计量方法与误差理论CH

动 态 测 试 基 本 概 念 1 动 态 测 试 数 据 处 理 的 理 论 基 础 23 动 态 测 试 数 据 处 理 方 法 4 动 态 测 试 误 差 及 其 评 定 第一节动态测试基本概念 一、动态测试概念静态测试：被测量是静止不变化的，仪器输入量为 常量。 测量误差基本相互独立动态测试：被测量是随时间或空间而变化的，仪器 输入量及测量结果也随时间或空间而变化 测量误差具有相关性动态测试的误差特点： 随机性、时空性、相关性、动态性 静 态 测 试 数 据 ： 在 数 学 上 表 现 为 随 机 变 量 动 态 测 试 数 据 ： 单 次 测 量 结 果 为 一 个 具 体 函 数 或 记 录 曲 线 （ 静 态 测 量为 一 具 体 数 值 ） 。 重 复 测 量 结 果 为 一 组 具 体 函 数 体 现 的 随 机 函 数 （ 即 随机 过 程 ） ， 每 次 测 量 为 随 机 函 数 的 一 个 样 本 ， 整 个 过 程 为随 机 过 程 。 )(tx 二、动态测试数据的分类动态测试数据处理的理论基础 基于随机过程的数据处理 第二节 动态测试数据处理的理论基础 1、随机函数一、随机过程的基本概念)(tx被测量)(tX随机因素 )(1 tx )(2 tx )(3 tx随机函数：若对于自变量的每一个给定值，该函数都是一个随机变量。2、 的意义)(tx )(tx )(,),(),( )( )( 21 TxTxTx tx tx nii 样本集合一组随机变量集合时刻T时的一个样本或实现 二、随机过程的特征量（表现为一个函数）1、概率密度函数 描述某一时刻随机数据落在给定区间的概率第二节 动态测试数据处理的理论基础 T tT xxtxxTxxtxxP ki iTT 1lim)(lim)( x xxtxxPxf x )(lim)( 0则说明： 反映了在 振幅这个位置单位振幅内的概率，即概率随振幅的变化率。振幅不同，落在单位振幅内的概率不同。)(xf x )()()()( 1221 21 xFxFdxxfxtxxP xx 2、均值、方差和方均值 )(tx )(tmx)(txi t第二节 动态测试数据处理的理论基础 )()( tXEtmx 随机函数的中心趋势)()()( 2tmtxEtD xx 每个实现相对于均值函数变动的分散程度)()()()( 2222 ttmtxEt xxx 随机函数的强度第二节 动态测试数据处理的理论基础 例：为1m的标尺进行分度检定，在每100mm处重复测量6次， 所得结果如下表所示。(看成以尺长为自变量的随机过程)第二节 动态测试数据处理的理论基础 第二节 动态测试数据处理的理论基础 例：电网监测站对节点电压进行连续6天的观测，每天仪器记录 的曲线如图所示。求此电压过程的均值、方差和自相关函 数。用这些量分析节点电压变化的统计规律。第二节 动态测试数据处理的理论基础 3、自相关函数 （图中很明显看出均值、方差几乎一样 ） 第二节 动态测试数据处理的理论基础 自相关函数： 反映随机过程不同时刻之间的相关程度)()()()(),( tmtxtmtxEttR xxx 第二节 动态测试数据处理的理论基础 )()( ),(),( tt ttRtt xx xx标准自相关函数： 性质：a、1),()()(),( 2 ttttxDttR xxx 基本特征量：),(),( ttRtm xxb、),(),( ttRttR xx 第二节 动态测试数据处理的理论基础 c、设)()()( tgtxty 非随机函数随机函数)()()( tgtmtm xy ),( )()()()( )()()()(),( ttR tmtxtmtxE tmtytmtyEttR x xx yyy 加上非随机函数，自相关函数不变第二节 动态测试数据处理的理论基础 )()()( txtfty 非随机函数)()()( tmtftm xy ),()()( )()()()()()( )()()()(),( ttRtftf tmtxtftmtxtfE tmtytmtyEttR x xx yyy d、设第二节 动态测试数据处理的理论基础 例：计算下表随机过程数据0-100和0-300的相关性 )()( ),(),( tt ttRtt xx xx )()()()(),( tmtxtmtxEttR xxx 用同样的方法计算其它两两尺寸段间的自相关函数值如下： 再如时间和用电量的关系 4、谱密度函数 反映随机数据在频域内的强度情况。随机数据：用单位频率范围内的强度来描述 确定性数据：频谱图（f-A图）第二节 动态测试数据处理的理论基础 描述强度随机过程强度的分布密度，谱密度函数。)( fGx 性质：谱密度和自相关函数互为傅立叶变换（平稳信号）第二节 动态测试数据处理的理论基础 由于自相关函数是偶函数： deGR GdeRS jxx xjxx )(21)( )(21)(21)( 0 0 cos)()( cos)(1)( dGR dRS xx xx双边谱密度，在正半轴为Gx(w)的一半 0单边 信号的强度 第二节 动态测试数据处理的理论基础 如 何 估 计 上 述 四 种 特 征 量 ？ 三、随机过程特征量的估计第二节 动态测试数据处理的理论基础 t)(tx 0 t)(tx 0 t)(tx 0平稳随机过程非平稳随机过程 特 征 量 估 计 ？ 1、平稳随机过程特征量的估计第二节 动态测试数据处理的理论基础 定义： 若随机过程的统计特征量与t无关，即特征量不随t的推移而变化，则称该随机过程是平稳的，否则是非平稳过程。 第二节 动态测试数据处理的理论基础 t)(tx 0 t)(tx 0 t)(tx 0平稳随机？ 第二节 动态测试数据处理的理论基础 平稳随机过程的条件： Cmtm xx )( t)(tx 0 2t1t 2t1t CDtD xx )( )(),( xx RttR 电压波动、随机噪声等 平稳随机过程的特征量的表示： 1( ) ( )x xD t D t C CtxEtxEtm nx )()()( 1 结论：可根据某一时刻的样本值计算该随机过程 的均值、方差第二节 动态测试数据处理的理论基础 xxx DR /)()( 结论：可由任意间隔为 的两时刻样本值估计自相关值 。 )(xR )()()()()( tmtxtmtxER xxx 平稳随机过程特征量的实验估计（总体平均法） tm tn采样频率（24）f max 第二节 动态测试数据处理的理论基础 )()( ),(),( )()()()(11),( )()(11)( )(1)( 11 21 lxkx lkxlkx Ni lxlikxkilkx Ni kxkikx Ni kikx tDtD ttRtt tmtxtmtxNttR tmtxNtD txNtm 需要多个样本，取统计平均。能否用一个样本求取？ 第二节 动态测试数据处理的理论基础 平稳随机过程的各态历经及其特征量估计： 平 稳 随 机 过 程 在 满 足 一 定 条 件 下 有 一 个 非 常 有 用 的 特 性 ， 称 为 “ 各 态 历 经 性 ” 。 即 在 同 一 次 实 验 中 ， 对 足 够 长 的 时 间内 的 不 同 t值 观 察 的 随 机 过 程 ， 等 价 于 在 多 次 实 验 中 对 同 一 t值观 察 的 随 机 过 程 ， 称 为 各 态 历 经 型 随 机 过 程 。 这 种 平 稳 随 机 过 程 ， 它的 数 字 特 征 完 全 可 由 随 机 过程 中 的 任 一 实 现 的 数 字 特 征来 替 代 。t)(tx 0第二节 动态测试数据处理的理论基础 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 第二节 动态测试数据处理的理论基础 注 意 ： 具 有 各 态 历 经 性 的 随 机 过 程 必 定 是 平 稳 随 机 过 程 ， 但 平 稳 随 机 过 程 不 一 定 是 各 态 历 经 的 。 在 通 信 系 统 中 所 遇 到的 随 机 信 号 和 噪 声 ， 一 般 均 能 满 足 各 态 历 经 条 件 。 如 何 从 数 学 上 进 行 严 格 的 判 定 ？ 判别各态历经随机过程的充分条件：)( 0)( xR证明过程参见： 1、肖明耀.误差理论与应用. 北京:中国计量出版社,1985 2、崔明齐译.概率论.上海:上海科技出版社,1961第二节 动态测试数据处理的理论基础 t)(tx 0 t)(tx 0平稳？各态历经？ 平稳？各态历经？ mni xmixixmx ni xix ni ix mxmxDmn mxnD xnm 11 21 )(11)( 111特征量估计公式（时间平均法）第二节 动态测试数据处理的理论基础 Ce各态历经？ 2、非平稳随机过程特征量的估计 )()( tgtxty 第二节 动态测试数据处理的理论基础 对于非平稳过程的随机函数不能采用上述方法计算特征量，必须进行平稳化处理。 )()()()( tgtxtfty 一般形式： 第二节 动态测试数据处理的理论基础 有：)()()(),( )0()()( )()()()( 2 xy xy xy RtftfttR RtftD tgtmtftm )(tg作图估计最小二乘拟合低通滤波 )()( tgtxty 第三节 动态测试误差及其评定 误差的表示： 被 测 量 任 一 时 刻 的 测 量 值 和 真 值 之 差 。 )()()( 0 txtxte 测量值真值动态误差 由 静 态 、 动 态 特 性 不 理 想 或 受 外 界 干 扰 影 响 。随 机 变 量 ， 只 能 表 示 统 计 意 义 上 的 大 小 。 一、动态测试误差基本概念 第三节 动态测试误差及其评定 采用高精度仪器，作为约定真值动态误差 第三节 动态测试误差及其评定 随 机 误 差 ： 表 现 为 由 多 种 偶 然 性 因 素 综 合 影 响 下 的 随 机 函 数 。 系 统 误 差 ： 表 现 为 具 有 确 定 性 变 化 规 律 的 时 间 函 数 ， 即 确 定 性 函 数 。 粗 大 误 差 ： 表 现 为 偶 尔 由 个 别 反 常 因 素 造 成 叠 加 在 上 述 函 数 上 的 特 大 值 或 特 小 值 。 误差的构成 第三节 动态测试误差及其评定 二、动态测试误差的评定1、系统误差的评定 nl lt iti enm 11 max,.,2,1max_ iti lnlt em （确定时刻的系统误差的算术平均值）（确定时刻的最大值）对于随机过程的所有n个测试样本： 第三节 动态测试误差及其评定 2、随机误差的评定对于随机过程的所有n个测试样本： nl lt iti enm 11（总体误差均值） nl tlt iiti men 1 2)(11（总体标准差） 表示什么？ nl tltlji jjtiit mementtR 1 )(1),(（总体协方差） 第三节 动态测试误差及其评定 对于各态历经随机过程（每个样本测试N个点）： Ni t ieNe 11（时间均值） Nl t eeN i1 2)(11（时间标准差） ( )11( , ) ( )( )i i mN mi i m t tiR t t e e e eN m （时间协方差） 目 前 动 态 测 试 误 差 的 评 定 指 标 尚 未 统 一 第四节 动态测试数据处理 一、动态测试数据处理的目的和任务 目 的 ： 合 理 的 处 理 数 据 ， 消 除 动 态 测 试 误 差 并 进 行 分 析 。 任 务 ： 1） 合 理 规 定 动 态 测 试 误 差 的 评 定 指 标 ； 2） 分 析 确 定 性 成 分 及 消 除 动 态 误 差 ； 3） 分 析 随 机 性 成 分 及 消 除 动 态 误 差 。 第四节 动态测试数据处理 数据处理方法确 定 性 成 分分 析 方 法随 机 性 成 分分 析 方 法 解 析 式 方 法多 项 式 拟 合 法滤 波 或 平 滑 法(电 子 测 量 常 用 )样 本 矩 法FFT法变 量 差 分 法最 大 熵 谱 分 析 法时 间 序 列 分 析 法 第四节 动态测试数据处理 二、确定性成分的分析方法滑动平均法 在 某 些 情 况 下 ， 并 不 知 道 函 数 究 竟 为 何 种 形 式 。且 因 其 变 化 规 律 比 较 复 杂 ， 难 以 选 择 多 项 式 来 表 示确 定 性 成 分 ， 或 无 需 用 函 数 形 式 来 表 达 。 此 时 只 要 设 法 消 除 动 态 测 试 数 据 的 随 机 起 伏 性 即可 。 可 采 用 滑 动 平 均 方 法 ， 为 平 滑 和 滤 波 的 方 法 之一 。 第四节 动态测试数据处理 1、基本方法 第四节 动态测试数据处理 (m=2n+1) 第四节 动态测试数据处理 第四节 动态测试数据处理 2、权值 的确定：最小二乘拟合j 第四节 动态测试数据处理 第四节 动态测试数据处理 第四节 动态测试数据处理 m=5, k=2时？ 第四节 动态测试数据处理 3、滑动平均法的特点及应用 滑动平均法可抑制动态测试数据的随机起伏，以表示出其中较为平滑的确定性变化规律，但只能得到其点点函数值，而不能用函数形式来表达。相当于过滤掉高频随机变动成分的低频滤波器。 该方法采用递推形式的算法，可节省计算机的贮存单元，可用于计算机数据采集中实时处理平稳及非平稳的随机数据（软件滤波）。 第四节 动态测试数据处理 三、随机性成分的分析方法变量差分法 利 用 变 量 差 分 法 分 析 随 机 性 成 分 的 主要 理 论 依 据 是 多 项 式 差 分 定 理 ， 同 时 考 虑到 误 差 差 分 的 性 质 。1、理论依据 第四节 动态测试数据处理 2、基本公式 第四节 动态测试数据处理 差分过程中随机误差的变化： 当变量的某一值存在误差时，逐阶差分中此误差将扩散且倍增。即随机误差经逐阶差分后，不改变其随机性，方差递增。 第四节 动态测试数据处理 3、基本原理Nktay mi kikik ,2,1,0 第四节 动态测试数据处理 kpmi ikipkp tay 0 0 0 mi ikip ta 第四节 动态测试数据处理 )(,)1(0 mpCy pj jkjpjkpkp pj pNk ,2,1 ,2,1 为组合数!)( ! jjp pC jp 式中： 第四节 动态测试数据处理 4、随机性成分的方差估计(根据差分结果如何进一步得到统计特性) 第四节 动态测试数据处理 )!2( )!( 222 kpypp pNk kkp VpNy 1 22 11 )!2( )!( 22 pp pNk kVpN 1 211 第四节 动态测试数据处理 5、差分阶数的确定方法 第四节 动态测试数据处理 第四节 动态测试数据处理 变量差分法主要用于分离动态测试数据中的随机误差，并可估计其方差，却不能表达出其中所含确定性成分的变化规律。 当数据N较大且差分步长与阶数选择得当时，该方法分离效果较好。否则将产生较大误差，甚至逐次差分结果会发散，使得估算结果不可靠，精度不高。6、变量差分法的特点及应用 第四节 动态测试数据处理 7、随机误差的其它分离方法 样 本 矩 法 、 FFT法 、 最 大 熵 谱 分 析法 、 时 间 序 列 分 析 法 本章小节 1、 随 机 过 程 的 基 本 概 念2、 平 稳 、 非 平 稳 随 机 过 程 的 特 征 量 及 估 计3、 各 态 历 经 随 机 过 程 的 特 征 量 及 估 计4、 动 态 测 试 误 差 基 本 概 念5、 动 态 测 试 误 差 的 估 计6、 动 态 测 试 数 据 处 理 方 法