动力学普遍方程和拉格朗日方程

第二十五章 动力学普遍方程 和 拉格朗日方程 25.1 动力学普遍方程 例题 1 25.2 第二类拉格朗日方程 例题 2 例题 3 例题 4 例题 5 第二十五章 动力学普遍方程 和 拉格朗日方程 根据 达朗伯原理 和 虚位移原理 ，可 以导出非自由质点的 动力学普遍方程 。 利用它解决问题时，可以避免约束反力 在动力学方程中的出现，比较方便 ! 第一类拉格朗日方程 ： 用直角坐标描述的 非自由质点系的拉格朗日方程 -模拟和求解复杂系统的动力学问 题 第二类拉格朗日方程 ：将完整约束系统的动 力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以 推得。 -可以直接写出个数与系统自由 度相同的独立运动方程 。 25.1 动力学普遍方程 设一个质点系由 n个质点组成， air在任意瞬时 ,加速度为 第 i个质点的质量为 m i 根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力 am iiiqF rr 作用于此质点上 的主动力的合力 约束反力的合力 达朗伯惯性力 0 FNF iqii rrr )., . . . . . . . . .2,1( ni (25.1) 则 点积虚位移 r i 对这 n个式子求和 若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知 )., . . . . . . . . .2,1( ni (25.2) 0)( rFNF iiqii 0)( 1 rFNF iiqii n i (25.3) 0 1 rN i n i i 在具有理想约束的质点系中，在 运动的任一瞬时，作用在其上的主动力 系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何 一组虚位移上的虚功之和等于零 。 动力学普遍方程或者达朗伯 拉格朗日原理 说明 0)0)( 11 ramFrFF iii n i iiiqi n i （或者 (25.4) 上式变为： 例 25.1 如图所示，有两个半径皆为 r的轮子 A， B，轮心通过光滑圆柱铰链 与直杆 AB相连，在倾角为 的固定不 动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 P， 重心都在轮上，对轮心的转动惯量为 J， 连杆重 Q。求连杆运动的加速度。 解 : (1)以两轮和连杆组成 的系统为研究对象 系统所受约束为理想约 束 a A B Fq1 Fq2 Fq3 P P Q M q2 Mq1 若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为 , 则轮心的虚位移也为 ,轮子相应的虚转角 s r s (3) 轮子作纯滚动 ,其达朗伯惯性系可以简化为 通过轮心的达朗伯惯性力 达朗伯惯性力偶矩 其中 agPFF qq 21 JMM qq 21 ra 连杆作平动 ,其达朗伯惯性力系可简化为过其 质心的一个达朗伯惯性力 a g QF q 3 (2)系统所受的主动力为重力 P,P和 Q （ 5） 根据动力学普遍方程 0)()(s i n)2( 21321 MMFFF qqqqq ssQP JgQP gQPa r r 2)2( s in)2( 2 2 得 ： 方向平行于斜面向下 . 25.2 第二类拉格朗日方程 直接用质点系的广义坐标的变分来表示各 质点的虚位移 ,对完整约束系统来说 ,可推 得与系统自由度相同的一组独立的运动微 分方程 设完整约束的质点系由 n个质点组成 ,系统的自 由度为 k,广义坐标为 qqq k., 21 各点的虚位移可表示为 代入 0)0)( 11 ramr iii n i iiiqi n i FFF rrr rrr （或者 各质点相对于定点 O的矢径可表示为 ),.,( 21 tqqqrr kii ,.)2,1( i (25.5) （ 25.6) q q rr j n i j i i 1 ).2,1( ni 得 0)( 11 qqramF jk j i i ii n i i rrr （ 25.7） 交换上式 求和顺序得 0)( 11 1 qqramqrF j j i i n j i j i k j n i i rrrr 广义主动力： qrFQ j i n i ij rr 1 广义达朗伯惯性力： q ramG j i i n i ij rr )( 1 先引入两个经典的拉格朗日关系式： （ 1） 第一个经典拉格朗日方程 由 对时间求导 ),.,( 21 tqqqrr kii 再对 求偏导数 q j q r q r q r q v j i j i j i j i 或 得到 ).2,1( kj （ 2） 第二个经典拉格朗日方程 在上式对 s个广义坐标 求偏导数得 ).,2,1( ksq s )()( 1 2 1 2 q r qq r q q r qqq r q v s i j s i k j j s i k j j sj i s i t t r & r & rr 即 )( qrqv s i s i dt d rr 也可以写为 )( qrqv j i j i dt d rr )( q r q r j i j i dt d rr或 ).2,1( kj 对于不变质点系 qrvmG j i i n i ij dt d ) 1 ( 由 )()()()( qrvmqrvmqrvm jiiijiiijiii dt d dt d dt d qvvmqvvmG jii n i ij i ii n ij dt d )()( 11 得 引入系统动能 vvmvm iii n ii i n i T 11 2 12 2 1 对 求偏导数 qq jj , q v vm q q v vm j i i n i i j j i i n i i j T q T r r & r r & 1 1 将以上公式代入 q vvm q vvmG j i i n i i j i ii n i j dt d )()( 11 得 qqG jjj TT dt d )( 由以上将 0)( 11 1 qqramqrF j j i i n j ij ik j n i i 改写为 0)( 1 qqq j jj n i TT dt dQ 因为 的相互独立性 qqq n., 21 得 第二类拉格朗日方程 Q qq jjj TT dt d 若质点系所受的全部的主动力为有势力 qQ jj V 系统的势能只是系统广义坐标的函数 0 q j V 0()( qq jj VTVT dt d ） 可得 引进 L=T-V,成为 拉格朗日函数 ，则上式为 0 qq jj LL dt d 应用动力学普遍方程解题时的注意事项： （ 1）系统中各质点的加速度与各刚体 的角速度都必须是绝对加速度于绝对角 速度。 （ 2）计算主动力与惯性力的虚功时所 涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。 拉格朗日方程得解题步骤 （ 1）以整个系统为研究对象，分析系统的 约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选 取同样数目的广义坐标 （ 2）写出广义坐标，广义速度表示的系统 的动能 （ 3）计算广义力。比较方便而且常用得式 由公式 计算。当主动力均为有势 力时，则需求广义坐标表示的系统的势能， 并写出拉氏函数。 qQ j j j W （ 4）计算各相应的导数 （ 5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系 的运动微分方程。 例 25 2 一质量为 m的小球与弹簧的一端相连， 弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹 性系数为 k，在平衡位置式的长度为 L。是求小 球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。 o k m r (1) 取小球和 弹簧组成的系统为 研究对象，系统由 两个自由度，选取 小球的极坐标 为 广义坐标 ),( r )(21 22 rrmT (2)系统的动能为 （ 3）设衡位置时系统的势能为零， 则系统的势 能为 2 0 2 0 )-2 1( 2 1)c os( ll lrkrlmgV （） 其中 kmgll 0 （ 4）系统的拉格朗日函数 2 0 2 0 222 )( 2 1)( 2 1)c os()( 2 1 llrr lkrkrlmgmVTL （ 5）分别计算导数 s in 2 )(c os 2 2 0 2 m gr L mrmr L dt d m L rkmgmr r L rm r L dt d rm r L r r l （ 6）由保守系统的第二类拉格朗日方程 0 r L r L dt d 0 LLdtd 0s i n2 0)1()c o s1(2 grr rkmgmrrm 得 例 25.3 图是一质量为 M的均质圆盘，半径为 R,其中心 A与弹性系数为 k，弹簧原长为 ， 且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧 的另一端固定。质量为 m，长为 的均质杆 AB通过以光滑铰链 A与圆盘中心相连。若圆 盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的 拉式方程。 l l0 k x B P C vA vCA vC (2) 圆盘和杆的动能分别为 解 （ 1） 系统的自由度为 2，以图中的 x， 为系统的广义坐标。 设杆的质心为 C，圆盘的速度瞬心为 P 2222 11 4 3) 2 3( 2 1 2 1 xM r xM rJT P c o s 2 1 6 1 2 1 24 1 c o s) 2 (2) 2 ( 2 1 ) 12 1 ( 2 1 )c o s (2 2 1 2 1 2 1 222 2222 2222 2 2 2 2 xmlmxm m l x l xm mm m l l lvvvv JvT CAACAA CC 故系统的动能为 TTT 21 （ 3）设过 A的水平面为重力势能的零势能面， 弹簧原长为弹性势能的零势能点 则系统的势能为 c os2)(21 20 lmgxkV l （ 4）系统的拉格朗日函数为 L=T-V (5) 计算导数 )( s i n 2 1 c os 2 1 ) 2 3 ( c os 2 1 ) 2 3 ( 0 2 lxk x L mlmlxmM x L dt d mlxmM x L s i n 2 s i n 2 1 s i n 2 1 c os 2 1 3 1 c os 2 1 3 1 22 2 l mgxml L xmlxmlml L dt d xmlml L （ 6） 由拉氏方程 0 0 LL dt d x L x L dt d 可得到 0)(2s i nc o s)23( 02 lxkmlmlxmM 0s i n3c o s32 gxl 例 25.4 质量为 M的均质圆柱再三角块斜边上作 纯滚动，如图所示。三角块的质量也为 M， 置于光滑水平面上，其上有刚度系数为 k的弹簧 平行于斜面系在圆柱体轴心 O上。设角 试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。 030 解： 取整个系统为研究对象 三角块作平动， 圆柱作平面运动， 系统具有两个自由度。 o k 选三角块的水平位移 和圆柱中心 O沿三角块 斜面的位移 为广义坐标，其中 由静止 时三角块任一点位置计起， 由弹簧原长处计起 如图 。因为作用在系统上的主动力 mg 和弹性力 均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解 x1 x2 x1 x2 0)( 11 xx LLdtd 0)( 22 xx LLdtd v e mg mg x2 o k l0 取圆柱中心 O为动点，动系与三角块固连， 定系与水平面固连，则 O点的绝对速度 vvv reO rrr 其中 xv e 1 xvr 2 所以，系统的动能 c os 4 3 )( 2 1 ( 2 1 )c os2( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 1 22 21 2 2 2 1 2 1 222 1 xxxx x r xxxxxIvx mmm r m mmmmT OO & & &r& 0 1 xL c o s23 12 1 xxx mmL c o s23)( 12 1 xxx mmLdtd s in2 2 mgkL xx 将以上表达式代入 0)( 11 xx LLdtd 0)( 22 xx LLdtd 整理得到系统的 微分方程 0232 21 xx 0212 323 222 mgkmm xxx 例 25.5 如图所示系统中，均质圆柱 B的质量 ，半径 R=10cm,通过绳和弹簧与 质量 的物块 M相连，弹簧的刚度系数 ,斜面的倾角 。假设圆柱 B滚 动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行， 不计定滑轮 A，绳子和弹簧的质量，以及轴承 A处摩擦，试求系统的运动微分方程 kgm 21 kgm 12 cmNk 2 030 解：取整个系统为研究 对象。圆柱 B作平面运动 物块 M作作平动，定滑轮 A作定轴转动 M A B 系统有两个自由度，选圆柱 B的质心沿斜面向 上坐标 及物块 M铅垂向下的的坐标 为广 义坐标，其原点均在静平衡位置。如图 x1 x2 A M B gm1 gm 2 x1 x2 因为作用在系统 上的主动力重力 和弹 性力均为有势力 gm1 gm2 所以可用拉格朗日方程式求解 0)( 11 xx LLdtd 0)( 22 xx LLdtd 若选弹簧原长处为势能零点，则系统的 势能 s in2 222 xx mgkV 故系统的拉氏函数 s i n2c o s43 222212221 xxxxxx mgkmmmVTL 求各偏导数： c o s2 21 1 xxx mmL c o s2)( 21 1 xxx mmLdtd 系统的动能 xmx xmxRxxmIx m R mmmT BB 2 22 2 1 2 22 212 1 2 1 2 22 22 1 2 1 4 3 2 1 )( 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形 的势能与重力势能相互抵消， 于是系统的势能 2 12 )(2 xx kV 故系统的拉氏函数 2 12 2 22 2 11 )(22 1 4 3 xxxmxm kVTL 求各偏导数 xmxL 11 1 2 3 xmxLdtd 11 1 2 3)( )( 12 1 xxkxL xmxL 22 2 xmxLdtd 22 2 )( )( 12 2 xxkxL 将以上的表达式代入 0)( 11 xx LLdtd 0)( 22 xx LLdtd 整理得到系统的微分方程 0)(23 1211 xxxm k 0)( 1222 xxxm k 代入已知值 02002003 211 xxx 02 0 02 0 0 212 xxx