渗流理论中的圣维南原理及其应用_朱大同

?年?月水利学报?工?第?期渗流理论中的圣维南原理及其应用朱大同?大连工 学 院?渗流 计算中边 界条 件的不 均匀性是很难处理的问题,为了求得可供 实际应用的解答,往往 引入平均值,等效地 代替实际边 界?例如做不完整井计算时,把沿井轴不均 匀分布的流 量,用一个平均流量替代这时井轴变为等强度汇线?又如闸坝地 下轮廓设计时,用不 是等压 面的平面作为 分界面,给计算结果 带来误 差 等,都是局部边界 影 响问题?正确地评价这种影响在工程中是重要 的?本文将圣维南原理引进渗流理论,作为评价这类问题 的统一依据?由扭转问题提出的圣维南 原理是弹性理论 中处理 局部边 界条 件的方 法?,后来 被推广至 固体导热理论?尽管这一原 理对某些特殊问题不一定适用,但它仍是处理局部边 界的有力工具?下面简要地将这一原理引进渗流 理诊和具体介绍它的实际应用?一、渗流 中的圣维南原理讨论 一个稳定渗流场?设区域?,边界?,若域内无源和汇,则区域内 水 头变化函数?满足拉普拉斯方程?甲?若边界上给定流量?即速度?,此属第二类边界条件?,凡二一?一?口?】?巡?沙了?,?刀?式中?为边 界的外法向,?是渗透 系数,?为 单位面 积流 量?式?和?构成诺依曼?问题,它有解的条件是边界通量为零,这对普通 渗流问题总是满足的?用格林?函数解式?和?,因是第二类边界条件,该法需要修正?,得 到?,?、?。,?。、?,。、?了,?,。,?。,?气厂少?只,?一切?厂,?少。?叹厂?少十下?厂七刀,?。,?口儿合?式?右端第二 项是边 界上 平均水 头变化,一常数而 不影 响结果,可令此 项为零?于是 方程厂?刀为一 常数?根据诺 依曼问 题的解可差?的解?,了,、?乡?。,?。、?,?、?气厂夕?,?二?厂,?少以八?厂?少一?口孔?五?,?,?式中?是所求点位置?,?,?,?为边界?上点?,?普,刀,乙?,?是周 界?的表面积?格林函数?,?,?一?,?,对 称?积分展布于?面上?式?表示流场中任一点在边界条件?作用下水头变化 的精确解答。?水利学报?年现对边 界?上条件用等效值代替,取平均值?若边界?上流量 自身平衡,所以对式?取平均值为 零?要?。一封器?卜鲁一工?万?乙?一?以式?代 替式?中的器项,得到等效条件作用下的水头函数?产?,?、刁?。,。、?,。、?吸厂少?一,之二一?。气厂,?少。?气厂?少?口?式?是用平均边界值代替 真实边 界条件后得 到 的水头 变化,显然它不是式?和?的真实解?但是,如果能找出一个范 围,在这界限之内?了?与?相 差显著,在这之外?非常接近?那么当只求这界 限之外的流场时,完全可以用边界条件替代后得到的公式来近似计算?值?也就是导出适 用于渗流问题的圣维南原理?由于不规则边界内的格林函数十分复杂,式?的精确 表达式很难求得,现只讨论?为半无限域。设?是?万平面,?为流场全域。?为条带形,沿?轴无限伸展,宽为?上条件 自平衡,?、导时,粤一奥?导、?、导时,粤一孚?图外?,。刀山不?目一彼,八、义?“,?一?,?义?八、义?“,?一?、冈?图示问题的格林函数?为?一命卜侧不井不汀干硬二刃犷十?侧灭了二牙歹不可再歹一?,?二?一?,?以式?和边界各 段上万万?值代入式?,份?分钱积分,经整理得?,?一?云?兀?,?王止二二二二二 二一?乙叼?合一?合?”?含一?。?含?一?月?十倪?合?音一?含一?含?+。2g一(气尹-)+g一(8)r s ee e.L r.口.L十2沙_,/1一 Zu、._./1+2倪、1石g叹一一下不一一J十19、一一一万认一JI、乙“/、灯/J1+4仪4沙式 中无尺度数u一 x/L,。二z/L.式(8)是图1所示问题的精确解答,为找出它与式(6)相一致的 区域,沿之轴计算各点水头变化值,结果列于 图2。图中曲线表明,水头H随灯毛增加,迅速减少,当灯L,1时,豆,0.也即用等效边界条件导 出的近似公式,在大于等于L的区域里可以代替精确公式。这一结论与弹性力学 和固体导热理论结果完全一致“”二对于给定水头的第一类边界条件,也可得同样结论.因此,在渗流理论中确实存在一个圣维南原 理。第6期渗流理论中的圣维南原理及其应用巍队洲皿长研1帐蔽朴犷攻5之 0z声根据前 面的分析,可以概 括 出渗 流 中的圣维南原理:作用 于渗流区域某一部 分的边界条件,以作用 于同一 部分上 的等效条件(例如 平均值)来代替,那么边界条件的重分布,将使流场仅在与该边界 的最大线性尺度L相 同的范 围内有显著 影 响.在大于等于L的距离上,这种替代 的影 响可以忽略不计.二、原理 的 应用实例以往,渗流分析中的圣维南原理虽然 没有以理论概念 的形式出现,而 未被大家所熟悉,但是在各别的分析计算中早被有效地应用.同时,许多讨论公式和 方法精度的理论结论中也 包含了很多与此原理有关的概念。本 节 引述一 些熟 知的实例,说 明圣维 南原理的作 用,以使渗流 计算中局部边 界条件的许多简化处理方 法在这个原理基础上统一起来。(一)确定分段界面分段法是复杂渗流 计算的常用近似解法.分 段的主要原 则是预先作出一些面(包括平面),足够近似于等水头 面(或流面),然 后各段分别求解。分 段时分界 面与等水头面 出入越大,分段带来 的误差越大.如果各段分 界面是等水头面,那么分段的结果是精确的.例如 用分段 法解不完整井仁,将整个 渗 流区域分 成 内外两带,内带以R。为半径,其内流线受井的不完整性影 响,弯曲很大,为空间流.外带地下水以平 面辐射流方式运动.如将出水量 为 Q,贯入深度S的不完整井,用出水量相同的完整井替代,根据圣 维南原 理,井轴线上流 量的重分布,使流场在离井轴h(含水层 厚度)范围内受明显 影 响,而 大于 等于杠的区域里可以忽 略.所以内外带的分界面位置取在R。一瓦处是符合圣维南原理 的.(二)简 化计算过程有一 两面来流的长列完整减压井,井距o,单井出水量 Q。试求离井列距 离大 于井距,处的减压效果.计 算 图3情况的水 头分布可用现成公 式5,但用圣 维南原理可以简化.因所求区域离井列距离大于井距二,若将出水量 Q 的单 井用单位出水量q一Q/a的完 整排水沟代替,其影 响 范围不超过o,所以大于的区域用 出水量为qQ/J的排水沟 计算断面各点水头,与长 列完整井公式计算结果是一致的.于是,一个较复杂的两维渗流间题化为简单的一维渗流问题.(三)评价近似 解答的精度例如一有 限透水地基上带两个板桩S、S:的平底坝.上、下游铺盖长11和l:(或者没有铺盖).按巴甫 洛夫斯基方法 分段,取板桩尖下 铅垂利学报1981年()(r r r r rl户户尸一一一一一产产,.,.卜/丫/于于卜过二+一三斗丛川线(图上虚线)为分 界面,分进 出口段和 内部 段各二个。如文献6指出:该法 把板桩尖下的铅垂线设为等水头线,但过板桩尖的等水头线实际并不为沿板桩向下 的铅直线,一般呈 曲线形状,这样当进出口板桩较短时,误差较大.现在把文献仁6对巴氏分段法的正确理论 评价,从圣维南原理这个角度予 以说明。因板桩尖下 铅垂 线(T一8)段 上各点水 头均 不相 同,巴氏法把 实际 不均匀 的水头条件,用一个平均(等效)水头 来 代替,按圣维南原理,这种近似处理在(T一S)的尺寸范 围内引起偏差较大.(T一S)增大,误 差增加.(T一S)减小,等效条件与实际条件差 别减少,偏差的范 围缩小,方法的精度就提高.当(T一 S)S时,局部边界尺寸大于板桩长度,这 时坝下各点均有影 响.此外,桩尖的水 头只是铅垂线上的平均水头,对上下 游无铺盖的平 底 坝,在上游板桩处,此值比实际水头要偏低,而在下游板桩处又偏高.再如本文开始提到的不完整井用等强度 汇线替代问题,它使离井轴S(贯入深 度)距离内计算水头值误 差较大,而大于等于S的区域并不受明显影响.上述简单的分析和实例说明,渗流理论 中确实存在圣维南原 理所表述 的规律,并且在各别问题里被有效地应用,现在 把这一规律以理论概念 的形式引入这个领域,对于分析和 计算工 作是有一定帮助的.文中没有提到的非稳定渗流和渗流计算的数值分析,以及 实验研 究 中,这一 原理也适用。参考文献1 234仁56 铁摩辛柯,古地尔,弹性理论.徐芝纶等译,人民教育出版社,19 64年,34一3 5,5 3一55,15 3一1 5 7页。Boley,B.A.,SomeobservationonSaint一Venant产5Prinei Ple.Pr oe.Third.U.5.Nat.Congr es sofAPPI.Meeh.,June1958.P25g一2 6 4.Ko shl yakov,N.5.e tal.,Di f fere时ial Equations ofMathematieal Physics.North一Hol landPubCo.,1 9 64.Amster dam.P256一2 9 2.朱大同、李家麟,双层 介质 中不完整井的近似计算。水利学报,1 964年第3期.“堤坝 下游减压工程的研究”讨论文.水利学报,1965年第5期.毛租熙、周保中,jj坝地基 渗流的近似计算方法.水利水运科技情报,19了6年第2期