2008年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2008年全国初中数学联赛试卷（第一试）一、选择题1设a213a，b213b，且ab，则代数式的值为（ ）(A) 5. (B) 7. (C) 9. (D) 11. 2如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB6，BC5，EF3，则线段BE的长为（ ）(A) . (B) 4. (C) . (D) .3从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）(A) . (B) . (C) . (D) .4在ABC中，ABC12，ACB132，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）(A) BMCN. (B) BMCN. (C) BMCN. (D) BM和CN的大小关系不确定.5现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10或20，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ）(A) ()3. (B) ()4. (C) ()5. (D) .6已知实数x，y满足(x)(y)2008，则3x22y23x3y2007的值为（ ）(A) -2008. (B) 2008. (C) -1. (D) 1.二、填空题1设a，则 _.2如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的两点，且AM，MAN135，则四边形AMCN的面积为_.3已知二次函数yx2axb的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且mn1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq_.4依次将正整数1，2，3，的平方数排成一串：149162536496481100121144，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是_.第二试一、已知a2b21，对于满足条件0x1的一切实数x，不等式a (1x) (1xax)bx (bxbx)0恒成立. 当乘积ab取最小值时，求a，b的值.二、如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值. 三、设a为质数，b为正整数，且9(2ab)2509(4a511b) 求a，b的值.参考答案第一试选择题1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D填空题.1. -2 2. 3. 4. 1第二试一、已知，对于满足条件的一切实数，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解：设，则=当时，当时，故.若，则，不恒大于等于0，故即，同理.当时，（1） 当，即时，故，即.（2） 当，即时，综上所述，最小值是，此时或.二、如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设的面积为，求圆的的半径的最小值. 解：(1)连接，则，又，故等腰，.由于为圆的切线，故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍，即半径所在直径通过弧的中点，即点在圆上.（2）连接，则，故 ，又，故，即，且当为圆的直径时可以取等号，故的最小值是.三、设为质数，为正整数，且 求，的值.解：将原等式整理为关于的一元二次方程：，由于为正整数，则方程判别式是完全平方数，即为完全平方数，设，则，即，由于，故同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当时，检验得不是完全平方数当时，检验得不是完全平方数当时，由上面分析可知共4种分解方式可能满足条件.当时，不是整数，当时，不是整数，当或时，不是质数， 当时，是质数，此时只有满足条件，综上所述，.