2008年北京市高考理科数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（北京卷）第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么集合等于（ ）ABCD2若，则（ ）ABCD3“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A圆B椭圆C双曲线D抛物线5若实数满足则的最小值是（ ）A0B1CD96已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）ABCD7过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）A BCD8如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO 第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9已知，其中是虚数单位，那么实数 _10已知向量与的夹角为，且，那么的值为 _ 11若展开式的各项系数之和为32，则_ ，其展开式中的常数项为 _ （用数字作答）2BCAyx1O3456123412如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则_； _（用数字作答）13已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 _ 14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 _ ；第2008棵树种植点的坐标应为_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围16（本小题共14分）ACBP如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离17（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列18（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间19（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值20（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1D2A3B4D5B6C7C8B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）91011510121314 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（共13分）解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值范围为16（共14分）ACBDP解法一：（）取中点，连结，ACBEP，平面平面，（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中，点到平面的距离为17（共13分）解：（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则所以，的分布列是1318（共13分）解：令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减19（共14分）解：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值20（共13分）（）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（）证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，