1《静力学》内容讲解讲解

奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 1 页 第一章 静力学【竞赛知识要点】重心 共点力作用下物体的平衡 物体平衡的种类 力矩 刚体的平衡 流体静力学（静止流体中的压强）【内容讲解】一.物体的重心 1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径 R 的半球体的重心在其对称轴上距球心 3R/8 处；质量均匀分布的高为 h 的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为 3h/4 处。2.重心：在 xyz 三维坐标系中，将质量为 m 的物体划分为质点 m1、m2、m3mn.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)(xn,yn,zn).那么：mx0=mixi my0=miyi mz0=mizi 【例题】1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板 ABC，A=30B=90，该三角板水平放置，被 A、B、C 三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C 三点受的支持力各是 NA、NB、NC，则三力的大小关系是 .（2）半径为 R 的均匀球体，球心为 O 点，今在此球内挖去一半径为 0.5R 的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O 点距离为 .2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板 ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形 ABC（角 C 为直角）上，切去一等腰三角形 APB，如图所示。如果剩余部分的重心恰在 P 点，试证明：APB 的腰长与底边长的比为5：4.4、（1）质量分别为 m,2m,3mnm 的一系列小球（可视为质点），用长均为 L 的细绳相连，并用长也是 L 的细绳悬于天花板上，如图所示。求总重心的位置 奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 2 页 5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形 ABC，试用作图法作出其重心的位置。6、如图所示，半径为 R 圆心角为 的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上 8、求半径为 R 的厚薄均匀的半圆形薄板的重心 9、均匀半球体的重心问题 10、均匀圆锥体的重心 奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 3 页 11、如图所示，有一固定的半径为 R 的光滑半球体，将一长度恰好等于R21、质量为 m 的均匀链条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。12、将半径为 R 的均匀薄壁球壳切成两部分，做成高脚杯，如图所示。已知高脚杯的脚高为h，求高脚杯重心的高度。二、平衡的种类 平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡 稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，仍能回到原来的平衡位置。不稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，不能回到原来的平衡位置。随遇平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后虽不能回到原来的平衡位置，但仍处于平衡状态。例 1、一根质量为 m 的均匀杆，长为 L，其一端可绕固定的水平轴旋转，另一端用劲度系数相同的水平轻弹簧拴住，使其处于竖直位置，如图所示。问弹簧的劲度系数满足什么要求才能使杆处于稳定平衡？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 4 页 例 2、如图所示，浮子由两个半径为的球冠相结合而成，其质量为，中心厚度为（）长为、质量为的均匀细杆从浮子中心垂直插入，下端恰好到达下球冠表面细杆的铅垂位置显然是一个平衡位置，试分析平衡的稳定性 例 3、一个不倒翁可以看成两部分组成，一部分是半径为 r，底面是球冠的球扇形。球扇形圆锥部分顶角为 900，另一部分是一半径为r21的球挖去恰当的一部分套在球扇形上，两球心重合，如图所示。不倒翁各部分的质量均匀分布。（1）如果把不倒翁按倒在水平面上，放手后，不倒翁仍能立起，则重心位置要满足什么要求？（2）如果把不倒翁放在一个固定的、半径为 R 的大球面上，只要不倒翁与大球面的接触面为扇形球面，不倒翁就能处于稳定平衡，则重心位置要满足什么要求？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 5 页 例 4、在固定的半径为 R 的半球体上面放“不倒翁”玩具，玩具的下面是半径为r的球面，已知4Rr，玩具重心在对成轴上距离最低点为2r处，要使“不倒翁”在固定的球面上稳定平衡，求玩具“不倒翁”的极限倾斜角?例 5、杆 AB 的重心为 C，它的 A、B 两端分别支在相互垂直的两光滑斜面上而静止，如图所示。试论证该杆的平衡类型。奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 6 页 例 6、质量为 m、长为 b 的均匀细棒 AB 一端用不可伸长的细绳拴住，细绳绕过光滑的定滑轮 P 与劲度系数为 k 的轻弹簧相连，如图所示。细棒 AB 的 A 端是一在定滑轮 P 正下方的光滑转轴，AP=a，已知 b a，图中 c=0 时弹簧处于原长。试确定细棒 AB 平衡时的 值，并讨论平衡的稳定性。例 7、罗马教皇卡尔诺为信徒布拉基罗用薄白铁皮制作了一顶高帽子。高帽子是顶角为060、高为20hcm的圆锥形。设人头为直径15dcm的光滑球，问这顶帽子能保持在布拉基罗的头上吗？例 8、截面为正方形的均匀木块浮在水面上，如图所示。为使木块关于水平轴的扰动是稳定平衡，木块的密度应为多大？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 7 页 三、一般物体的平衡【内容】如图所示，一物体在 xoy 平面内的 F1、F2Fn各力作用下处于静止状态，根据一般物体的平衡条件可列下列方程：0 xF-0yF-以过坐标原点垂直于 xoy 平面的直线为转动轴列力矩平衡方程：0iiyiixxFyF-对于垂直于xoy平面的任意转动轴 A，坐标为),(00yx，合力矩为)()(00 xxFyyFMiiyiixA yxiiyiixFxFyxFyF00 由式可得：0AM 这说明由式可以导出对于垂直于xoy 平面的任意转动轴的力矩平衡，所以，对于平面力系统的物体平衡，有且只有三个独立的平衡方程，即：0 xF、0yF和对于任意垂直于力所在平面的轴合力矩为零，0M。也可以列 0 xF、01M、02M或其他列法，但只能列出三个独立的平衡方程。若对于三维空间的力平衡，可以列出六个独立的平衡方程。关于平衡状态方程组可总结如下：1.一条直线上力作用下物体的平衡，有且只有一个平衡方程 2.平面力作用下物体的平衡，有且只有三个独立的平衡方程。这里指的是最多可列出三个独立的平衡方程，这三个平衡方程分别是：0 xF，0yF M=0.3.三维空间的力作用下物体的平衡，有且只有六个平衡方程。这里指的是最多可列出六个独立的平衡方程，这六个平衡方程分别是：0 xF，0yF，0 xF，Mx=0,My=0,Mz=0 奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 8 页【例题讲解】第一部分：平面力系统问题 例 1.内表面光滑的半球形碗，半径为 R，一根重为 G、长为Rl34的均匀直棒 AB，B 端搁在碗里，A 端露出碗外，如图所示，求 B、C 两点对棒的作用力各是多大？例 2.如图所示，长为 L 的杆竖立在水平面上，杆与地面间的动摩擦因数为，杆的上端被固定在地面上钢索拉住，它与杆间的夹角为，今用水平力作用在杆上，问水平力的作用点距地面高度 h 满足什么条件，杆始终不会被拉倒？例 3、人对均匀细杆的一端施力，力的方向始终垂直于杆，要将杆从地板上慢慢的无滑动的抬到竖直位置试求杆与地板间的最小静摩擦因数 例 4、如图所示。写字台抽屉长 a，宽 b，抽屉两侧与侧壁之间的摩擦因数均为，抽屉底面是光滑的，抽屉前方有对称地安装着的两个把手 A 与 B，相距 h，要想拉动一个把手将抽屉拉出，问 应小于什么值？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 9 页 例 5、质量为m、长为l的均匀光滑细绳，对称地搭在半径为R的滑轮上，求绳中的最大张力。例 6、质量为m、长为l的均匀杆 AB 的下端 A 靠在竖直墙上，借助一条轻绳保持倾斜静止状态。绳的一端连在杆上 D 点，另一端连在墙上 C 点，如图所示。3lAD，绳和杆与墙壁成的夹角分别为、，求杆与墙壁之间的静摩擦因数满足什么条件?例 7、均匀小木棒放在粗糙球面内，木棒长等于球面半径，木棒与球面间静摩擦因数为，求木棒平衡时与水平方向成的最大角。奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 10 页 例 8（十一届复赛）、有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面内，如图所示。开始时，木板与墙面的夹角为 150，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡。在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦因数分别为11.00、230.5773。若极缓慢地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落。问夹角张到060时，木棍端面上的箭头指向什么方向？附三角函数表：07.5 015 030 060 sin 0.131 0.259 0.500 0.866 cos 0.991 0.966 0.866 0.500 第二部分：联接体问题 连接体是指两个相互关联的物体构成的系统。解决连接体问题应注意下列问题：研究对象的选择：个体和整体；有 n 个物体构成的连接体，研究对象的选择次数最多为 n 次 例 1、三个完全相同的圆柱体垛在一起，如图所示。每个圆柱体的质量均为 m，问上面的圆柱体受到下面圆柱体的支持为多少？已知各圆柱体之间及圆柱体和地面之间的静摩擦因数均相同，则它们之间的静摩擦因数最小为多少它们才不会滚散？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 11 页 例 2、如图 AB、BC、CD 和 DE 为质量相等长度均为 2a 的四根均匀细杆.四杆通过位于 B、C、D的光滑铰链相连，并以端点 A 和 E 置于粗糙水平面上，形成对称弓形，而且在竖直面内保持平衡.若平面与杆件间静摩擦因数=0.25，求 AE 的最大距离及此时 C 距水平面的高度.例 3、有一半径为 R 的圆柱体 A，静止在水平面上，并与竖直墙面接触。现有另一质量与 A 相同、半径为 r 的较细的圆柱体 B，用手扶着圆柱体 A 将 B 放在 A 的上面，并使之与墙面接触，如图所示，然后放手。已知圆柱体 A 与地面间的静摩擦因数为 0.20，两圆柱体之间的静摩擦因数为 0.30。若放手后两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体 B 与竖直墙面间的静摩擦因数和圆柱体 B 的半径 r 的值各应满足什么条件？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 12 页 例 4、有六个完全相同的刚性长条薄片 Ai Bi(i=1，2，6)其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均可不计，现将六个薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由上方俯视如图所示，若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6 B6上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 A6的距离，求薄片中点所受 A1的压力。例 5、直径分别为 D 和d（Dd）的两个均匀圆柱体置于粗糙的水平面上，如图所示。大圆柱体质量为 M，小圆柱体质量为m，在大圆柱体上绕有一根细绳，在绳端施以水平拉力F，设所有接触面的静摩擦因数均为，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问应满足什么条件？为此所施加的水平拉力F=？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 13 页 例 6、如图所示，质量相等的两个圆柱体 A、B 放于倾角为 的粗糙斜面上，已知 A 圆柱体的截面圆半径是 B 圆柱体的截面圆半径的 4 倍，两圆柱体与斜面之间的静摩擦因数相等。求系统平衡时两圆柱体之间的静摩擦因数及圆柱体与斜面之间的静摩擦因数应满足什么条件?例 7、如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为 l1和 l2，它们的下端在 C 点相连结并悬挂一质量为 m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上。A、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的静摩擦系数分别为1和2。已知 l1和 l2的数值，且 l1l2。试求1和2在各种情况下，此系统处于静力平衡时两环之间的距离 AB。（16 届决赛）图 1 图 2 图 3 奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 14 页 第三部分：“立体结构力”的平衡问题 例 1、一表面光滑的圆锥体正立在水平面上，过该圆锥体的轴线作截面得到等腰三角形的顶角为 2，现将一个由均匀绳索做成的柔软圆环套在圆锥体上静止不动，若已知该圆环的质量为 m，求圆环内的张力。例 2、质量为 m、长为 L 的均匀细棒 AB，A 端铰链连接在水平面（x 轴）上，B 端斜靠在竖直墙壁（yoz 面）上，如图所示。OAB，B 端与墙壁间的静摩擦因数为，求：（1）AB 保持静止时，OB 与竖直线所成的最大夹角=？（2）OB 与竖直线所成的夹角最大时，墙壁对 B 端的支持力（3）A 端的作用力为多大？例 3、如图所示，三根重为 G，长为l的相同的均匀铁杆对称的搁在一起，三杆底端在水平面上，三杆的下端点间均相距l，求：（1）A 杆顶端所受作用力的大小（2）若有一重为 G 的人坐在 A 杆中点处，则 A 杆顶端所受作用力的大小又是多少？奥林匹克物理竞赛专题辅导 第 15 页 例 4、4 个半径均为 r 的相同的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内，这4 个光滑球的球心恰好在同一水平面内，现将一个相同的第 5 个光滑球放在上述 4 个球之上，而该系统仍能保持平衡，求碗的半径满足什么条件？