车辆材料力学－第7章

材 料 力 学Mechanics of materials 在 平 面 弯 曲 的 情 形 下 ， 梁 上 的 任 意 微 段 的 两 横 截 面 绕中 性 轴 相 互 转 过 一 角 度 ， 从 而 使 梁 的 轴 线 弯 曲 成 平 面 曲 线 ，这 一 曲 线 称 为 梁 的挠度曲线（ deflection curve） 。 根 据 上 一 章 所 得 到 的 结 果 ，弹 性 范 围 内 的 挠 度 曲 线 在 一 点的 曲 率 与 这 一 点 处 横 截 面 上 的弯 矩 、 弯 曲 刚 度 之 间 存 在 下 列关 系 ： EIM1 横 截 面 形 心 处 的 铅 垂 位 移 ， 称 为挠度（ deflection） ， 用 w表 示 ；变 形 后 的 横 截 面 相 对 于 变 形 前 位 置 绕 中 性 轴 转 过 的 角 度 ，称 为 转 角 （ slope） ， 用 表 示 ； 横 截 面 形 心 沿 水 平 方 向 的 位 移 ， 称 为轴向位移或水平位移（ horizontal displacement） ， 用 u表 示 。 在 小 变 形 情 形 下 ， 上 述 位 移 中 ， 水 平 位 移 u与 挠 度 w相比 为 高 阶 小 量 ， 故 通 常 不 予 考 虑 。 在 Oxw坐 标 系 中 ， 挠 度 与 转 角 存在 下 列 关 系 ： 在 小 变 形 条 件 下 ， 挠 度 曲 线 较 为平 坦 ， 即 很 小 ， 因 而 上 式 中 tan。于 是 有 tandd xw xwddw w（ x） ， 称 为 挠 度 方 程 （ deflection equation） 。 机 械 传 动 机 构 中 的 齿 轮 轴 ， 当 变 形 过 大 时(图 中 虚 线 所 示 )， 两 齿 轮 的 啮 合 处 将 产 生 较 大 的挠 度 和 转 角 ， 这 就 会 影 响 两 个 齿 轮 之 间 的 啮 合 ，以 致 不 能 正 常 工 作 。 同 时 ， 还 会 加 大 齿 轮 磨 损 ， 同 时 将 在 转 动的 过 程 中 产 生 很 大 的 噪 声 。 此 外 ， 当 轴 的 变 形 很 大 时 ， 轴 在 支 承 处 也将 产 生 较 大 的 转 角 ， 从 而 使 轴 和 轴 承 的 磨 损 大大 增 加 ， 降 低 轴 和 轴 承 的 使 用 寿 命 。 EIMxw 22ddEIMxw 22dd 00dd 22 Mxw ,00dd 22 Mxw , 采 用 向 下 的 w坐 标 系 ， 有 EIMxw 22dd 梁 的 弯 曲 挠 度 与 转 角方 程 ， 以 及 最 大 挠 度 和 最 大 转角 。 左 端 固 定 、 右 端 自由 的 悬 臂 梁 承 受 均 布 载 荷 。 均布 载 荷 集 度 为 q ， 梁 的 弯 曲 刚度 为 EI 、 长 度 为 l。 q、 EI 、 l均 已 知 。 建 立 Oxw坐 标 系 （ 如 图 所 示 ） 。 因 为 梁 上 作 用 有 连 续 分布 载 荷 ， 所 以 在 梁 的 全 长 上 ， 弯 矩 可 以 用 一 个 函 数 描 述 ， 即无 需 分 段 。 从 坐 标 为 x的 任 意 截 面 处 截 开 ， 因 为 固 定 端 有 两 个 约 束力 ， 考 虑 截 面 左 侧 平 衡 时 ， 建 立 的 弯 矩 方 程 比 较 复 杂 ， 所 以考 虑 右 侧 部 分 的 平 衡 ， 得 到 弯 矩 方 程 ： 21( ) 02M x q l x x l x 21( ) 02M x q l x x l 将 上 述 弯 矩 方 程 代 入 小 挠 度 微 分 方 程 ， 得 2 12EIw M q l x 积 分 后 ， 得 到 2 12EIw M q l x 31 6EIw EI q l x C 4124EIw q l x Cx D 固 定 端 处 的 约 束 条 件 为 ： 31 6EIw EI q l x C 4124EIw q l x Cx D 0 0 x w ， d0 0dwx x ， =3 3,624qlC qlD 31 6EIw EI q l x C 4124EIw q l x Cx D 3 3,624qlC qlD 3 36q l x lEI 4 3 4424qw l x l x lEI 3 36q l x lEI 4 3 4424qw l x l x lEI 从 挠 度 曲 线 可 以 看 出 ， 在 悬 臂 梁 自 由 端 处 ， 挠 度 和转 角 均 为 最 大 值 。 于 是 ， 将 x = l， 分 别 代 入 挠 度 方 程 与 转 角 方 程 ， 得到 ： 3max 6B qlEI 4max 8B qlw w EI 加 力 点 B的 挠 度 和支 承 A、 C处 的 转 角 。简 支 梁 受 力 如图 所 示 。 FP、 EI、 l均 为 已知 。 因 为 B处 作 用 有 集 中 力 FP， 所 以 需 要 分 为 AB和 BC两 段建 立 弯 矩 方 程 。 首 先 ， 应 用 静 力 学 方 法 求 得梁 在 支 承 A、 C二 处 的 约 束 力 分 别如 图 中 所 示 。 在 图 示 坐 标 系 中 ， 为 确 定 梁 在 0 l/4范 围 内 各 截 面 上 的弯 矩 ， 只 需 要 考 虑 左 端 A处 的 约 束 力 3FP/4； 而 确 定 梁 在 l/4l范 围 内 各 截 面 上 的 弯 矩 ， 则 需 要 考 虑 左 端 A处 的 约 束 力3FP/4和 荷 载 FP。 于 是 ， AB和 BC两 段 的 弯 矩 方 程 分 别 为 1 P3 04 4lM x F x x 2 P P34 4 4l lM x F x F x x l 2 1 1 P2d 3 0d 4 4w lEI M x F x xx 1 P3 04 4lM x F x x 2 P P34 4 4l lM x F x F x x l 2 2 2 P P2d 3d 4 4 4w l lEI M x F x F x x lx 积 分 后 ， 得 2 1 1 P2d 3 0d 4 4w lEI M x F x xx 2 2 2 P P2d 3d 4 4 4w l lEI M x F x F x x lx 12P1 83 CxFEI 22P2P2 42183 ClxFxFEI 113P1 81 DxCxFEIw 223P3P2 46181 DxClxFxFEIw 其 中 ， C1、 D1、 C2、 D2为 积 分 常 数 ， 由 支 承 处 的 约 束 条 件 和AB段 与 BC段 梁 交 界 处 的 连 续 条 件 确 定 。 12P1 83 CxFEI 22P2P2 42183 ClxFxFEI 113P1 81 DxCxFEIw 223P3P2 46181 DxClxFxFEIw 在 支 座 A、 C两 处 挠 度 应 为 零 ， 即x 0， w1 0; x l， w2 0 因 为 ， 梁 弯 曲 后 的 轴 线 应 为 连 续 光 滑 曲 线 ， 所 以 AB段 与 BC段 梁 交 界 处 的 挠 度 和 转 角 必 须 分 别 相 等 ， 即 x l/4， w 1 w2 ; x l/4， 1=2 12P1 83 CxFEI 22P2P2 42183 ClxFxFEI 113P1 81 DxCxFEIw 223P3P2 46181 DxClxFxFEIw x 0， w1 0; x l， w2 0 x l/4， w1 w2 ; x l/4， 1=2D1 D2 =0 2 P21 1287 lFCC 将 所 得 的 积 分 常 数 代 入 后 ,得到 梁 的 转 角 和 挠 度 方 程 为 ： 2 2P 3 78 128Fx x lEI xlxEIFxw 23P 128781 22 2P 3 1 78 2 4 128F lx x x lEI xllxxEIFxw 233P 128746181 据 此 ， 可 以 算 得 加 力 点 B处 的 挠 度 和 支 承 处 A和 C的 转 角分 别 为 EIlFw B 3P2563 2P7128A FlEI 2P5128B FlEI 确 定 约 束 力 ,判 断 是 否 需 要 分 段 以 及 分 几 段 分 段 建 立 挠 度 微 分 方 程 微 分 方 程 的 积 分 利 用 约 束 条 件 和 连 续 条 件 确 定 积 分 常 数 确 定 挠 度 与 转 角 方 程 以 及 指 定 截 面 的 挠 度 与 转 角 分 段 写 出 弯 矩 方 程 简 支 梁受 力 如 图 所 示 ， q、 l、EI均 为 已 知 。C截 面 的挠 度 wC ； B截 面 的转 角 B。 321 CCCC wwww 1.将 梁 上 的 载 荷 变为 三 种 简 单 的 情 形 。 1 2 3B B B B 2.由 挠 度 表 查 得 三 种 情 形下 C截 面 的 挠 度 和 B截 面 的 转 角 。EIqlw EIqlw EIqlwCCC 43 42 41 1614813845 , , ,EIql EIqlEIqlBBB 33 32 31 31161241 3. 应 用 叠 加 法 ， 将 简 单 载 荷作 用 时 的 结 果 分 别 叠 加 将 上 述 结 果 按 代 数 值 相 加 ，分 别 得 到 梁 C截 面 的 挠 度 和 支 座B处 的 转 角 : ,EIqlww i CiC 431 38411 EIql i BiB 331 4811 悬 臂 梁受 力 如 图 所 示 ， q、l、 EI均 为 已 知 。C截 面 的挠 度 wC和 转 角 C。 1. 首 先 ， 将 梁 上 的 载 荷变 成 有 表 可 查 的 情 形 为 了 利 用 挠 度 表 中 关 于 梁全 长 承 受 均 布 载 荷 的 计 算 结 果 ，计 算 自 由 端 C处 的 挠 度 和 转 角 ，先 将 均 布 载 荷 延 长 至 梁 的 全 长 ，为 了 不 改 变 原 来 载 荷 作 用 的 效果 ， 在 AB段 还 需 再 加 上 集 度相 同 、 方 向 相 反 的 均 布 载 荷 。 分 别 画 出 这 两 种 情 形 下 的挠 度 曲 线 大 致 形 状 。 于 是 ， 由挠 度 表 中 关 于 承 受 均 布 载 荷 悬臂 梁 的 计 算 结 果 ， 上 述 两 种 情形 下 自 由 端 的 挠 度 和 转 角 分 别为 再 将 处 理 后 的 梁 分 解为 简 单 载 荷 作 用 的 情 形 ， 计 算各 个 简 单 载 荷 引 起 的 挠 度 和 转角 两 种 情 形 下 自 由 端 的 挠 度 和 转角 分 别 为 再 将 处 理 后 的 梁 分 解 为 简单 载 荷 作 用 的 情 形 ， 计 算 各 个 简 单载 荷 引 起 的 挠 度 和 转 角41 4 32 2 218 1 12 128 48 2, ,CC B Bqlw EI l ql ql lw w EI EI EIqlEIql CC 32 31 48161 , 将 简 单 载 荷 作 用 的 结 果叠 加 ,EIqlww i CiC 421 38441 EIqli CiC 321 487 钢 制 圆 轴 ， 左 端 受 力 为 FP， FP 20 kN， a l m，l 2 m， E=206 G Pa， 其 他 尺 寸 如 图 所 示 。 规 定 轴 承 B处 的许 用 转 角 =0.5 。根 据 刚 度 要 求 确 定 该 轴 的 直 径 d。 B 根 据 要 求 ， 所 设 计 的 轴 直 径 必 须 使 轴 具 有 足 够 的 刚 度 ，以 保 证 轴 承 B处 的 转 角 不 超 过 许 用 数 值 。 为 此 ， 需 按 下 列 步骤 计 算 。 B EIlaFB 3P 由 挠 度 表 中 查 得 承 受 集 中 载 荷 的 外 伸 梁 B处 的 转 角 为 由 挠 度 表 中 查 得 承 受 集 中 载 荷 的 外 伸 梁 B处 的 转 角 为 B EIlaFB 3P B 根 据 设 计 要 求 ， 有 B根 据 设 计 要 求 ， 有 B 其 中 ， 的 单 位 为 rad（ 弧 度 ） ， 而 的 单 位 为 （ ） （ 度 ） ，考 虑 到 单 位 的 一 致 性 ， 将 有 关 数 据 代 入 后 ， 得 到 轴 的 直 径 111mmm10111m100.52063 10180212064 3-4 9 3 d 3-3=04-3=1lMA A BFAyFAx ql A BMA FAyFAx F B 5 3 26 3 3FBxMBBl AMA FAyFAx FByBl AMA FAyFAx FBxFBy FBxBl AMA FAyFAx FBy Bl AMA FAy FBy MBBl AMA FAyFAx FBxFBy MBBl AMA 0 ByBBBB FqM MBBl AMA B A l FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMA FAyFAx FB wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMA FAyFAx l B AMA FAyFAx FB FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIBl AMA FAyFAx FB 二 梁 的 受 力 (包 括 载 荷 与 约 束 力 )是 否 相 同 ？二 梁 的 弯 矩 是 否 相 同 ？二 梁 的 变 形 是 否 相 同 ？二 梁 的 位 移 是 否 相 同 ？ 正 确 回 答 这 些 问 题 ， 有 利 于 理 解 位 移 与 变 形 之 间 的相 互 关 系 。 FPA B C 试 根 据 连 续 光 滑 性 质 以 及 约 束 条 件 ， 画出 梁 的 挠 度 曲 线 的 大 致 形 状 试 根 据 连 续 光 滑 性 质 以 及 约 束 条 件 ， 画出 梁 的 挠 度 曲 线 的 大 致 形 状 Bl A MBFByMA FAy Bl AMA FAy MBFBy Bl A l A BMBFByMA FAy MBMA FByFAy FQc=0c=0F QC FQC MCMCl/2 A q C Bl/2qC Bl A q FPAB C D FPAB D AB C D AB D AB DT CAB C D T C 提 高 梁 的 刚 度 主 要 是 指 减 小 梁 的 弹 性 位 移 。 而 弹 性 位移 不 仅 与 载 荷 有 关 ， 而 且 与 杆 长 和 梁 的 弯 曲 刚 度 （ EI） 有关 。 对 于 梁 ， 其 长 度 对 弹 性 位 移 影 响 较 大 ， 例 如 对 于 集 中力 作 用 的 情 形 ， 挠 度 与 梁 长 的 三 次 方 成 比 例 ； 转 角 则 与 梁长 的 二 次 方 成 比 例 。 因 此 ,减 小 弹 性 位 移 除 了 采 用 合 理 的 截 面 形 状 以 增 加惯 性 矩 I 外 ， 主 要 是 减 小 梁 的 长 度 l。 当 梁 的 长 度 无 法 减 小时 ， 则 可 增 加 中 间 支 座 。 因 此 ,减 小 弹 性 位 移 除 了 采 用 合 理 的 截 面 形 状 以 增 加 惯性 矩 I 外 ， 主 要 是 减 小 梁 的 长 度 l。 当 梁 的 长 度 无 法 减 小 时 ，则 可 增 加 中 间 支 座 。 例 如 ， 在 车 床 上 加 工 较 长 的 工 件 时 ， 为 了 减 小 切 削 力 引起 的 挠 度 ， 以 提 高 加 工 精 度 ， 可 在 卡 盘 与 尾 架 之 间 再 增 加 一个 中 间 支 架 。 Mechanics of materials