高二数学教案-椭圆

实 验 1: 能 用 手 上 的 绳 子 作 出 一 个 圆 吗 ? 实 验 2: 将 绳 两 端 固 定 在 两 个 定 点 上 ，套 上 铅 笔 ， 拉 紧 绳 子 ， 移 动 铅 笔 ， 观 察画 出 的 轨 迹 是 什 么 曲 线 ？一 、 动 手 实 验MF 1 F2 观 察 做 图 过 程 ：1绳 长 应 当 大 于 F1、 F2之 间的 距 离 。2由 于 绳 长 固 定 ， 所 以 M 到两 个 定 点 的 距 离 和 也 固 定 。 讨 论 以 下 问 题 ：（ 1） 在 纸 板 上 作 图 说 明 了 什 么 ？（ 2） 在 绳 长 不 变 的 条 件 下 ， 改 变 两 个 图 钉 的 距 离 ， 画 出的 椭 圆 有 何 变 化 ？ 当 两 个 图 钉 重 合 在 一 起 时 ， 画 出 的 图 形 是 什 么 ？ 当 两 个 图 钉 之 间 的 距 离 等 于 绳 长 时 ， 画 出 的 图 形 是 什么 ？ 当 两 个 图 钉 固 定 ， 能 使 绳 长 小 于 两 个 图 钉 之 间 的 距 离 吗？ 能 画 出 的 图 形 吗 ？ F1 F2M设 |F1F2| 2c ，|MF1| |MF2| 2a 定 义 ： 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 和 等 于常 数 2a 的 点 的 轨 迹 .(1)焦 点 ： 定 点 F1 ， F2 MF1 F2二 .椭 圆 的 定 义 ： 当 2a= |F1 F2| 时 线 段当 2a0)(3)ac在 平 面 内 动 点 M到 两 个 定 点 F1 ， F2的 距 离 之 和 等于 定 值 2a的 点 的 轨 迹 是 否 一 定 为 椭 圆 ？思 考 ： （ 2a |F1F2| ） y xO ),( yxPr 设 圆 上 任 意 一 点 P(x， y) 以 圆 心 O为 原 点 ， 建 立 直 角 坐 标 系 rOP ryx 22两 边 平 方 ， 得 222 ryx 回 忆 在 必 修 2中 是 如 何 求 圆 的 方 程 的 ？ 椭 圆 标 准 方 程 的 推 导 ：思 考： 如何建立椭圆的方程？建 系 设 点 点 的 集 合化 简 方 程 代 数 方 程根 据 求 曲 线 方 程 的 一 般 步 骤 ： 坐 标 法 探 讨 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 的 方 案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”O xy O xyO xy MF1 F2方 案 一 F 1F2方 案 二O xyMO xy 解 ： 取 过 焦 点 F1、 F2的 直 线 为 x轴 ， 线 段 F1F2的垂 直 平 分 线 为 y轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 (如 图 ). 设 M(x, y)是 椭 圆 上 任 意 一点 ， 椭 圆 的 焦 距 2c(c0)， M与 F1和 F2的 距 离 的 和 等 于 正常 数 2a (2a2c) ， 则 F1、 F2的 坐标 分 别 是 (c,0)、 (c,0) . xF1 F2M0y （ 问 题 ： 下 面 怎 样 化 简 ？ ） aMFMF 221 222221 )(,)( ycxMFycxMF aycxycx 2)()( 2222 得 方 程由 椭 圆 的 定 义 得 ， 限 制 条 件 ：代 入 坐 标 1)椭 圆 的 标 准 方 程 的 推 导 由 两 点 间 的 距 离 公 式 ， 可 知 ：2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a xyOF1 F2(c,0)M(-c,0) (x,y)2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y 所 以 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y 两 边 平 方 得 : 2 2 2( )a cx a x c y 即 ：两 边 平 方 得 ： a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即 ： (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因 2a2c， 即 ac， 故 a2-c20， 令 a2-c2=b2， 其 中b0， 代 入 上 式 , 可 得 ： y M xoF1 F2(-c,0) (c,0)(x,y)2 22 2 2 1x ya a c 两 边 同 时 除 以 a2(a2-c 2) 得 ：这 就 是 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 ， 它 表 示 的 椭 圆 的 焦 点 在x轴 上 ， 焦 点 是 F 1(-c， 0)、 F2(c， 0) 这 里 c2=a2-b22 22 2 1( 0)x y a ba b 思 考 ： 如 图 ， 如 果 焦 点 F1、 F2在 y轴 上 ， 且 F1、 F2的 坐 标 分 别 是 (0,-c) ， (0,c)， a、 b的 意 义同 上 ， 那 么 椭 圆 的 方 程 是 什 么 ？ 2 22 2 1( 0)y x a ba b y xO F1F2M (0,-c)(0 , c)这 个 方 程 也 是 椭 圆 的 标 准 方 程 。 0 12222 babyax 0 12222 babxay图 形方 程焦 点 F( c， 0) F(0， c)a,b,c之 间 的 关 系 c2=a2-b2MF1+MF2=2a (2a2c0)定 义 1 2yoF FM x 1oFy x2F M3)两 类 标 准 方 程 的 对 照 表注 : 共 同 点 ： 椭 圆 的 标 准 方 程 表 示 的 一 定 是 焦 点 在 坐 标 轴 上 ，中 心 在 坐 标 原 点 的 椭 圆 ； 方 程 的 左 边 是 平 方 和 ， 右 边 是 1.2x 2y不 同 点 ： 焦 点 在 x轴 的 椭 圆 项 分 母 较 大 . 焦 点 在 y轴 的 椭 圆 项 分 母 较 大 . 154 22 yx1、 已 知 椭 圆 的 方 程 为 ： ,则 a=_， b=_， c=_， 焦 点 坐 标 为 ： _， 焦 距 等 于 _; 2、 已 知 椭 圆 的 方 程 为 则 a=_， b=_， c=_， 焦 点 坐 标 为 ： _.2 1(0,-1)、 (0,1)25 P F1F2练 习 ： 2 24 16x y 4 2 2 3 2 ,0 , 2 ,03 3 课 堂 练 习 11625)2( 22 yx 11)3( 2 222 m ymx 11616)1( 22 yx 0225259)4( 22 yx 123)5( 22 yx1.口 答 ： 下 列 方 程 哪 些 表 示 椭 圆 ？22,ba 若 是 ,则 判 定 其 焦 点 在 何 轴 ？并 指 明 ， 写 出 焦 点 坐 标 . 1、 填 空 ： （ P36 练 习 第 一 题 ）椭 圆 上 一 点 P到 焦 点 F1的 距 离 等于 6， 则 点 P到 另 一 个 焦 点 F2的 距 离 是 _。136100 22 yx 14a=10,b=6且 有|PF1|+ |PF2|=20练 习 ： 练 习 、 （ P36 练 习 第 二 题 ） 写 出 适 合 下 列 条 件 的 椭 圆 的 标 准 方 程 (1) a=4， b=1,焦 点 在 x轴 上 (2) a=4， b= ,焦 点 在 y轴 上 (3) a+b=10， c=152 5 2 2 136 16x y 6 4a b ， 2 2 116 36x y 或 2 2 116x y 2 2 115 16x y 3、 填 空 ：(1)已 知 椭 圆 的 方 程 为 ： ， 则a=_， b=_， c=_， 焦 点 坐 标为 ： _焦 距 等 于 _;若 CD为 过左 焦 点 F1的 弦 ， 则 F2CD的 周 长 为 _11625 22 yx5 4 3(3,0)、 (-3,0) 6 20F 1 F2CD |CF1|+|CF2|=2a|DF1|+|DF2|=2a 例 1、 两 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ -2， 0） 、 （ 2， 0） ， 且 椭 圆 经 过 点 P 。解 ： 因 为 椭 圆 的 焦 点 在 x轴 上 ， 所 以 可 设 它 的 方 程 为 ：)0(12222 babyax由 椭 圆 的 定 义 可 知 ：又 因 c=2，所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ： 2 2 110 6x y )23,25( 102)23()225()23()225(2 2222 a 10所 以 a 故 b2=a2-c2=10-22=6你 来 能 用其 他 方 法吗 ？ 作 业 布 置 1、 习 题 2.1： A组42P 第 2题 平 面 内 到 两 定 点 F1、 F2的 距 离 之 和 等 于 常 数(大 于 |F1F2|)的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 叫 做 焦 距 一 .椭 圆 的 定 义 F1 F2M判 断 下 列 说 法 是 否 正 确 ： 已 知 F1 (-4,0) 、 F2 (4,0)1、 到 F 1 、 F2两 点 的 距 离 之 和 为 6的 点 的 轨 迹 是 椭 圆 。2、 到 F1 、 F2两 点 的 距 离 之 和 为 8的 点 的 轨 迹 是 椭 圆 。 求 动 点 轨 迹 方 程 的 一 般 步 骤 ：（ 1） 建 立 适 当 的 坐 标 系 ， 用 有 序 实 数 对 表 示 曲 线上 任 意 一 点 M的 坐 标 ；（ 2） 写 出 适 合 条 件 P的 点 M的 集 合 ； (可 以 省 略 ，直 接 列 出 曲 线 方 程 )（ 3） 用 坐 标 表 示 条 件 P（ M） ， 列 出 方 程 （ 5） 证 明 以 化 简 后 的 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 是曲 线 上 的 点 (可 以 省 略 不 写 ,如 有 特 殊 情 况 ， 可 以适 当 予 以 说 明 ) ( , ) 0f x y ( , ) 0f x y （ 4） 化 方 程 为 最 简 形 式 ；3.列 等 式 4.代 坐 标 5.化 简 方 程1.建 系 2.设 坐 标 作 业 布 置 1、 习 题 2.1： A组 2、 思 考 ： 若 方 程 4x2+ky2=1表 示 的 曲 线 是 焦 点 在 y轴上 的 椭 圆 ， 求 k的 取 值 范 围 。42P 第 2题 2： 若 方 程 4x2+ky2=1表 示 的 曲 线 是 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ， 求 k的 取 值 范 围 。解 ： 由 4x2+ky2=1 1141 22 kyx可 得因 为 方 程 表 示 的 曲 线 是 焦 点 在 y轴上 的 椭 圆 41k1 所 以即 ： 0k4所 以 k的 取 值 范 围 为 0k4。 F1 F2M xyO 012222 babyax 012222 babxay表 示 焦 点 在 x轴 ， 焦 点 为F1（ -c,0） ， F2（ c,0） 表 示 焦 点 在 y轴 ， 焦 点 为F1（ 0, -c） ， F2（ 0, c）xyoF2F1 M练 习 、 方 程 x2+ky2=2的 曲 线 是 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ， 则 k的取 值 范 围 是 （ ） A、 （ 0， +） B、 （ 0， 2） C、 （ 1， + ） D、 （ 0， 1）11624 22 kykx练 习 、 方 程 表 示 焦 点 在 X轴 上 的 椭 圆 ，则 k的 取 值 范 围 为 . 若 去 掉 焦 点 在 y轴 上 的 条 件 呢 ?若 去 掉 焦 点 在 X轴 上 的 条 件 呢 ?D24 16k k 24 0k 16 0k 42416kkk 16 4k k