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一、等差数列选择题1已知数列的前项和为，且，现有如下说法：；.则正确的个数为（ ）A0B1C2D3解析：D【分析】由得到，再分n为奇数和偶数得到，然后再联立递推逐项判断.【详解】因为，所以，所以，联立得：，所以，故，从而，则，故，故正确.故选：D2等差数列中，若，则（ ）ABC2D9解析：A【分析】由和求出公差，再根据可求得结果.【详解】设公差为，则，所以.故选：A3已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A51B57C54D72解析：B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B4设等差数列的前项和为，若，则必定有（ ）A，且B，且C，且D，且解析：A【分析】根据已知条件，结合等差数列前项和公式，即可容易判断.【详解】依题意，有，则故选：.5在等差数列中，则的前项和（ ）ABCD解析：A【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出，再由等差数列前项和公式，即可得出结果.【详解】因为为等差数列，所以，即，所以.故选：A.【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前项和的基本量运算是解题关键.6在等差数列中，已知前21项和，则的值为（ ）A7B9C21D42解析：C【分析】利用等差数列的前项和公式可得，即可得，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，所以，所以，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出，进而得出，即可求解.7在等差数列的中，若，则等于（ ）A25B11C10D9解析：D【分析】利用等差数列的性质直接求解【详解】因为，故选：D8在等差数列中，若为其前项和，则的值是（ ）A60B11C50D55解析：D【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，所以.故选：D.9张丘建算经卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（ ）A尺布B尺布C尺布D尺布解析：D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.10已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（ ）ABC3D4解析：A【分析】根据数列是等差数列，且，求出首项和公差的关系，代入式子求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：A11等差数列的前项和为，若，则（ ）A11B12C23D24解析：C【分析】由题设求得等差数列的公差，即可求得结果.【详解】，公差，故选：C.12已知数列为等差数列，则（ ）ABCD解析：A【分析】根据等差中项的性质，求出，再求;【详解】因为为等差数列，所以,.由,得,故选：A.13周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ）A32B33C34D35解析：D【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出，结合等差数列的求和公式得出，再由求出的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，则有则有，则，所以解得，因为年龄为整数，所以.故选：D14已知数列的前n项和，则（ ）A350B351C674D675解析：A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.【详解】当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.15定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）ABCD解析：D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列的前n项和为，由题意可得：，则：，当时，当时，且，据此可得 ，故，据此有：故选：D二、等差数列多选题16已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法错误的是（ ）A数列的前n项和为B数列的通项公式为C数列为递增数列D数列为递增数列解析：ABC【分析】数列的前项和为，且满足，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，时，进而求出【详解】数列的前项和为，且满足，化为：，数列是等差数列，公差为4，可得，时，对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题17题目文件丢失！18已知数列满足，且，则（ ）ABCD解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD【详解】由题意，A正确，C正确；，数列是周期数列，周期为3，B错；，D正确故选：ACD【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解19著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）ABCD解析：ABD【分析】根据，计算可知正确；根据，累加可知不正确；根据，累加可知正确.【详解】依题意可知，故正确；，所以，故正确；由，可得，故不正确；，所以，所以，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.20设等差数列的前项和为若，则（ ）ABCD解析：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，故选：BC21已知数列，则前六项适合的通项公式为（ ）ABCD解析：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC22已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）ABC最小D解析：BD【分析】设等差数列的公差为，根据条件、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，则，因为、成等差数列，则，即，解得，.对于A选项，A选项错误；对于B选项，B选项正确；对于C选项，.若，则或最小；若，则或最大.C选项错误；对于D选项，D选项正确.故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前项和的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.23等差数列的前n项和记为，若，则（ ）ABCD当且仅当时，解析：AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.24已知数列的前项和为，前项积为，且，则（ ）A当数列为等差数列时，B当数列为等差数列时，C当数列为等比数列时，D当数列为等比数列时，解析：AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；当数列为等比数列时，且，同号，所以，均大于零，故.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题25在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A若是等差数列，则是等方差数列B是等方差数列C若是等方差数列，则为常数也是等方差数列D若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，数列中的项列举出来是，将这k个式子累加得，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，则设是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
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