体 结 构 的 特 点 * 重 要 介 电 晶 体 ： 钛 酸 钡 （ BaTiO3） 、 锆 酸 铅 （ PbZrO3） 、 铌 酸 锂 （ LiNbO3） 、 钽 酸 锂 （ LiTaO3） 28/281-3 实 例 -钙 钛 矿 结 构 p 晶 体 = 布 拉 菲 格 子 (lattice) + 基 元 （ basis）p 简 单 晶 格 ， 任 意 格 点 均 可 表 示 为p 布 拉 菲 格 子 是 数 学 抽 象 ， 是 点 在 空 间 的 周 期 性 排 列 ， 又 称 点 阵 。1-4 布 拉 菲 格 子 (Bravais lattice) 21 32 aaRl 3213 aaaRl 332211 alalalRl 复 式 晶 格 ： 任 一 原 子 A的 位 矢 3,2,1,332211 alalalrR al r 为 原 胞 中 各 种 等 价 原 子 之 间 的 相 对 位 移金 刚 石 晶 格 中 332211 alalal 332211 alalal 对 角 线 位 移 4/1* 碳 1位 置* 碳 2位 置 1-4 布 拉 菲 格 子 (Bravais lattice) p 任 意 格 点 均 可 表 示 为p 布 拉 菲 格 子 是 数 学 抽 象 ， 是 点 在 空 间 的 周 期 性 排 列 ， 又 称 点 阵 。1-4 布 拉 菲 格 子 (Bravais lattice) 3,2,1,332211 alalalrR al 晶 体 结 构 = 点 阵 （ 数 学 几 何 点 ） + 基 元 （ 物 理 ） 简 单 晶 格 基 元 是 一 个 原 子复 式 晶 格 基 元 是 一 个 以 上 原 子 19/19 1-4 布 拉 菲 格 子 (Bravais lattice) 晶 体 结 构 = 点 阵 （ 数 学 几 何 点 ） + 基 元 （ 物 理 ） 晶 体 基 本 特 点 ： 各 向 异 性晶 列通 过 任 意 两 个 格 点 连 一 直 线 ， 则 这 一 直 线 包 含 无 限 个 相 同 格 点 ，这 样 的 直 线 称 为 晶 列 ， 也 是 晶 体 外 表 上 所 见 的 晶 棱 。 其 上 的 格 点分 布 具 有 一 定 的 周 期 -任 意 两 相 邻 格 点 的 间 距 。 晶 列 的 特 点 （ 1） 一 族 平 行 晶 列 把 所 有 格 点 包 括 无 遗 （ 2） 在 一 平 面 中 ， 同 族 的 相 邻 晶 列 之 间 距 离 相 等 （ 3） 通 过 一 格 点 可 以 有 无 限 多 个 晶 列 ， 每 一 晶 列 都 有 一 族 平 行 的 晶 列 与 之 对 应 （ 4） 有 无 限 多 族 平 行 晶 列 1-5 晶 向 和 晶 面 l 如 何 区 分 不 同 的 晶 列 簇 ？ 晶 向 ！ 两 个 格 点 的 连 线 即 一 晶 列 ， 因 此 从 任 一 格 点 沿 晶 列 方 向 到 最 近 邻 格 点 的 平 移 矢 量 即 晶 向l 取 某 一 原 子 为 原 点 O， 原 胞 的 三 个 基 矢l 沿 晶 向 到 最 近 的 一 个 格 点 的 位 矢 321 , aaa 332211 alalal # 晶 向 指 数 表 示 为 321 llluvw 1-5 晶 向 和 晶 面# 指 数 是 整 数 ， 互 质# 晶 胞 和 原 胞 类 似 1 2 33AR a a a 1 22 3AR a a 晶 向 指 数 311 晶 向 指 数 2301-5 晶 向 和 晶 面 简 单 立 方 晶 格 的 主 要 晶 向# 立 方 边 OA的 晶 向 100 立 方 边 共 有 6个 不 同 的 晶 向 # 面 对 角 线 OB的 晶 向# 体 对 角 线 OC晶 向 1101-5 晶 向 和 晶 面111 面 对 角 线 共 有 12个 不 同 的 晶 向 体 对 角 线 共 有 ？ 个 不 同 的 晶 向 1-5 晶 向 和 晶 面n 与 晶 列 类 似 ， 晶 格 中 的 所 有 格 点 也 可 看 成 都 在 一 族 族 相 互 平 行 的 、 间 距 相 等 的 平 面 上n 晶 体 的 晶 面 在 布 拉 菲 格 子 中 作 一 簇 平 行 的 平 面 ， 这 些 相 互 平 行 、 等 间 距 的 平 面 可 以 将 所 有 的 格 点 包 括 无 遗 。 这 些 相 互 平 行 的 平 面 称 为 晶 体 的 晶 面 u 如 何 区 分 不 同 的 晶 面 ？ 晶 面 的 方 向 ： 密 勒 指 数u 以 晶 胞 基 矢 定 义 的 互 质 整 数 ， 用 以 表 示 晶 面 的 方 向 ， 又 称 为 晶 面 指 数1-5 晶 向 和 晶 面 -密 勒 指 数1. 确 定 某 平 面 在 直 角 坐 标 系 3个 轴 上 的 截 点 ， 并 以 晶 格 常 数为 单 位 测 得 相 应 的 截 距 。2. 取 截 距 的 倒 数 ， 然 后 约 简 为 3 个 没 有 公 约 数 的 整 数 ， 即将 其 化 简 成 最 简 单 的 整 数 比 。3. 将 此 结 果 以 “（ hkl） ”表 示 ， 即 为 此 平 面 的 密 勒 指 数 。 1/3:1/4:1/2=(436) ？ ？2,4,3 wvu n 如 果 某 族 晶 面 与 某 一 基 矢 没 有 相 交 截 距 是 无 穷 大 ， 例 如 密 勒 指 数 为 ：n 如 果 晶 面 与 某 一 晶 轴 的 负 方 向 相 交 ， 则 相 应 指 数 上 加 负 号 ， 如n 晶 面 间 距 ： 相 邻 两 层 平 行 晶 面 之 间 的 距 离n 面 密 度 ： 晶 面 上 质 点 的 密 度n 密 勒 指 数 小 的 晶 面 ， 格 点 密 度 大 ？ 什 么 样 的 面 容 易 解 理 ？n 晶 体 中 重 要 的 面 指 数 都 是 简 单 的 ， 如1-5 晶 向 和 晶 面 -密 勒 指 数 wvu ,1,3 )130()0:3:1()0:1:31()( hkl)101( )110( 1-5 立 方 晶 格 的 主 要 晶 面 #(110)表 示 一 组 平 行 晶 面#110表 示 一 组 空 间 等 同 晶 面 ， 包 括 12个 晶 面 如#100面 包 括 6个 等 同 晶 面#111包 括 ？ 个 等 同 晶 面 )101(),110(),101(),110( 六 方 结 构 中 ， 为 了 能 充 分 体 现 六 方 晶 系 的 六 重 对 称 性 ，常 常 用 4个 坐 标 指 数 表 示 晶 面 ， 被 称 为 密 勒 布 拉 菲 指 数 （ hkil） 其 中 h+k=-i, 此 时 选 取 4个 晶 轴 a1,a2,a3,c。1-5 晶 向 和 晶 面 -密 勒 指 数 1-7 晶 体 对 称 性p 为 何 要 引 入 晶 胞 ？ 前 面 讲 的 原 胞 只 涉 及 平 移 对 称 性p 晶 体 宏 观 对 称 性 ： 对 晶 体 做 某 种 几 何 操 作 后 ， 晶 体 可 以 完 全 复 原 的 特 性 。 其 中 的 几 何 操 作 为 对 称 操 作p 在 晶 体 对 称 操 作 过 程 中 ， 若 至 少 有 一 点 保 持 不 变 ， 这 种 对 称 操 作 称 为 点 对 称 操 作 ， 晶 体 的 这 种 对 称 性 为 宏 观 对 称 性p 宏 观 对 称 反 映 在 宏 观 物 理 性 质 上 ， 如 外 形 四 种 基 本 的 操 作 转 动 、 反 演 、 反 映 、 象 转 轴 。1. 转 动 对 称 操 作设 晶 体 外 形 为 一 立 方 体 ， 沿 图 中 所 示转 轴 转 动 900， 外 形 与 原 来 重 合 。 这 样的 转 动 称 为 转 动 对 称 操 作 。 该 轴 称 为转 动 轴 。 1-7 晶 体 的 点 对 称 操 作 转 动 轴 由 于 受 晶 格 周 期 性 的 限 制 ， 转 动 对 称 操 作 所 转 动 的角 度 并 不 是 任 意 的 。 而 是 遵 循 一 定 的 规 律 。 B1 A B A1B AAB是 晶 列 上 最 近 邻 两 格 点 的 距 离 。 是 整 数 。n n ABABBAABABnAB 2 1cos )cos21(coscos 1-7 转 动 )(64321643212 22 32 42 62 12 32 2 3 0 : 1- 0.5- 0 0.5 1 :cos 1;- 0 1 2 3 : 10123 1cos12 1cos 转 轴 。度次，。 分 别 称 为， 即 。，只 能 取 值 ：， 且 nnn nn 1-7 转 动 2.中 心 反 演 如 图 所 示 ， 有 对 称 心 i， 晶 体 中 任 一 点 A过 中 心 i 连 线 Ai并 延 长 到 A ， 使 Ai= A i, A与 A 是 等 同 点 ， i点 称 为 对 称 心 。表 示 方 式(1)熊 夫 利 符 号 表 示 Ci;(2)国 际 符 号 表 示 i。例 ： 立 方 体 的 中 心 就 是 对 称 中 心 。 AA i zyx , zyx ,1-7 中 心 反 演 3. 反 映 （ 镜 象 、 对 称 面 ） 如 图 所 示 ， A和 A表 示 方 式(1)熊 夫 利 符 号 表 示 ; (2)国 际 符 号 表 示 m。 AAOx yz zyx , zyx , O-xy 相 当 于 镜 面 。AA 1-7 反 映 1.旋 转 -反 演 轴 (象 转 轴 )(1)定 义 先 绕 u轴 转 动 2 /n， 再 经 过 中 心 反 演 ， 晶 体自 动 重 合 ， 则 称 u轴 为 n度 旋 转 反 演 轴 ， 又 称 为 n度 象 转轴 。 只 有 1， 2， 3， 4， 6。(2)符 号 表 示 64321 ，n度 象 转 轴 简 析 n度 象 转 轴 实 际 上 并 不 都 是 独 立 的 ， 只有 是 独 立 的 。 4 1-7 象 转 轴 (1) 象 转 轴 实 际 上 就是 对 称 心 i。 1 )(对 称 心Ox )( 轴uz y zyx ,A zyx ,AA点 绕 旋 转 轴 (z轴 )旋 转3600， 在 经 过 中 心 反 演 到A 点 ， 晶 体 完 全 重 合 。实 际 上 即 为 中 心 反 演 。1-7 象 转 轴 (2) 象 转 轴实 际 上 就 是 对 镜 象 m。 2 A zyx ,)(对 称 心Ox )( 轴uz yA zyx , zyx , A和 O-xy对 称 面 的操 作 相 当 。 1-7 象 转 轴 (3) 象 转 轴 实 际 上 就 是 3度 转 轴 对 称 心 (i) 1 2 34 5 123 4 6563 晶 体 的 点 为1,2,3,4,5,6.它 们 符 合 3度 转轴 加 对 称 中 心 1 2 4 65 1 32 34 5 6(4) 象 转 轴 实 际 上 就 是 3度 转 轴 对 称 面 (m) 6 晶 体 的 点 为1,2,3,4,5,6.它 们 符 合 3度 转轴 加 对 称 面 (5) 象 转 轴4 1 132 42 34 甲 烷 分 子晶 体 的 点 为1,2,3,4.它 们 不符 合 4度 转 轴 加 对称 中 心 ， 是 独 立的 对 称 操 作 结 论 ： 晶 体 的 宏 观 对 称 性 中 有 以 下 八 种 基 本 的 对 称操 作 ： 1， 2， 3， 4， 6， i, m, 。 这 些 基 本的 操 作 组 合 起 来 ， 就 可 以 得 到 32种 宏 观 操 作 类 型（ 32点 群 ） 。 平 移 对 称 性 （ 周 期 性 ） + 转 动 对 称 性 （ 点 群 ）= 空 间 群 (230种 ） 。 41-7 晶 体 对 称 性 布 拉 菲 格 子 的 对 称 群 所 包 含 的 对 称 操 作1. 点 对 称 操 作 （ 宏 观 对 称 性 ） ： 转 动 、 反 演 、 平 面 反 映 等2. 点 阵 平 移 操 作3. 上 述 两 种 形 式 的 连 续 操 作 点 群 ： 点 对 称 操 作 集 合 空 间 群 ： 点 对 称 +平 移 对 称 操 作 集 合 布 拉 菲 格 子（ 基 元 具 有 球 对 称 ） 晶 体 结 构（ 基 元 具 有 任 意 对 称 性 ）点 群 数 7 （ 7个 晶 系 ） 32 （ 32点 群 ）空 间 群 数 14 （ 14种 布 拉 菲 格 子 ） 230 （ 230空 间 群 ）布 拉 菲 格 子 和 晶 体 结 构 的 点 群 和 空 间 群 群 代 表 一 组 “ 元 素 ” 的 集 合 ， G E, A ,B, C, D 这 些 “ 元 素 ” 被 赋 予 一 定 的 “ 乘 法 法 则 ” ， 满足 下 列 性 质1) 集 合 G中 任 意 两 个 元 素 的 “ 乘 积 ” 仍 为 集 合 内 的 元 素 若 A, B G, 则 AB=C G. 叫 作 群 的 封 闭 性2) 存 在 单 位 元 素 E, 使 得 所 有 元 素 满 足 ： AE = A3) 对 于 任 意 元 素 A, 存 在 逆 元 素 A -1, 有 ： AA-1=E4) 元 素 间 的 “ 乘 法 运 算 ” 满 足 结 合 律 ： A(BC)=(AB)C 1-7 群 的 概 念 单 位 元 素 不 动 操 作任 意 元 素 的 逆 元 素 绕 转 轴 角 度 ， 其 逆 操 作 为 绕转 轴 角 度 ； 中 心 反 演 的 逆 操 作 仍 是 中 心 反 演 ；连 续 进 行 A和 B操 作 相 当 于 C操 作A 操 作 绕 OA轴 转 动 /2 S点 转 到 T 点B 操 作 绕 OC轴 转 动 /2 T 点 转 到 S 点 S1-7 群 的 概 念 上 述 操 作 中 S和 O没 动 ， 而 T点 转 动 到 T 点 相 当 于 一 个 操 作 C： 绕 OS轴 转 动 2/3CABBCA )()( BAC表 示 为 群 的 封 闭 性可 以 证 明 满 足 结 合 律 1-7 群 的 概 念 S 1-7 晶 体 对 称 性 三 斜单 斜 1-7 晶 体 对 称 性 正 交 1-7 晶 体 对 称 性 三 角 （ 三 方 ）四 方 1-7 晶 体 对 称 性 立 方 六 角 1-7 晶 体 对 称 性 为 什 么 要 研 究 倒 空 间 （ reciprocal space)?p 一 个 物 理 问 题 ， 既 可 以 在 正 (实 ， 坐 标 )空 间 描 写 ， 也 可 以 在 倒(动 量 )空 间 描 写 : 坐 标 表 象 r， 动 量 表 象 kp 为 什 么 选 择 不 同 的 表 象 ？* 适 当 地 选 取 一 个 表 象 ， 可 使 问 题 简 化 容 易 处 理* 比 如 电 子 在 均 匀 空 间 运 动 ， 虽 然 坐 标 一 直 变 化 ， 但 k守 衡 ， 这 时 在 坐 标 表 象 当 然 不 如 在 动 量 表 象 简 单p 正 （ 坐 标 ） 空 间 的 格 矢 （ R） 描 写 周 期 性 ， 同 样 在 倒 （ 动 量 ） 空 间 ， 倒 格 矢 K也 是 描 写 周 期 性 。 这 两 个 空 间 是 等 价 的 ， 只 是 存 在 一 个 变 换 （ 傅 里 叶 变 换 ） 01/08 1-8 倒 格 子 晶 格 的 傅 里 叶 变 换 （ Fourier transformation）势 能 和 电 荷 密 度 等 函 数 满 足 叠 加 原 理 的 物 理 量如 果 晶 体 具 有 平 移 周 期 性对 周 期 函 数 作 傅 里 叶 展 开 01/08 1-8 倒 格 子 l lRrfrF )()( nml RRR h riKK hheFrF )(从 以 上 公 式 中 可 推 导 得 到 )()( lRrFrF 0)1( lhh RiKK eF0 hKF 1 lh RiKe nRK lh 2因 为 故 得 到 n为 整 数只 要 晶 体 有 平 移 周 期 性 ， 那 么 在 傅 里 叶 空间 中 就 一 定 存 在 Kh矢 量 满 足 这 个 关 系 ！ 晶 点 的 傅 里 叶 变 换 （ Fourier transformation）数 学 上 用 函 数 来 描 写 格 点因 为n 当 矢 量 K h与 Rl乘 积 是 2 的 整 数 倍 时 ， 在 坐 标 空 间 Rl处 的 函 数 的 傅 里 叶 变 换 为 在 动 量 空 间 以 Kh为 中 心 的 函 数 ！n 坐 标 空 间 里 ， (r-Rl)函 数 表 示 在 Rl的 格 点 ， 当 满 足 上 述 条 件 时 ， 其 傅 里 叶 变 换 也 是 (k-Kh)函 数 ， 表 示 的 是 倒 空 间 里 的 一 个 点 ！ 01/08 1-8 倒 格 子 lR lRrr )()( 通 过 傅 里 叶 变 换 可 得 到nRK lh 2 hK hk Kk )( 定 义 ： 对 于 布 拉 菲 格 子 中 所 有 的 格 矢 Rl， 有 一 系 列 动 量 空 间矢 量 Kh ， 满 足的 全 部 端 点 的 集 合 ， 构 成 该 布 拉 菲 格 子 的 倒 格 子 ， 这 些点 称 为 倒 格 点 ， Kh为 倒 格 矢布 拉 菲 格 子 也 称 为 正 格 子 ， 它 们 满 足 傅 里 叶 变 换 关 系 ，因 此 ， 倒 空 间 也 称 为 傅 里 叶 空 间 01/08 1-8 倒 格 子 nRK lh 2 332211 aaa lllRl nKlKlKlRK hhhlh 2aaa 332211 ijji 2ab 332211 bbb hhhKh bj就 是 倒 格 子 基 矢 ， Kh具 有 平 移 对 称 性对 于 正 格 子有如 果 选 择 一 组 b， 使倒 格 子 矢 量 Kh 表 示 什 么 含 义 ？ 是 正 交 关 系 ！ 即 b1与 a2和 a3正 交 ！看 a2和 a3确 定 的 平 面 ， 即 a2 a3矢 量 垂 直 于 该 平 面 01/08 1-8 倒 格 子 ijji 2ab 则 有 b1与 平 行可 设利 用 正 交 关 系 有 ：32 aa a 3a2 32 aa )a(a 321 b 2)a(aaba 32111 然 后 可 得 ： 2)a(aa 2 321 )a(a2b 321 )a(aa 321 以 它 们 为 基 矢 构 成 一 个 倒 格 子 ， 倒 格 子 每 个 格 点 的 位 置332211 bbb hhhKh 倒 格 子 基 矢倒 格 子 原 胞 体 积 是 正 格 子 原 胞 体 积 的 倒 数 ：1-8 倒 格 子 )a(a2b 321 )a(a2b 132 )a(a2b 213 3 321* )2()b(bb 二 维 倒 格 子 1-8 倒 格 子 iab 2 1 jab 22 ai1a bj2aab a2b2二 维 倒 格 子二 维 正 格 子 二 维 倒 格 子 1-8 倒 格 子 iab 2 1 jab 22 ai1a bj2aab a2b2二 维 倒 格 子二 维 正 格 子 正 格 子 中 一 簇 晶 面 和 正 交 )( 321 hhh332211 bhbhbhKh 可 以 证 明 得 到 与 晶 面 ABC正 交1-8 倒 格 子 矢 量 与 晶 面 对 应 关 系 hKhK hK 注 意 不 是 密 勒 指 数 (hkl)， 而 是 面 指 数(h1h2h3)。 意 即 该 晶 面 族 最 靠 近 原 点 晶面 的 截 距 分 别 为 a1/h1, a2/h2, a3/h33311 / hahaOCOACA 3322 / hahaOCOBCB 0CAKh 0CBKh 倒 格 子 与 晶 格 的 几 何 关 系原 点 O引 晶 面 族 ABC的 法 线 ON截 取 一 段 OP=使 d=2 （ d是 晶 面 间 距 ）每 一 个 晶 面 族 都 有 一 个 点 P以 OP为 该 方 向 的 周 期 进 行 平 移得 到 一 个 新 的 点 阵 ， 即 为 倒 格 子-晶 格 的 一 族 晶 面 化 为 倒 格 子 中 的 一 个 点 ， 在 处 理 晶 格 问 题 上 很 有 意 义 设 晶 面 面 间 距 为 d )( 321 hhhhhKKhad 11得 到1-8 倒 格 矢 长 度 与 面 间 距 对 应 关 系 hK则 OA在 其 面 法 线 方 向 Kh的 投影 即 为 d 3322111 3322111 )( bhbhbhh bhbhbha hK2 hh dK 2注 意 ： 面 间 距 是 与 晶 面 指 数 相 关 ， 而 不 是 密勒 指 数 ！ 倒 格 矢 代 表 晶 面 的 法 线 方 向 ！ 晶 体 结 构正 格 子 倒 格 子332211 anananRn 1. 332211 bhbhbhKh 1.2.与 晶 体 中 的 原 子 位 置 相 对 应 2.与 晶 体 中 的 晶 面 族 相 对 应3.是 与 真 实 空 间 相 联 系 的 傅 里 叶空 间 （ K空 间 ） 中 点 的 周 期 性 排 列3.是 真 实 空 间 中 点 的 周 期 性 排 列5. 量 纲 为 长 度 5. 量 纲 为 长 度 -1 1-8 正 倒 格 子 对 应 关 系 4. W-S原 胞 4. 布 里 渊 区 简 立 方 晶 格 的 倒 格 子 仍 然 是 简 立 方 格 子 。1-8 简 单 立 方 晶 格iab 21 jab 2 2 ai1a bj2a bk3a kab 23 ijk正 格 子 倒 格 子 体 心 立 方 晶 格 的 倒 格 子 是 面 心 立 方 格 子1-8 体 心 立 方 晶 格)(2 1 kjab )(22 kiab )(2a1 kjia )(23 jiab ijk)(2a2 kjia )(2a3 kjia 正 格 子 倒 格 子 面 心 立 方 晶 格 的 倒 格 子 是 体 心 立 方 格 子1-8 面 心 立 方 晶 格)(2 1 kjiab )(22 kjiab )(2a1 kja )(23 kjiab ijk)(2a2 kia )(2a3 jia 正 格 子 倒 格 子 布 里 渊 区 ： 倒 空 间 的 W-S原 胞1-9 布 里 渊 区在 倒 空 间 中 以 某 个 格 点 为 中 心 ， 作 其 与 邻 近 格 点 的 中 垂 面 ，这 些 中 垂 面 所 包 含 最 小 体 积 的 区 域 为 布 里 渊 区 简 单 立 方 晶 格 k空 间 的 二 维 示 意 图 第 一 布 里 渊 区 又 称 简 约 布 里 渊 区 。其 界 面 方 程 为 ： k G2G 2Gk 0)2( GkG 简 约 布 里 渊 区 的 意 义 ：1. 由 于 晶 格 的 平 移 对 称 性 ， 和 （ 相 差 一 个 倒格 矢 ） 所 对 应 的 两 个 状 态 在 物 理 上 是 等 价 的2. 简 约 布 里 渊 区 内 的 全 部 波 矢 代 表 了 晶 体 中 所 有 的 电 子 态 ， 区 外 的 波 矢 都 可 通 过 平 移 倒 格 矢 在 该 区 内 找 到 等 价 状 态 点3. 这 样 定 义 的 布 里 渊 区 ， 它 的 边 界 面 满 足 Bragg反 射 条 件 4. 讨 论 固 体 性 质 时 ， 可 以 只 考 虑 第 一 布 里 渊 区k Gk k 为 什 么 引 入 布 里 渊 区 ？ 1-9 布 里 渊 区 简 立 方 倒 格 子 还 是 简 立 方 kabjabiab 2,2,2 321 第 一 布 里 渊 区 为 原 点和 6个 近 邻 格 点 的 垂 直平 分 面 围 成 的 立 方 体 1-9 简 立 方 布 里 渊 区 体 心 立 方 倒 格 子 为 面 心 立 方第 一 布 里 渊 区原 点 和 12个 近 邻 格 点 连 线 的 垂 直 平 分 面 围 成 的 正 十 二 面 体 )(21 kjab )(22 kiab )(23 jiab 1-9 体 立 方 布 里 渊 区 面 心 立 方 倒 格 子 为 体 心 立 方1-9 面 立 方 布 里 渊 区 )(21 kjiab )(22 kjiab )(23 kjiab 第 一 布 里 渊 区 为 原 点 和 8个 近 邻 格 点 连 线 的 垂 直 平 分 面 围 成 的 正 八面 体 ， 和 沿 立 方 轴 的 6个 次 近 邻 格 点 连 线 的 垂 直 平 分 面 割 去 八 面 体的 六 个 角 ， 形 成 的 14面 体 1901诺 贝 尔 物 理 学 奖n W.C.伦 琴n (德 国 )n 发 现 伦 琴 射 线 (X射 线 )从 X射 线 衍 射 引 出 倒 格 矢 概 念 M.V.劳 厄 发 现 X射 线 通 过 晶 体 时 的 衍 射 ，决 定 了 X射 线 波 长 ， 证 明 了 晶 体的 原 子 点 阵 结 构1914诺 贝 尔 物 理 学 奖 W.H.布 拉 格 W.L.布 拉 格 用 X射 线 分 析 晶 体 结 构1915诺 贝 尔 物 理 学 奖 Q P A TA PQS d入 射 线 与 反 射 线 之 间 的 光 程 差 ： =SA+A T=2d sin 把 晶 体 对 X射 线 的 衍 射 看 成 是 晶 面 对 X射 线 的 反 射1-9 布 拉 格 定 律l 布 拉 格 假 设 入 射 波 从 原 子 平 面 作 镜 面 反 射 ， 但 每 个 平 面 只 反 射 很 小 部 分 （ 另 外 部 分 穿 透 ） ， 当 反 射 波 发 生 相 长 干 涉 时 ， 就 出 现 衍 射 极 大l 只 有 入 射 的 10-310-5部 分 被 每 个 面 反 射 ， 大 部 分 穿 透 ， 要 有 足 够 多 的 原 子 面 参 与 反 射满 足 衍 射 方 程 ：2dh1h2h3 sin =n 可 见 光 可 以 发 生 布 拉 格 衍 射 吗 ？ 为 什 么 ？如 入 射 束 全 部 反 射 了 ， 还 有 没 有 衍 射 图 像 ？ CO= -Rl S0 OD= Rl S衍 射 加 强 ： Rl （ S S0 ） =n由 ： ko=(2/ ) S0 k=(2/ ) S k即 X射 线 的 波 矢得 ： Rl （ k k0 ） = 2 n 因 为 ： Rl Kh=2 n 物 理 意 义 ： 当 入 射 波 矢 和 衍 射 波 矢 相 差 一 个 或 几 个 K h（ 倒 格 矢 ） 时 ， 满 足 衍 射 加 强 条 件 ， n为 衍 射 级 数 。C Rl D 衍 射 单 位 矢 量 S O A 入 射 单 位 矢 量 S0 晶 面k0k0 kk把 位 于 格 点 上 的 原 子 看 作 是 散 射 中 心 ， 劳 厄 衍 射 是 散 射 中 心 对 入 射 X射 线 的 衍 射k k0 =n Kh 劳 厄 公 式1-9 劳 厄 衍 射 方 程 |k k0 |= 2 |S/ - S0 / | =( 2/ ) 2sin 2sin = n/dh1h2h3 |k k0 | = | n Kh |= 2n/dh1h2h3 | Kh |= 2/dh1h2h3k k0 kk0 晶 面 (h1h2h3)-kKh 倒 格 矢 与 晶 面 相 互 对 应1-9 布 拉 格 方 程 与 劳 厄 公 式 的 等 价 性 本 课 程 与 倒 格 子 概 念 相 关 的 问 题倒 格 子 与 晶 面 间 具 有 相 互 对 应 关 系倒 格 矢 与 布 拉 格 反 射 面 间 具 有 一 一 对 应 关 系 ， 利 用 倒 格 子概 念 可 简 化 对 衍 射 图 案 分 析任 意 周 期 函 数 都 可 在 该 函 数 所 定 义 的 倒 格 子 空 间 展 开 为 傅里 叶 级 数周 期 势 场 中 运 动 的 单 电 子 波 函 数 可 展 开 为 波矢 为 的 平 面 波 的 线 性 迭 加 （ 第 4章 能 带 论 ）对 同 一 能 带 ， 当 用 波 矢 标 志 电 子 状 态 时 ， 相 差 一 个 倒格 矢 的 两 个 状 态 是 等 价 的 ， 据 此 可 引 入 简 约 布 里 渊 区 的 概 念 （ 第 4章 能 带 论 ） ),( rk Gk k K空 间称 为 波 数 矢 量 （ 波 矢 ）k平 面 波 电 磁 波 等 从 一 点 向 各 方 面 发 散 出 去形 成 球 面 ， 如 果 这 种 波 从 无 限 远 处传 来 ， 所 形 成 的 球 面 就 可 以 看 作 是一 个 平 面 ， 所 以 叫 做 平 面 波 物 质 波 khhp vhhE 22/ 222| k 1| k 在 量 子 力 学 中 ， 很 多 问 题 要 在 K空 间 处 理 ， 例 如 最 常 见 的 能 量 问 题（ 晶 格 振 动 、 能 带 ） 动 量 mkmpkE 22)( 222 爱 瓦 尔 德 构 图根 据 公 式 ： k k0 =n Kh , 建 立 反 射 球入 射 线 的 波 矢 k 0 反 射 线 的 波 矢 k 倒 格 矢 K h OCA 晶 面反 射 球（ h1h2h3） (h1 h2 h3 ) 爱 瓦 尔 德 构 图根 据 公 式 ： k k0 =n Kh , 建 立 反 射 球 转 动 晶 体 ， 倒 格 子 转 动 ， 与 爱 瓦 尔 德 球 相 交 的 点 即 可 产生 衍 射 ， 如 图 倒 易 点 230发 生 衍 射 。 建 立 反 射 球 的 意 义通 过 所 建 立 的 反 射 球 ， 把 晶 格 的 衍 射 条 件 和 衍 射 照 片 上的 斑 点 直 接 联 系 起 来 。 所 有 落 在 此 球 上 的 倒 格 点 都 满 足 关系 式 : k k0 =n Kh 即 满 足 衍 射 加 强 条 件 。 利 用 反 射 球 求 出 某 一 晶 面 族 发 生 衍 射 的 方 向 （ 若 反 射球 上 的 A点 是 一 个 倒 格 点 ， 则 CA就 是 以 OA为 倒 格 矢 的 一 族晶 面 (h1h2h3)的 衍 射 方 向 S） 。 衍 射 线 束 的 方 向 是 倒 格 点 与球 心 C的 连 线 方 向 爱 瓦 尔 德 构 图 应 用 举 例 ： 晶 体 电 子 衍 射 花 样 的 标 定 思 考 题1. 求 面 心 立 方 晶 格 的 倒 格 子 。2. 利 用 倒 格 子 与 正 格 子 间 的 关 系 导 出 晶 面间 距 和 晶 面 夹 角 。