次课定积分的概念和可积条

5.1 定 积 分 的 概 念牛 顿 、 莱 布 尼 茨 发 明 微 积 分 的 原 始 动 机 是 物 理 中的 变 力 做 功 问 题 以 及 几 何 中 的 不 规 则 形 状 的 面 积 、体 积 计 算 问 题 。几 何 图 形 的 面 积 、 体 积 计 算 问 题 有 着 非 常 悠 久 的 历 史刘 徽 （ 3世 纪 ） 九 章 算 术 祖 冲 之 （ 5世 纪 ） 圆 周 率 精 确 计 算祖 暅 （ 5-6世 纪 ） 祖 暅 原 理 割 圆 术 割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周，体而无所失矣. 刘 徽 阿 基 米 德 （ Archimedes，约 前 287212 ）球 体 、 圆 柱 体 的 体 积 和 表 面积 的 计 算 公 式 ， 提 出 了 抛 物线 所 围 成 的 面 积 和 弓 形 面 积的 计 算 方 法 。 最 著 名 的 还 是求 阿 基 米 德 螺 线 （ = ） 所 围 面 积 的 求 法 ， 这 种 螺线 就 以 阿 基 米 德 的 名 字 命 名 。 问 题 ： 求 曲 边 梯 形 的 面 积 。 ( )y f x 0a b 基 本 思 想 ： 分 割 - 求 和 0 x a 1x 2x 3x 4x b 0f x 1f x 2f x 3f x 8n 的 情 形 16n 的 情 形 32n 的 情 形 例 1. 曲 边 梯 形 的 面 积一 、 引 例 )(xfya b xyo )(xfya b xyo ,bxxxxxxa nii 1210(1) 分 割 : ).n,i(xxx iii 21 1 将 区 间 a,b任 意 分 为 n个 子 区 间 ， ni iSS 1 （ 2） 近 似 ： 任 取 ,x,x iii 1 )n,i( 21iS ii x)(f （ 3） 作 和 ： ini i x)(f 1（ 4） 取 极 限 ： 记 ,xmaxx ini 1S ini ix x)(flim 10 分 点 为 ： i1x 2x 3x 1ix ix)( if 例 2. 变 速 直 线 运 动 的 路 程设 物 体 作 直 线 运 动 , 已 知 速 度 )(tvv , 21 TT0)( tv 是 时 间 间 隔 上 的 连 续, 计 算 在 这 段 时 间 内 物 体 所 经 过 的 路 程 .函 数 ， 且若 是 匀 速 直 线 运 动 ，(1) 分 割 : ,21101 TtttttT nii ,1 iii ttt ),2,1( ni (2) 近 似 ： 任 取 , 1 iii tt is ii tv )( ),2,1( ni ni isS 1(3) 作 和 ： ini i tv )(1 (4) 取 极 限 ： 记 ,tmaxt ini 1 S ini it t)(vlim 10= 速 度 时 间 .路 程 1t 2t 1it it 1nti t1T 2T 二 、 定 积 分 的 定 义0 1 1 1( ) , , , ma xni i i ii nf x a b a ba x x x b a bx x x x x 划 分设 是 定 义 在 上 的 有 界 函 数 ， 在 上 任 意 取 分点 ， 我 们 称 之 为 区 间 的 一 个 ，记 作 ， 同 时 记 ， ， 称 之 为。 对 每 一 个 这 样 划 分 的 划 分 作 如 下的 直 径 黎 曼 和 ： 11( ) ( ) , ,n i i i i iiS f x x x ，00 lim ( ) ( ) , ( ) , i S f x a bf x a b 如 果 当 时 极 限 存 在 ， 且 与 划 分 的 具体 选 取 无 关 ， 也 与 的 选 取 无 关 ， 则 称 函 数 在 上 是 ， 并 称 上 述 极 限 为 在 上 的黎 曼 可 积 的 定 积 分 ， ( )ba f x dx记 作 ： ， 即0 0 1( ) lim ( ) lim ( ) .nb i ia if x dx S f x ( ) , f x a b 在 上 也 简黎 曼 可 积 称 可 积 。 ( ) ( ) .b aa b a b a bf x dx f x dx 在 上 面 的 定 义 中 我 们 假 定 ， 如 果 ，则 作 如 下 约 定注 ： 被积函数 被积式 积分变量积 分 下 限积 分 上 限a,b叫 做 积 分 区 间 0 1 111 ( ) , , max , ( ) ( ) ” , “ ( ni i i ii nn i ii f x a b Ia b a x x x bx x x xf x II f x a bf x 设 函 数 在 区 间 上 有 界 ， 如 果 存 在 常 数 使 得 对 任 意 的 正 数 总 存 在 一 个 正 数 使 得 对 于 区间 的 任 何 分 划 ； ，只 要 ， 则 不 论 在 中 怎样 选 取 ， 总 有成 立 ， 则 称 是 在 区 间 上 的 定 积 分 ，记 作 义 ： 语 言 定) ba dx比 较 ： 定 积 分 与 不 定 积 分 有 何 区 别 ？ 1, ( ) 0, 0,7 1 xD x x 为 有 理 数 ，讨 论 Dirichlet函 数 为 无 理例 . 数在 上 的1.1 可 积 性 。0 10,1:0 1nx x x 对 于 的 任 何 一 个 划 分 解 ： ， 1 , i ix x每 一 个 小 区 间 上 既 有 有 理 数 又 有 无 理 数 ，i如 果 每 一 个 都 取 有 理 数 ， 则1( ) ( )n i iiS D x 11n ii x 11 ( )n i ii x x 1, i如 果 每 一 个 都 取 无 理 数 ， 则 1( ) ( )n i iiS D x 1 0n ii x 0 ，0lim ( ) iS 因 此 依 赖 于 的 选 取 ，( ) 0,1D x 在 上 不 可 积 。 三 、 黎 曼 可 积 的 条 件( ) , f x a b设 是 定 义 在 上 的 有 界 函 数 ， 记 , sup ( ),x a bM f x , inf ( ),x a bm f x 0 1 , : n a b a x xx b 对 于 的 任 何 一 个 划 分 ， 记 11 , , sup ( ), inf ( ), 1,2, ,i ii ii i x x xx x xM f x m f x i n 1( ) ,n i iiS M x 1( ) ,n i iiS m x ( ) ( )S S 与 分 别 称 为 划 分 的 达 布 （ Darboux） 大 和达与 布 小 和 。 11( ) ( ) ( ), , , 1,2, , .n i i i i iiS f x S x x i n 显 然 有 , , a b 现 设 都 是 区 间 的 划 分 ， 如 果 的 每 一 个分 点 都 加 细包 含 在 之 中 ， 则 称 是 的 ，记 作 划 分。 ( ) , , , ( ) ( ), ( ) .7 ( )f x a ba bS S S S 设 是 定 义 在 区 间 上 的 有 界 函 数 ， 是 的 两 个 划 分 ，引 理 .1.1 且 ， 则 1 ( , )k k xx x x 不 是 一 般 性 ， 设 就 比 多 一 个 分 点 证 ， 且不 妨 设 明 ： ， 则1( ) n i iiS M x 11 1k ni i ii ik ikkMM xxx M 11 , , 11 1( ) sup ( ) ( ) sup ( )( ) kkk i ii n i iik x x xk x x x kx x f xx x f xS M x M x 11 , , 1 1( ) sup ( ) ( ) sup ( )( ) ( ) ( ) ,k kk kx x x x x xk k k k k k k k kx x f x x x f xx x M x x M x x M M x 注 意 到 ( ) ( )S S 因 此 ；( ) ( )S S 同 理 可 证 。 , , ( ) , , sup ( ) inf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). x a bx a bf x a ba b M f x m f xm b a S S M b a 设 是 定 义 在 区 间 上 的 有 界 函 数 ，是 的 任 意 一 划 分 ， , ，则推 论 ,L l由 确 界 原 理 ， 必 存 在 实 数 使 得 inf ( ): , L S a b 是 的 划 分 sup ( ): , l S a b 是 的 划 分0 0( ) , lim ( ) , lim ( )7 .f x a bS L S l 引 理 .1.3 设 是 定 义 在 区 间 上 的 有 界 函 数 ，则 0 , a b 我 们 只 证 第 一 个 等 式 。 由 下 确 界 的 定 义 ， 对任 意 的证 明 ： ， 存 在 的 划 分 0 1: pa x x x b 2L S L 使 得 。 1 2min , , , , ,2( 1)( )px x p M m 取 对 于 任 意 一 个 满 足 的 分 划 ， 令 ， 则 ( ) .2S S L 1 ,i ix x现 将 对 应 于 分 划 的 子 区 间 分 为 两 类 ：1( , ) i ii ix xM x S S I. 开 区 间 中 不 含 有 的 分 点 。 则 相 应 的 求 和 项 将 同 时 出 现 在 ( ) 和 ( ) 中 ； 1 1( , ) 1 ( , )i i i ix xp x x II. 开 区 间 中 含 有 的 分 点 。 这 样 的 区 间至 多 只 能 有 个 ， 而 且 每 一 个 开 区 间 中至 多 含 有 一 个 中 的 点 。1 1 , ( , ), ( ) ( )i ij i i x xx x x S S 对 于 这 样 的 子 区 间 ， 存 在 中 的 唯 一 分 点 于 是 在 和 中 相 应 的 求 和 项分 别 为 1( ),i i iM x x 1 2 1( ) ( ),i j i i i jM x x M x x 11 2 , , sup ( ), sup ( ).i j j ii ix x x x x xM f x M f x 1 1 2 1( ) ( )( )i i i j i i ji iM x x M xM x x x 1 1( ) ( )i ii i xx mM xx 1( )( )i iM m x x ( )M m ( ) ( 1)( ) ,2S S p M m 于 是 ( ) ,2 2 2L S S L L 0 lim S L 由 的 任 意 性 ， 必 有 。( ) , (7.1. 1) ,f x a bf x a b L l 设 是 定 义 在 区 间 上 的 有 界 函 数定 理 充 分 必 要 条 ，则 在 上 件可 积 的 是 。( ) , 0 0f x a bI 先 证 必 要 性 。 设 若 在 上 可 积 且 积 分值 为 ， 则 对 任 意 的 ， 存 在 ， 使 得证 明 ： 对 所 有 满 足 0 11 : , ni i i a x x x bx x 的 分 划 及 任 意 的皆 有 1 ( ) ,2n i ii f x I 1 , 0 ( ) 2( ) i i i i i x xM f b a 特 别 地 ， 我 们 在 每 一 个 小 区 间 上 选 取 使 得， 则1 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i i i ii i iS f x M x f x 1 ( )n i i ii M f x 12( ) n ii xb a ,2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )n ni i i ii iS I S f x f x I 于 是 1 1( ) ( ) ( )n ni i i ii iS f x f x I ,2 2 0lim ( ) ,L S I 这 就 证 明 了 0lim ( ) ,l S I 同 理 可 证 L l因 此 。接 下 来 证 充 分 性 。 由 达 布 和 的 定 义 ， 对 任 意 划 分 皆 有1( ) ( ) ( ),n i iiS f x S 0 0lim ( ) lim ( )=S S I 如 果 ， 则 必 有 0 1lim ( ) .n i ii f x I 0 1 ( ) , ( ) , lim 0, , 1,2, ,7.1.2 .n i i i i ix i f x a bf x a bx M m i n 设 是 定 义 在 区 间 上 的 有 界 函 数 ，则 在 上 可 积 的定 理 充 分 必 是要 条 件 1 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一推 论 定 可 积 。( ) , Cantor , 0 0, , , f x a ba b x x a b x x 设 在 上 连 续 ， 则 由 定 理 ， 它在 上 一 致 连 续 ， 于 是 对 任 意 ， 存 在 ，使证 明 ：得 当 时 ，( ) ( ) ,( )f x f x b a , a b 因 此 对 于 的 任 意 划 分 ， 只 要 ， 就 有, 1,2, , , ( )i i iM m i nb a 1 1 ( ) ,( ) ( )n ni i ii ix x b ab a b a 从 而 0 0 1lim 0, n i ix i x 这 就 证 明 了 定 理 7.1.2由 ， 推 论 得 证 。2 闭 区 间 上 的 单 调 有 界 函 数推 论 一 定 可 积 。 ( ) , ( ) ( ) f x a bf b f a 不 妨 设 在 上 单 调 增 加 。 对 任 意 0，取 = / ， 则 对 于 满 足 证 明 ： 的 任 一 分 划 0 1: na x x x b 11 1 11= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n ni i i i ii i n i iix f x f x xf x f xf b f a 皆 有 ( ) ( )( ) ( ) f b f af b f a ,0 1lim 0, n i ix i x 这 就 证 明 了 定 理 7.1.2由 ， 推 论 得 证 。从 的 证 明 过 程 中 不 难 发 现 下定 理 列 结7.1.2 论 成 立 ： 1( ) , ( ) ,7.1 0. .3 n i iif x a bf x a b x 设 是 定 义 在 区 间 上 的 有 界 函 数 ，则 在 上 可 积 的 是 对 任定 理 充 分 必 要 条 件 意 ，存 在 分 划 ， 使 得 闭 区 间 上 只 有 有 限 个 不 连 续 点 的 函 数 一推 论 3 定 可 积 。 , a bx c 我 们 只 考 虑 最 简 单 的 情 形 ， 即 证 明 中 只 有 一个 间 断 点 ， 在 其 余 点 处： 皆 连 续 。 , , sup ( ), sup ( ),x a b x a bM f x m f x 记 min , , ,4( )d c a b c M m ( ) , , f x a c d c d b 由 于 在 与 上 连 续 ， 因 此 可 积 ， 0 11 2 , : , :I nII n n n pa c d a x x x c dc d b c d x x x b 的 分 划 ,的 分 划因 此 存 在 , 1 2 , ,4 4n pn i i i ii i nx x 使 得 0 1 1 1 , ,1 2 +1 = , , , , , , ,sup ( ) inf ( ) ( ) I II n n n pn p ni i i ii i n p i ii n nx c d cx d c dn dcx x x x x x a bf x f x x xx x = 构 成 的 分 划 ，并 且 2 4( ) ,4 4M m M m 定 理 7.1.3由 ， 推 论 得 证 。 1, ( ) 1, 07 ,120 qxp pR x x x 证 明 Riemann函 数 为 既 约 分 数 ，0， 为 无 理 数 ，例 .在 1. 上 可 积 。 0 0,1 ( ) 2R x 对 任 意 的 ， 在 上 使 得 的点 只 有 有 限 多 个证 明 ： ， 不 妨 设 为 1 20 1,kp p p 2 1 3 2 11= min , , , ,2 2k kp p p p p p k 取 ， 则 1 1 2 1 3 2 4 22 3 1 2 2 1 2 1 2, , , , , , ,k k k k k k k kx p x p x p x px p x p x p x p 0,1构 成 的 一 个 分 划 ， 对 于 此 分 划 有 2 2 21 1 1 2 1 2 11=k ki i i ii i iii kx x x 1 111 22 1 2k kii ix 2 2 ,2 24k k k 定 理 7.1.3由 ， 推 论 得 证 。 10 ( ) ?R x dx 思 考 ： 1 20,1 :0 1,nx x x 对 于 的 任 意 一 个 划 分 11 , , inf ( ) 0,i ii ii x x xx xm R x 每 一 个 子 区 间 上 都 含 有 无 理 数 ， 因 此 ( ) 0,1R x又 由 于 在 上 可 积 ， 因 此10 0 1( ) lim 0.n i iiR x dx m x 解 1 iii xxx ,Cx)x(f 102 等 分 , 把 区 间 n, 10 ,nixi 分 点 为取 )n,i( 21 ni ii x)(f1 ni ix1 2i ni nni1 2 1 ni in 1 2316 12113 )n)(n(nn ni ix xlim 1 2i0 316 12113 )n)(n(nnlimn 10 2dxx 存 在 .,n1 10 2dxx ,nixi i 1 20 .1.3 x dx利 用 定 积 分 定 义 计 算例 7 例 2.计 算 曲 线 y x 与 直 线 1, 2, 0 x x y 所 围 成 的 区 域 的 面 积 。1 1 1 1 11n n n nS n n n n n 21 ( ( 1) ( 1)n n n nn 21 (3 1)2n nn 32lim nnS S 21 32xdx