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课时达标检测(四十五) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一般难度题全员必做 1(2018郑州质检)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点解:(1)由题意得,点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离,由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点,直线y1为准线的抛物线,则1,p2.圆心M的轨迹方程为x24y.(2)设直线l:ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x2,y2),联立消去y整理得x24kx80,x1x24k,x1x28.kAC,直线AC的方程为yy1(xx1)即yy1(xx1)xx,x1x28,yxx2,即直线AC恒过定点(0,2)2在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:y21上的非坐标轴上的点,且4kOAkOB10(kOA,kOB分别为直线OA,OB的斜率)(1)证明:xx,yy均为定值;(2)判断OAB的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由解:(1)证明:依题意,x1,x2,y1,y2均不为0,则由4kOAkOB10,得10,化简得y2,因为点A,B在椭圆上,所以x4y4,x4y4,把y2代入,整理得(x4y)x16y.结合得x4y,同理可得x4y,从而xx4yx4,为定值,yyy1,为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y,x4y,易知y2,y1或y2,y1,SOAB|x1y2x2y1|1,因此OAB的面积为定值1.3(2018广州惠州调研)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由解:(1)设椭圆C的焦距为2c,则c1,因为A在椭圆C上,所以2a|AF1|AF2|2,因此a,b2a2c21,故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线,证明如下:设直线的方程为y2xt,设M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),由消去x,得9y22tyt280,所以y1y2,且4t236(t28)0,故y0,且3t3.由得(x4x2,y4y2),所以有y1y4y2,y4y1y2t.又3t3,所以y4b0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动直线l:ykxm与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x4交于点Q,问,是否存在一个定点M(t,0),使得0.若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由解:(1)由c1,ac1,得a2,b,故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120,64k2m24(34k2)(4m212)0,即m234k2.设P(xP,yP),则xP,yPkxPmm,即P.M(t,0),Q(4,4km),(4t,4km),(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立,故解得t1.存在点M(1,0)符合题意2(2018河北质检)已知椭圆E:1的右焦点为F(c,0),且abc0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点,且|4.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B且使得24成立?若存在,试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由解:(1)由椭圆的对称性知|2a4,a2.又原点O到直线DF的距离为,bc,又a2b2c24,abc0,b,c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为yk(x2)1,代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80,32(6k3)0,k.x1x2,x1x2,24,即4(x12)(x22)(y11)(y21)5,4(x12)(x22)(1k2)5,即4x1x22(x1x2)4(1k2)5,4(1k2)45,解得k,k不符合题意,舍去存在满足条件的直线l,其方程为yx.较高难度题学霸做1如图,已知椭圆1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点(1)若点G的横坐标为,求直线AB的斜率;(2)记GFD的面积为S1,OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1S2?说明理由解:(1)由条件可得c2a2b21,故F点坐标为(1,0)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为yk(x1),将其代入1,整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1x2.故点G的横坐标为,解得k,故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB,使得S1S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直,即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB,所以k1,解得xD,即D.因为GFDOED,所以S1S2|GD|OD|.所以 ,整理得8k290.因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1S2.2(2018广西陆川县模拟)已知椭圆D:x21的左焦点为F,其左,右顶点为A,C,椭圆与y轴正半轴的交点为B,FBC的外接圆的圆心P(m,n)在直线xy0上(1)求椭圆D的方程;(2)已知直线l:x,N是椭圆D上的动点,MNl,垂足为M,问:是否存在点N,使得FMN为等腰三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由题意知,圆心P既在边FC的垂直平分线上,也在边BC的垂直平分线上,F(c,0),则边FC的垂直平分线方程为x,因为边BC的中点坐标为,直线BC的斜率为b,所以边BC的垂直平分线的方程为y,联立,解得m,n,因为P(m,n)在直线xy0上,所以0,即(1b)(bc)0,因为1b0,所以bc.由b21c2,得b2c2,所以椭圆D的方程为x22y21.(2)由(1),知F,椭圆上的点的横坐标满足1x1,设N(x,y),由题意得M(,y),则|MN|x|,|FN|,|MF| .若|MN|FN|,即|x| ,与x22y21联立,解得x1,显然不符合条件;若|MN|MF|,即|x| ,与x22y21联立,解得x或x1(显然不符合条件,舍去),所以满足条件的点N的坐标为;若|FN|MF|,即 ,与x22y21联立,解得x0或x1(显然不符合条件,舍去),所以满足条件的点N的坐标为.综上,存在点N或,使得FMN为等腰三角形
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