恒定电流场Steadyelectriccurrentsfiel

第 四 章 恒 定 电 流 场Steady electric currents field 恒 定 电 场 ： 恒 定 电 流 (运 动 电 荷 )产 生 的 电 场 。 恒 定 电 流 周 围存 在 恒 定 电 场 和 磁 场恒 定 电 流 场 的 边 界 条 件恒 定 电 流 场 的 能 量 损 耗恒 定 电 流 场 与 静 电 场 的比 拟 E矢 量 磁 位 与 标 量 磁 位E媒 质 磁 化 E媒 质 中 的 恒 定 磁 场 方 程 式E电 感 与 互 感E磁 场 能 量 与 磁 场 力恒 定 电 场 恒 定 磁 场 1、 恒 定 电 场 在 分 界 面 上 的 折 射 关 系 为 2121tantan 若 ,则 。 2 1 0 在 理 想 导 体 表 面 上 ， 和 都 垂 直 于 边 界 面 。 当电 流 由 理 想 导 电 体 流 出 进 入 一 般 导 电 媒 质 时 ， 电 流线 总 是 垂 直 于 理 想 导 电 体 表 面 。J E 212En 1E2 1 2J1J 1 1 11 1 tant tn nJ EJ E 2 2 22 2 tant tn nJ EJ E 4.1 恒 定 电 流 场 的 边 界 条 件 Boundary condition 关 于 边 界 条 件 的 说 明 ：1、 由 于 导 体 内 存 在 恒 定 电 场 ， 根 据 边 界 条 件 可 知 ， 在 导 体 表面 上 的 电 场 既 有 法 向 分 量 又 有 切 向 分 量 。 电 场 并 不 垂 直 于 导体 表 面 ， 因 而 导 体 表 面 不 是 等 位 面 。2 、 若 媒 质 2是 良 导 体 ， 媒 质 1是 极 不 良 导 电 媒 质 ， 只 要 不 接近 ， 就 可 以 近 似 地 把 良 导 体 表 面 看 作 等 位 面 。 例 ： 同 轴 线 填 充 两 种 介 质 ， 结 构 如 图 所 示 。 两种 介 质 介 电 常 数 分 别 为 和 ， 导 电 率 分 别为 和 ， 设 同 轴 线 内 外 导 体 电 压 为 U。求 ： (1)导 体 间 的 ， ， ； (2)分 界 面 上 自 由 电 荷 分 布 。1 2 21E J 2a2b2c1 1 2 2 解 ： 这 是 一 个 恒 定 电 场 边 值 问 题 。 不 能 直 接应 用 高 斯 定 理 求 解 。电 流 由 内 导 体 流 向 外 导 体 ， 在 分 界 面 上 只 有 法 向 分 量 ， 所 以电 流 密 度 成 轴 对 称 分 布 。 1 2b ca bU E dr E dr 例 题 : a 2 2 1 1 E J先 假 设 电 流 为 I 求 出 电 流 密 度 J的 表 达 式求 出 E1和 E2 确 定 出 电 流 由 导 电 媒 质 内 电 场 本 构 关 系 ， 可 知 媒 质 内 电 场 为 ：1 1 1 ( )2 rJ IE e a r br 2 2 2 ( )2 rJ IE e b r cr 1 2b ca bU E dr E dr 1 2(ln ln ) (ln ln )2 2I Ib a c b 设 单 位 长 度 内 从 内 导 体 流 向 外 导 体 电 流 为 I。rIJ eS ( )2 rI e a r cr 由 边 界 条 件 ， 边 界 两 边 电 流 连 续 。 2 01 1 2 1 ( ) ln( / ) ln( / ) rUJE e a r bb a c b r 1 02 2 2 1 ( ) ln( / ) ln( / ) rUJE e b r cb a c b r 2 2 ( )cr E dr b r c 1 1 2 ( )b cr bE dr E dr a r b 1 2 02 12ln( / ) ln( / )UI b a c b 1 2 02 1 ( ) ln( / ) ln( / )UJ a r cb a c b r 在 面 上 ：r c 2 1 02 1 ln( / ) ln( / )Ub a c b c 3 2S rD e 在 面 上 ：r b 2 2 1( )S rD D e 2 1 1 2 02 1( ) ln( / ) ln( / )Ub a c b b 2） 由 边 界 条 件 ： 在 面 上 ：r a 1 2 02 1 ln( / ) ln( / )Ub a c b a 1 1S D n E在 导 电 媒 质 中 ， 自 由 电 子 移 动 时 要 与 原 子 晶 格 发 生 碰撞 ， 结 果 产 生 热 能 ， 这 是 一 种 不 可 逆 的 能 量 转 换 。 这 种能 量 损 失 将 由 外 源 不 断 补 给 ， 以 维 持 恒 定 的 电 流 。 dlU J dS 4.2 恒 定 电 场 的 能 量 损 耗圆 柱 体 的 端 面 分 别 为 两 个 等 位 面 。 若 在 电 场 力 作 用 下 ， d t 时 间 内 有 d q电 荷 自 圆 柱 的 左 端 面 移 至 右 端 面 ， 那 么 电 场 力作 的 功 为 d d d d dW q E q l E l 电 场 损 失 的 功 率 P 为 lSEJlEIltqEtWP dddddddd 单 位 体 积 中 的 功 率 损 失 为 22 JEEJpl 当 J和 E的 方 向 不 同 时 ， 上 式 可 以 表 示 为 下 面 一 般 形 式 JE lpE表 示 某 点 的 功 率 损 耗 等 于 该 点 的 电 场 强 度 与 电 流 密 度的 标 积 。 焦 耳 定 律 的 微 分 形 式 设 圆 柱 体 两 端 的 电 位 差 为 U， 则 ， 又 知 ， 那么 单 位 体 积 中 的 功 率 损 失 可 表 示 为 lUE d SIJ dVUIlSUIpl ddd 可 见 ， 圆 柱 体 中 的 总 功 率 损 失 为 UIVpP l d这 就 是 电 路 中 的 焦 耳 定 律 。 例 1 已 知 一 平 板 电 容 器 由 两 层 非 理 想 介 质 串 联 构 成 ， 如图 示 。 其 介 电 常 数 分 别 为 1 和 2 ， 电 导 率 分 别 为 1 和 2 ， 厚 度 分 别 为 d1 和 d2 。 当 外 加 恒 定 电 压 为 V 时 ， 试 求 两 层 介 质 中 的 电 场 强 度 ， 单 位 体 积 中 的 电 场 储能 及 功 率 损 耗 。 1 1 2 2 d1d2U 解 ： 由 于 电 容 器 外 不 存 在 电 流 ，可 以 认 为 电 容 器 中 的 电 流 线 与 边界 垂 直 ， 求 得 2211 EE UdEdE 2211UddE 1221 21 UddE 1221 12 1 2n nJ J 1 2J J 21 1 122 2 21 212eew Ew E 21 1 22 2 llp Ep E 4.3. 恒 定 电 流 场 与 静 电 场 的 比 拟静 电 场 和 恒 定 电 场 性 质 比 较 ：相 同 点 ： 场 性 质 相 同 ， 均 为 无 旋 场 ； 场 均 不 随 时 间 改 变 ； 均 不 能 存 在 于 理 想 导 体 内 部 ；不 同 点 ： 源 不 同 。 静 电 场 的 源 为 静 止 电 荷 ， 恒 定 电 场 的 源 为 运 动 电 荷 。 存 在 区 域 不 同 。 静 电 场 只 能 存 在 于 导 体 外 ， 恒 定 电 场 可 以 存 在 于 非 理 想 导 体 内 。 当 恒 定 电 流 场 与 静 电 场 的 边 界 条 件 相 同 时 ， 电流 密 度 的 分 布 与 电 场 强 度 的 分 布 特 性 完 全 相 同可 以 利 用 已 经 获 得 的 静 电 场的 结 果 直 接 求 解 恒 定 电 流 场 可 用 边 界 条 件 与 静 电 场 相 同 的电 流 场 来 研 究 静 电 场 的 特 性静 电 比 拟 例 如 ， 两 电 极 间 的 电 流 场 与 静 电 场 对 应 分 布 如 下 图 示 ： P N电 流 场 P N静 电 场那 么 ， 利 用 已 经 获 得 的 静 电 场 结 果 可 以 求 解 恒 定 电 流 场 。 静 电 场 与 恒 定 电 场 的 对 偶 关 系 4.4 电 阻 的 计 算S Sl lD ds E dsqC U E dl E dl l lS SE dl E dlUR I J ds E ds 一 、 电 介 质 隔 开 的 导 体 之 间 漏 电 阻 的 计 算 CRC G 若 已 知 两 电 极 之 间 的 电 容 ， 根 据 上 述 两 式 ， 即 可 求 得 两 电极 间 的 电 阻 及 电 导 。 例 如 ， 已 知 面 积 为 S ， 间 距 为 d 的 平 板 电 容 器 的 电容 ， 若 填 充 的 非 理 想 介 质 的 电 导 率 为 ， 则 平板 电 容 器 极 板 间 的 漏 电 导 为 dSC dSdSG 又 知 单 位 长 度 内 同 轴 线 的 电 容 。 那 么 ， 若 同 轴线 的 填 充 介 质 具 有 的 电 导 率 为 ， 则 单 位 长 度 内 同 轴 线的 漏 电 导 )/ln(21 abC 1 2 ln( / )G b a 1R G如 果 同 轴 线 的 长 度 为 l， 总 的 漏 电 阻 为 R/l 二 、 特 定 等 位 面 之 间 导 体 材 料 电 阻 的 计 算RUI EJ RIU JE(1) 假 设 两 电 极 间 流 过 的 电 流 I,然 后 按(2) 假 设 两 电 极 的 电 压 U， 然 后 按的 步 骤 计 算 。计 算 步 骤 ： 的 步 骤 计 算 。 例 2 设 一 段 环 形 导 电 媒 质 ， 其 形 状 及 尺 寸 如 图 示 。 计算 两 个 端 面 之 间 的 电 阻 。 Uy xt a br 0(r,)0 解 显 然 ， 必 须 选 用 圆 柱 坐 标 系 。设 两 个 端 面 之 间 的 电 位 差 为 U，且 令 当 角 度 时 ， 电 位 。0 01 当 角 度 时 ， 电 位 。2 U 2那 么 ， 由 于 导 电 媒 质 中 的 电 位 仅 与 角 度 有 关 ， 因此 电 位 满 足 的 方 程 式 为 0dd 22 此 式 的 通 解 为 21 CC 利 用 给 定 的 边 界 条 件 ， 求 得 U2 rUr 2eeEJ 导 电 媒 质 中 的 电 流 密 度 J 为 那 么 由 的 端 面 流 进 该 导 电 媒 质 的 电 流 I 为 2 )d (2d rtrUI S eeSJS abUtrrUt ba ln2d2 因 此 该 导 电 块 的 两 个 端 面 之 间 的 电 阻 R 为 abtIVR ln2 例 ： 电 导 率 为 的 无 界 均 匀 电 介 质 内 ， 有 两 个 半 径 分 别 为 R1和 R2的 理 想 导 体 小 球 ， 两 球 之 间 的 距 离 为 d(d R1 ， d R2)， 试 求 两 小 导 体 球 面 间 的 电 阻 。 解 : 此 题 可 采 用 静 电 比 拟 的 方 法 求 解 。v假 设 两 小 球 分 别 带 电 荷 q和 -q， 由 于 两 球 间 的 距 离 dR1 、dR2 ， 可 近 似 认 为 小 球 上 的 电 荷 均 匀 分 布 在 球 面 上 。v由 电 荷 q和 -q的 电 位 叠 加 求 出 两 小 球 表 面 的 电 位 差 ， 即 可 求得 两 小 导 体 球 面 间 的 电 容 ，v再 由 静 电 比 拟 求 出 两 小 导 体 球 面 间 的 电 阻 。 由 静 电 比 拟 ， 得 到 两 小 导 体 球 面 间 的 电 导 为1 1 21 1( )4q R d R 2 2 11 1( )4q R d R 1 2 1 2 1 241 1 1 1qC R R d R d R 两 小 球 表 面 的 电 位 为 两 小 导 体 球 面 间 的 电 容 为1 2 1 1 241 1 1 12IG R R d R d R 故 两 个 小 导 体 球 面 间 的 电 阻 为1R G 一 、 矢 量 磁 位 的 引 入 0B ( ) 0A ( )B A r 式 中 ： 称 为 恒 定 磁 场 的 矢 量 磁 位 。( )A r 引 入 矢 量 磁 位 的 意 义 ： 引 入 辅 助 函 数 ， 可 通 过 间 接 求 解 方 法 求解 空 间 磁 场 分 布 ， 简 化 电 磁 问 题 求 解 。 4.5 矢 量 磁 位 与 标 量 磁 位Vector and scalar Magnetic potential1、 矢 量 磁 位 的 定 义 具 有 普 遍 性 ， 既 适 用 于 静 磁 场 也适 用 于 时 变 场 ( )A r 2、 矢 量 磁 位 不 是 唯 一 的 。 事 实 上 ， 若 是 任 意 连 续 可 微的 标 量 函 数 ， 令 ， 显 然 有 ； ( ) ( ) ( )A r A r r ( ) ( ) ( ) ( )A r A r r A r B 说 明 ： 而 ： 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0A r A r rA r A r r 上 式 表 明 ： 和 为 性 质 不 同 的 两 种 矢 量 场 。 这 意 味 着满 足 的 有 无 限 多 个 。( )A r ( )A r ( )B A r ( )A r 3、 为 了 确 定 矢 量 磁 位 的 空 间 分 布 ， 还 需 规 定 矢 量 磁 位 的 散 度这 种 新 引 入 的 限 定 条 件 称 为 规 范 条 件 。在 恒 定 磁 场 中 ， 一 般 采 用 库 仑 规 范 条 件 ( ) 0A r 注 意 ： 规 范 条 件 是 人 为 引 入 的 限 定 条 件 ， 可 根 据 问 题 设 定 不同 的 规 范 条 件 。 为 任 意 标 量 场 ( )B A r 0B H 01 ( )H A r H J 0A J 2( )A A A 2 0( )A A J 0A 2 0A J 二 、 矢 量 磁 位 的 求 解 矢 量 泊 松 方 程在 直 角 坐 标 系 中 ， 矢 量 泊 松 方 程 可 分 解 为 三 个 标 量 泊 松 方 程 2 0 x xA J 2 0y yA J 2 0z zA J 体 电 流 、 面 分 布 电 流 和 细 导 线 电 流 回 路 产 生 的 矢 量 磁 位分 别 为 0 (4 S JA dS C CR 为 常 矢 量 ） 0 (4 S JA dl C CR 为 常 矢 量 ）0 (4 V JA dV C CR 为 常 矢 量 ） 1、 不 同 电 流 分 布 时 的 矢 量 磁 位 2 0 A在 无 源 区 中 ， = 0， 则 上 式 变 为 下 述 矢 量 拉 普 拉 斯 方 程 J说 明 ：E在 直 角 坐 标 系 中 ， 泊 松 方 程 及 拉 普 拉 斯 方 程 均 可 分 解为 三 个 坐 标 分 量 的 标 量 方 程 。E格 林 函 数 法 以 及 分 离 变 量 法 均 可 用 于 求 解 矢 量 磁 位 的 各 个 直 角 坐 标 分 量 所 满 足 的 标 量 泊 松 方 程 及 拉 普 拉 斯方 程 。E镜 像 法 也 可 适 用 于 求 解 恒 定 磁 场 的 边 值 问 题 。2、 无 源 区 的 矢 量 磁 位 说 明 ： 1、 矢 量 磁 位 的 方 向 与 电 流 的 方 向 相 同 。A J 2、 引 入 矢 量 磁 位 可 以 大 大 简 化 磁 场 的 计 算 。小 结 ： 求 解 磁 场 的 方 法1、 场 源 积 分 法 （ 毕 奥 萨 伐 尔 定 律 ）2、 非 齐 次 方 程 法 （ ) 2H J 3、 安 培 环 路 定 律4、 通 过 矢 量 磁 位 间 接 求 解 S B dS S lA dS A dl 其 中 l为 曲 面 S的 边 界三 、 利 用 矢 量 磁 位 求 磁 通 四 、 标 量 磁 位0J 式 中 标 量 m 称 为 标 量 磁 位 。0 B 0 m2 说 明 ： 1、 标 量 磁 位 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 。 这 样 ， 根 据 边 界 条件 ， 求 解 标 量 磁 位 满 足 的 拉 普 拉 斯 方 程 ， 可 得 标 量 磁 位 ，然 后 即 可 求 出 磁 感 应 强 度 。2、 标 量 磁 位 的 应 用 仅 限 于 无 源 区 。 0 H mH 无 源 区 中 磁 感 应 强 度 B 是 无 旋 的 ，可 以 表 示 为 一 个 标 量 场 的 梯 度令 scalar Magnetic potential 在 磁 场 作 用 下 ， 磁 介 质 将 产 生 磁 化 现 象 。一 、 磁 化 与 磁 化 强 度 矢 量 S imp1、 分 子 电 流 模 型v电 子 绕 核 运 动 ， 形 成 分 子 电 流 。v分 子 电 流 将 产 生 微 观 磁 场 。v分 子 电 流 的 磁 特 性 可 用 分 子 极 矩 表 示 。mm i S 4.6 物 质 的 磁 化 现 象电 子 运 动 形 成 的 微 观 电 流 分 子 电 流 所 围 面 元 2、 介 质 的 磁 化 现 象 磁 化 前v磁 化 前 ， 分 子 极 矩 取向 杂 乱 无 章 ， 磁 介 质 宏观 上 无 任 何 磁 特 性 。 B磁 化 后v磁 介 质 内 存 在 外 加 磁 场 时 ： 大 量 分 子 的 分 子 极 矩 取 向 与 外 加磁 场 趋 于 一 致 ， 宏 观 上 表 现 出 磁 特 性 。 这 一 过 程 即 称 为 磁 化 。3、 磁 化 强 度 矢 量 M 磁 化 强 度 矢 量 描 述 磁 介 质 被 磁 化 的 程 度 。 0lim iiV mM V 物 理 意 义 ： 单 位 体 积 内分 子 磁 矩 的 矢 量 和 。Magnetization Vector v磁 介 质 被 磁 化 后 ， 内 部 和 表 面 可 能 会 出 现 附 加 电 流 ， 称 这种 电 流 为 磁 化 电 流 （ 束 缚 电 流 ） 。v若 媒 质 的 磁 化 强 度 为 ， 则 ：M二 、 磁 化 电 流磁 化 电 流 体 磁 化 电 流 密 度面 磁 化 电 流 密 度 mJ M smJ M n 媒 质 表 面 外 法 向 方 向 1、 若 媒 质 被 均 匀 磁 化 ， 无 体 磁 化 电 流 ； 磁 化 电 流 只 会 出 现在 介 质 表 面 上 2、 磁 化 介 质 表 面 一 般 存 在 磁 化 电 流 ；3、 磁 化 电 流 仍 然 遵 循 电 流 守 恒 关 系 ；4、 若 在 磁 介 质 内 部 存 在 自 由 线 电 流 ， 则 在 自 由 电 流处 存 在 磁 化 线 电 流 。%说 明 ： 当 磁 介 质 中 存 在 磁 场 时 ： 0BmJ B 磁 介 质 中 的 磁 通 量 为 ：0 B B B 0BH M 磁 场 强 度 矢 量 ， 定 义H 三 、 磁 场 强 度 矢 量Magnetic field intensity一 般 介 质 被 磁 化 的 程 度 与 外 加 磁 场 强 度 成 正 比 ， 即 ： mM H 式 中 ： 为 磁 介 质 的 磁 化 率 （ 磁 化 系 数 ）m 0(1 )m H B 0r H B B H 磁 媒 质 本 构 关 系式 中 ： 称 为 媒 质 相 对 磁 导 率1r m 称 为 媒 质 磁 导 率(relative) permeability) 0r 0m BH H (relative) Permittivity 已 知 半 径 为 a， 长 度 为 l 的 圆 柱 形 磁 性 材 料 ， 沿 轴 线 方 向 获得 均 匀 磁 化 。 若 磁 化 强 度 为 M， 试 求 位 于 圆 柱 轴 线 上 距 离 远大 于 圆 柱 半 径 P点 处 由 磁 化 电 流 产 生 的 磁 感 应 强 度 。 x yzl P(0,0, z)0a sJ 解 取 圆 柱 坐 标 系 ， 令 z 轴 与 圆 柱轴 线 一 致 ， 如 图 示 。又 表 面 磁 化 电 流 密 度 nS e J M式 中 en 为 表 面 的 外 法 线 方 向 上 单 位 矢 。 因 ， 所以 表 面 磁 化 电 流 密 度 仅 存 在 于 圆 柱 侧 壁 ， 上 下 端 面 的 磁化 电 流 密 度 为 零 。 因 此 zMe MSJ 例 由 于 是 均 匀 磁 化 ， 磁 化 强 度 与 坐 标 无关 ， 因 此 ， ， 即 体 分 布 的磁 化 电 流 密 度 为 零 。 0 MJ n z rM M e e e e SJ Mx yzl P(0,0,z)zdz0asJ 显 然 ， 这 种 表 面 磁 化 电 流 在 侧 壁 上 形 成环 形 电 流 。 位 于 z 处 宽 度 为 dz 的 环 形 电 流为 ( dz) ， 那 么 该 环 形 电 流 在 轴 线 上 z 处 (z a)产 生 的 磁 感 应 强 度 dB 为 SJ zzz Ma z d)(2d 320 eB那 么 侧 壁 上 全 部 磁 化 电 流 在 轴 线 上 z 处 产 生 的 合 成 磁 感 应 强度 为 zzzMa lz d)( 12 0 320 eB 2220 1)( 14 zlzMaz e 计 算 电 流 环 产 生 的 Bx yzl P(0,0,z)zdz0asJ S SIdl J dz dl J dz ad e z rR z z e a e 0 34 Idl RdB R 20 22 3/20 20 30 20 302 20 03 34 ( )44 24 2 S z z rz z rS r zS z z J dz ad e z z e a ea z zd e z z e a ea J dz z zd e z z a ea J dz z za aMdz e Mdz e z z z z z-za 4.11 磁 介 质 中 磁 场 的 边 界 条 件Boundary conditions for magnetic fields in magnetic material 21 2 2B H n2 1 1 1B H 三 、 分 界 面 上 无 自 由 电 流 时 的 折 射 关 系1 2n nB B 1 2t tH H 1 1 2 21 1 2 2cos cossin sinB BH H 1 21 2tan tan 1 12 2tantan 媒 质 两 边 磁 场 方 向 与 媒 质 特 性 相 关 。Boundary conditions for tangential components of HBoundary conditions for normal components of B r 若 媒 质 2为 空 气 ， 媒 质 1为 铁 磁 媒 质 。 即 ： 2 11 1r r ，1 12 2tan 1tan 2 0 物 理 意 义 ： 磁 场 由 铁 磁 体 物 体 穿 出 进 入 一 个 非 磁 性 物 质 的 区域 时 ， 磁 场 几 乎 垂 直 于 铁 磁 体 物 质 的 表 面 。 在 铁 磁 媒 质 表 面 ，磁 场 方 向 与 表 面 垂 直 。 2 11 1r r ，2 90 r 若 媒 质 1为 空 气 ， 媒 质 2为 铁 磁 媒 质物 理 意 义 ： 磁 场 由 非 磁 性 物 质 穿 出 进 入 一 个 铁 磁 体 物 体 的 区域 时 ， 对 任 意 一 个 不 接 近 零 的 角 度 1， 在 磁 体 媒 质 中 的 磁 场几 乎 与 分 界 面 平 行 。 21 mm 1 21 2m mn n 五 、 A和 m的 边 界 条 件( )B A r 1 2n nB B 1 2t tA A A在 分 界 面 上 切 向 分 量 连 续0J H 1t=H 2tB1n=B2n 无 限 长 线 电 流 位 于 z轴 ， 介 质 分 界 面 为 水 平面 ， 求 空 间 的 分 布 和 磁 化 电 流 分 布 。B xz 10I分 析 ： 电 流 呈 轴 对 称 分 布 。 可 用 安 培 环路 定 律 求 解 。 磁 场 方 向 沿 方 向 。e解 ： 磁 场 方 向 与 边 界 面 相 切 ， 由 边 界 条 件 知 ， 在 分 界 面两 边 ， 连 续 而 不 连 续 。H B由 安 培 环 路 定 律 ： C H dl I 2H r I 2IH er 01 ( 0)2 ( 0)2 I e zrB H I e zr 例 题 4 求 磁 化 电 流 ：介 质 磁 化 强 度 为 ： 1 00 0( )2 IBM H er 体 磁 化 电 流 为 ： 0r z m r ze eer rJ M r zM rM M 面 磁 化 电 流 为 ： 1 0 1 0 0 0( ) ( )2 2sm z rI IJ M n e e er r 在 介 质 内 r=0位 置 ， 还 存 在 磁 化 线 电 流 Im。 由 安 培 环 路 定 律 ，有 ： 0 0 0( 1)m l lm rB HI I dl dl II I 1 0 10( ) ( 1)m sm rII I I 分 析 :可 由 电 流 守 恒 的 关 系 求 如 图 ， 铁 心 磁 环 尺 寸 和 横 截 面 如 图 ， 已 知 铁心 磁 导 率 ， 磁 环 上 绕 有 N匝 线 圈 ， 通有 电 流 I。求 :(1)磁 环 中 的 ， 。 (2)若 在 铁 心 上 开 一 小 切 口 ， 计 算 磁 环 中的 ， 。 B0 HB H NI ba d h0r0r d解 ： (1)由 安 培 环 路 定 律 ， 在 磁 环 内 取 闭 合积 分 回 路 ， 则 可 得 C H dl I 2H r NI 2NIH er 2NIB H er 例 题 5 NI ba 0r t (2)开 切 口 后 ， 在 切 口 位 置 为 边 界 问 题 。在 切 口 处 ， 磁 场 垂 直 于 边 界 面 ， 由 边 界 条件 知 在 分 界 面 上 连 续 ， 大 小 为 B, 不 连续 。 设 环 内 外 的 H分 别 为 H1、 H 2B H由 安 培 环 路 定 律 ， 在 磁 环 内 取 闭 合 积 分回 路 ， 则 可 得 C H dl I 1 20(2 )(2 )H r t H t NIB Br t t NI 0(2 )/ / 2 ( 1)rNI NIB e er t t r t 由 于 铁 心 很 细 ， 可 近 似 认 为 磁 力 线 均 匀 分 布 在 截 面 上 。 02 ( 1)rNIB er t 02 ( 1)rB NIH er t 内 0 02 ( 1)r rNIBH er t 外 02 ( 1)rNIB S hdr t v在 各 向 同 性 线 性 媒 质 中 ， 穿 过 任 意 电 流 回 路 的 磁 通 量 与 回 路电 流 强 度 成 正 比 。一 、 电 感 的 定 义v电 感 定 义 ： 穿 过 某 电 流 回 路 的 磁 通 量 与 回 路 中 电 流 强 度 之 比称 为 电 感 （ 电 感 系 数 ） ， 用 L表 示 ， 即 ：L I 4.12 电 感 Inductanceq L 称 为 回 路 的 电 感 ， 单 位 为 H （ 亨 利 ） 。 由 该 定 义 可 见 ，电 感 又 可 理 解 为 与 单 位 电 流 交 链 的 磁 通 链 。q 在 线 性 媒 质 中 ， 单 个 回 路 的 电 感 仅 与 回 路 的 形 状 及 尺 寸有 关 ， 但 与 回 路 中 电 流 无 关 。说 明 ： q 若 回 路 由 N匝 线 圈 绕 成 ， 则 线 圈 的 总 磁 通 量 为 各 单匝 线 圈 磁 通 量 之 和 ， 称 为 磁 链 。 若 N匝 线 圈 密 绕 ， 回路 总 磁 通 量 为 ： N 为 单 匝 线 圈 磁 通 量 若 有 两 个 回 路 存 在 ， 如 图 示 。与 回 路 电 流 I1交 链 的 磁 通 链 是 由 两部 分 磁 通 形 成 的 ， 其 一 是 I1本 身 产生 的 磁 通 形 成 的 磁 通 链 11， 另 一 是电 流 I2 在 回 路 I1中 产 生 的 磁 通 形 成的 磁 通 链 12 。 dl10z yx dl2l2l1 I2I1r2 - r1r2r1同 理 ， 与 回 路 电 流 I2 交 链 的 磁 通 链 是 由 本 身 产 生 的 磁 通 链 22 和 电 流 I1在 回 路 l2中 产 生 的 磁 通 链 21 共 同 形 成 的 ， 即12111 22212 二 、 自 感 与 互 感 21212 IM L11， L22分 别 称 为 回 路 l1、 l2的 自 感 ， 若 周 围 媒 质 是 线 性 的 ， 则 比 值 ， 及 均为 常 数 ，令 1 11I 212I222I 121I11111 IL 22222 IL 12121 IM M12 、 M21分 别 称 为 回 路 l2 对 L1、 l1对 l2的 互 感 。说 明 ： 若 回 路 导 线 直 径 较 粗 ， 则i oL L L 式 中 ： 为 回 路 内 自 感 ， 即 导 体 内 部 磁 场 与 部 分 电 流 交 链 所 形成 电 感 。 iL 为 回 路 外 自 感 ， 即 导 体 外 磁 场 与 回 路 交 链 所 形 成 电 感 。 oL 三 、 互 感 的 计 算 1212 12 12 22M M II 1 112 2 2 1 2 1S SM I B dS A dS 112 2 2 1lM I A dl 2 22 2214( )l IA dlR 2 1 212 2 1 2214 l l IM I dl dlR 2 1 1 212 214 l l dl dlM R 诺 伊 曼 公 式 2112 MM 1、 互 感 具 有 互 易 关 系 ， 即 2、 若 dl1与 dl2处 处 保 持 垂 直 ， 则 互 感 ； 若处 处 保 持 平 行 ， 则 互 感 M 值 达 到 最 大 。 如 果 需 要 增 强两 个 线 圈 之 间 的 耦 合 ， 应 彼 此 平 行 放 置 ； 若 要 避 免 两 个线 圈 相 互 耦 合 ， 则 应 相 互 垂 直 。 02112 MM3、 互 感 可 正 可 负 ， 其 值 正 负 取 决 于 两 个 线 圈 的 电 流 方 向 ，但 电 感 始 终 应 为 正 值 。 若 互 磁 通 与 原 磁 通 方 向 相 同 时 ，则 使 磁 通 链 增 加 ， 互 感 应 为 正 值 ； 反 之 ， 若 互 磁 通 与 原磁 通 方 向 相 反 时 ， 则 使 磁 通 链 减 少 ， 互 感 为 负 值 。四 、 自 感 与 互 感 的 特 点 ： 五 、 计 算 电 感 的 一 般 步 骤 ：1） 假 设 回 路 中 通 有 电 流 I；2） 求 出 磁 感 应 强 度 B或 矢 量 磁 位 A；3） 计 算 与 回 路 交 链 的 磁 通 ；4） 由 磁 通 与 电 流 的 比 值 求 出 电 感 。 分 析 ： 内 导 体 为 粗 导 体 ， 故 内 导 体 存 在内 自 感 。 因 此 同 轴 线 自 感 由 同 轴 线 内 自感 和 内 外 导 体 间 互 感 组 成 。设 同 轴 线 内 导 体 载 流 为 I， 则 由 安 培 环 路 定 律 ， 知 0 20 ( )2 ( )2 Ir e r aaB I e a r br 求 同 轴 线 单 位 长 度 的 自 感 。 设 同 轴 线 内 径 为 a， 外 径 为 b， 内外 导 体 间 为 真 空 。 导 体 磁 导 率 为 0例 题 6解 ： 同 轴 线 单 位 长 度 自 感 由 内 导 体 内 自 感 和 内 外 导体 互 感 构 成 。 即 ： i oL L L bcr cbaO dr II ea IO a IO如 图 ， 在 内 导 体 内 半 径 为 r处 取 一 长为 单 位 长 度 ， 宽 为 dr的 矩 形 面 元 ， 则通 过 该 面 元 的 磁 通 为 ： 0 22i Ird B dS dra 令 与 所 交 链 的 电 流 为 I,可 知d 2 22 2 I IrI ra a 若 将 整 个 内 导 体 电 流 看 作 1匝 ， 则 与 交 链 的 电 流 匝 数 为 d22 ( )I rN I a 匝 先 求 Li bcr cbaO dr II e 由 磁 链 定 义 ， 知 与 对 应 的 磁 链 为 ：d 30 42i i Ird Nd dra 整 个 内 导 体 单 位 长 度 的 内 磁 链 为 30 040 2 8ai i Ir Id dra 08iiL I 故 内 导 体 单 位 长 度 的 内 自 感 为内 外 导 体 间 单 位 长 度 磁 链 为 ：0 0 ln2 2bo a I I bdrr a 0 ln2oo bL I a 0 0 ln8 2 i o bL L L a 求 Lo 求 双 传 输 线 单 位 长 度 自 感 。 设 导 线 半 径 为 a， 导 线 间 距 为 D。 (Da) y xDI Idxx D x分 析 ： 导 线 为 细 导 线 ， 故 只 需 考 虑 导体 间 的 互 感 。解 ： 由 安 培 环 路 定 律 ， 可 以 求 得 在导 体 间 ： 1 2B B B 0 0 ( ) ( )2 2 ( )y yI Ie ex D x 则 导 体 间 单 位 长 度 的 磁 通 量 为 0 ln ln( )2D a D aaa IB dx x D x 0 lnI D aa 0 ln D aL I a 例 题 7 一 、 电 流 回 路 系 统 的 磁 场 能 量 N个 回 路 系 统 ， i回 路 自 感 为 Lii， i回 路 与 j回 路 间 互 感 为 Lij， i回 路 电 流 为 Ii， 则 磁 回 路 系 统 的 磁 场 能 量 为 :1 112 N Nm ij i ji iW L I I 讨 论 ： 1、 若 回 路 为 单 回 路 系 统 ， 则 212 mW LI 4.13 磁 场 能 量 Energy in a magnetic field考 虑 到 回 路 电 感 ， 则 电 流 为 I 的 单 个 回 路 周 围 的 磁场 能 量 又 可 表 示 为 IL IW 21m 式 中 为 与 电 流 I 交 链 的 磁 通 链 。 2、 若 电 流 为 体 电 流 分 布 ， 则 其 在 空 间 中 产 生 的 磁 能 为 ：12m VW J AdV 式 中 ： 为 体 电 流 在 dV处 产 生 的 磁 位 。 V为 整 个 空 间 。 A J说 明 ：q 是 恒 定 磁 场 的 总 能 量 ， 且 只 适 用 于 恒 定 磁 场 ；q 不 是 磁 场 能 量 密 度 ， 因 为 的 地 方 也 存 在 磁 场 能 量 。12 m VW J AdV 12 J A 若 回 路 为 双 回 路 系 统 ， 则2 211 1 12 1 2 21 2 1 22 21 1 1 12 2 2 2mW L I M I I M I I L I 2 211 1 12 1 2 22 21 12 2L I M I I L I 12m VW J AdV 12 V H AdV ( ) ( ) ( )A B A B B A 1 1) )2 2V VH A dV H A dV ( ( 221 1 ( ) 0A H dS R RR RH A dS 12m VW H BdV 磁 场 能 量1 1)2 2S VH A dS H BdV ( 二 、 磁 能 密 度 Magnetic Energy density 定 义 ： 磁 能 密 度 为 12mw B H m eVW w dV 三 、 利 用 磁 能 求 回 路 电 感 22 22 212 1m Vm WL H dVI IW LI 2 21 12 2mw H B 对 于 线 性 均 匀 媒 质 ， a0解 ： 设 导 体 内 电 流 为 I， 则 由 安 培 环 路 定 律0 2 ( )2 IrB e r aa 则 导 体 内 单 位 长 度 磁 能 为 2 22 202 4 0 01 12 2 4m V VIW B dV r dVa 2 2 202 4 001 22 4 aI r rdra 2016I 022 8mWL I 例 题 8求 半 径 为 a的 无 限 长 直 导 线 单 位 长 度 内 自 感 。 利 用 虚 位 移 法 来 计 算 磁 场 力 。 在 N个 电 流 回 路 系 统 中 ， 假 定 第 i个 回 路 在 磁 场 力 的 作 用 下 产 生 一 个 虚 位 移 xi 。 如 果 ， 磁 场 力做 功 Fi xi， 系 统 的 能 量 增 加 Wm ， Ws是 与 各 电 流 回 路 相 连接 的 外 电 源 提 供 的 能 量 。 根 据 能 量 守 恒 定 律 ， 有 Ws=Fi xi+ Wm具 体 计 算 过 程 中 ， 可 假 定 各 回 路 电 流 维 持 不 变 ， 或 假 定 与各 回 路 交 链 的 磁 通 维 持 不 变 。各 回 路 电 流 不 变在 这 种 情 况 下 ， 与 各 电 流 回 路 相 连 接 的 电 源 提 供 的 能 量 为 Ni iiS IW 1 4.14 磁 场 力 Magnetic force基 本 思 路 ： 而 系 统 增 加 的 磁 能 为 : Ni iim IW 121 mS WW 2 不 变Iimi xWF Ws=Fi xi+ Wm 各 回 路 的 磁 通 不 变 magnetic flux在 这 种 情 况 下 ， 与 各 电 流 回 路 相 连 接 的 电 源 提 供 的 能 量 。不 变imi xWF Ws=Fi xi+ WmWs 0注 意 ： 已 规 定 广 义 力 的 方 向 为 广 义 坐 标 的 增 加 方 向 。 因 此 ，如 果 按 照 上 述 公 式 求 得 的 广 义 力 数 值 为 负 ， 则 表 明 广 义 力 的实 际 方 向 为 广 义 坐 标 的 减 小 方 向 。磁 场 力 的 应 用 比 电 场 力 更 为 广 泛 ， 而 且 力 量 更 强 。 例 如 ， 电 磁铁 、 磁 悬 浮 轴 承 以 及 磁 悬 浮 列 车 等 ， 都 是 利 用 磁 场 力 的 作 用 。 计 算 无 限 长 的 载 流 导 线 与 矩 形 电 流 环 之 间 的 作 用 力 。电 流 环 的 尺 寸 及 位 置 如 图 示 。abD0I1 I2 解 利 用 虚 位 移 方 法 ， 且 设 位 移 过 程 中电 流 不 变 ， 则 导 线 与 电 流 环 之 间 的 相 互作 用 力 为 m .I ConWF l 2211m 2121 IIW 式 中 例 9 2221212 2121111 ILIM IMIL MMM 2112 MIILILIW 2122221121m 2121 取 广 义 坐 标 l 为 间 距 D， 因 L11及 L22 与 D无 关 ， 因 此 相 互 作 用力 为 DMIIF 21 DbDaM ln20 DbD abIIF )(2 021 式 中 负 号 表 明 ， 作 用 力 的 实 际 方 向 为 间 距 D 减 小 方 向 ，这 就 意 味 着 F 为 吸 引 力 。 若 两 个 电 流 之 一 的 方 向 与 图示 方 向 相 反 ， 则 M 为 负 ， F 0， 表 明 F 为 排 斥 力 。 计 算 电 磁 铁 的 吸 引 力 。 设 磁 铁 的 端 面 为 S， 气 隙 长 度 为 l ，气 隙 中 的 磁 感 应 强 度 为 B0 ， 如 图 示 。 B0S Il 解 由 于 铁 芯 可 以 近 似 当 作 理 想导 磁 体 ， 铁 芯 中 的 磁 场 强 度 为 零 ，因 而 铁 芯 中 没 有 磁 能 分 布 。 这 样 ，电 磁 铁 产 生 的 磁 场 能 量 可 以 近 似地 认 为 仅 分 布 在 两 个 气 隙 中 ， 因此 总 磁 能 Wm 为 020020m 212 SlBSlBW 又 知 气 隙 中 的 磁 通 ， 代 入 上 式 得 SB0 SlW 02m 由 此 可 见 ， 为 了 计 算 电 磁 铁 的 吸 引 力 ， 将 系 统 当 作 常 磁 通系 统 较 为 简 便 。 例 10 02002m SBSlWF 常 数最 后 求 得式 中 负 号 表 明 F 为 吸 引 力 。 由 此 结 果 还 可 见 ， 电 磁 铁 的吸 力 与 磁 铁 的 横 截 面 面 积 及 气 隙 中 磁 感 应 强 度 的 平 方 成正 比 。 稳 恒 电 流恒 定 电 场 恒 定 电 场基 本 方 程边 界 条 件力能 量极 化电 阻 电 感磁 化第 四 章 总 结 电 流 及 电 流 强 度tqI ddd dI J S dSI J S J E 电 流 连 续 性 原 理( ) V VJ dV dVt 0J t 电 流 连 续 性 方 程 积 分 形 式 恒 定 电 流 场 的 基 本 方 程 0S dSJ0 E 0 J l 0d lE 散 度 方 程 : 旋 度 方 程 : 0 S B dS 0B H J C H dl I 微 分 方 程 积 分 方 程恒 定 磁 场 是 有 旋 无 散 场 ， 是 非 保 守 场 ， 电 流 为 磁 场 的 漩 涡 源 。磁 感 应 线 是 闭 合 曲 线 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程恒 定 电 场 是 有 散 无 旋 场 ， 是 保 守 场 ， 电 流 为 散 度 源 源 。 恒 定 电 流 场 的 边 界 条 件1 2t tE E 2t21t1 JJ 1 2n nJ J 2 12 1n n 1 2 0 1 21 21 21 1( ) ( )t t sA AA A J 1 21 2 0( ) SB n B nn H H J 1 22 1t t sn nH H JB B 磁 介 质 中 磁 场 的 边 界 条 件 恒 定 电 流 场 的 能 量 损 耗 22 JEEJpl JElp 磁 场 能 量 和 磁 场 力 12m VW J AdV 12m VW H BdV 2 21 1 12 2 2 mw B H H B 212mW LI 1 2mW MI I电 流 系 统 的 磁 能磁 场 能 量能 量 密 度电 感 器 的 磁 能电 流 系 统 的 磁 能 L I电 感 21212 IM 12121 IM 2 1 1 212 214 l l dl dlM R 自 感互 感互 感 的 计 算 矢 量 磁 位 和 标 量 磁 位( )B A r 2 0A J 04 S JA dS CR 04 C JA dl CR 04 V JA dV CR 在 线 性 、 各 向 同 性 的 无 限 大 介 质 中 ， 矢 量 磁 位 为体 分 布 电 流面 分 布 电 流线 分 布 电 流 0m2 0 m B标 量 磁 位标 量 磁 位 满 足 的 微 分 方 程 矢 量 磁 位 与 静 电 位 的 公 式矢 量 磁 位 静 电 位 0 B 0 E B A E 2 A J 2 ( )( ) d4 J rA r r r 1 ( )( ) d4 rr r r 1 2A A 1 2 1 21 21 1( ) S n A A J 2 12 1 Sn n 线 性 、 各 向 同 性 媒 质 中 恒 定 磁 场 与 静 电 场 的 对 比 掌 握 恒 定 电 场 、 磁 场 的 基 本 方 程 与 边 界 条 件 ， 熟 悉 恒 定电 场 、 磁 场 的 基 本 性 质 ， 熟 练 运 用 高 斯 定 理 、 安 培 环 路 定律 求 解 具 有 一 定 对 称 性 分 布 的 电 场 、 磁 场 。 理 解 介 质 极 化 、 磁 化 的 概 念 ， 对 于 介 质 的 磁 化 电 流 和 极化 电 流 的 概 念 应 有 清 楚 地 了 解 ， 并 会 计 算 极 化 、 磁 化 电 流地 分 布 。 位 函 数 对 求 解 磁 场 分 布 起 着 重 要 的 作 用 ， 应 深 刻 理 解 电位 、 矢 量 磁 位 和 标 量 磁 位 的 定 义 ， 掌 握 它 们 所 满 足 的 微 分方 程 和 边 界 条 件 ， 并 会 利 用 矢 量 磁 位 和 标 量 磁 位 求 解 一 些简 单 的 磁 场 分 布 问 题 。 要 深 刻 理 解 电 容 和 电 场 能 量 、 自 感 、 互 感 和 磁 场 能 量 的概 念 ， 掌 握 其 计 算 方 法 ， 会 计 算 电 场 能 量 、 磁 场 能 量 以 及电 场 力 、 磁 场 力 。 本 章 要 求