传热学：第三章 非稳态导热

第三章 非稳态导热unsteady state heat conduction3-1 非稳态导热过程的特点一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 工程中的许多过程都是非稳态导热：冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却；锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况；自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。原因：边界条件，内热源发生了变化边界条件，内热源发生了变化 ,0ttf x y z二、非稳态导热过程及分类 非稳态导热过程：周期性和非周期性（瞬态导热）周期性非稳态导热：物体温度按照一定的周期发生变化。例如：墙体温度的昼夜变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体温度随时间的推 移趋近于恒定的值。例如：热铁块投入凉水中 非稳态导热过程温度变化曲线三、非稳态态导热过程的特点 物体表面层最先受热，然后由表及里地逐渐传播到物体内部。理论上经过无限长时间后，物体内各处温度趋于一致，此时达到新的热平衡状态。钢棒和木棒的次端哪一个温度变化剧烈？如果两者的导热系数相同，但是，Cp不同，又有何影响？思考：影响平壁内温度变化快慢的因素是什么？反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；越小，单位体积的物体温度升高1所需要的热量越小，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度趋于一致的能力提高。22ttpcx22ttaxpcpca四、导温系数（热扩散系数）五、毕渥准则对温度分布的影响/1/BiBi 毕渥准则无量纲数物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻tftftftftftft0t0t0BiBi0Bi为有限大小 毕渥数Bi对平板温度场变化的影响/1的数值接近与/1/1平板厚度之半六、物体加热、冷却时其内部温度场变化的三个阶段不规则状况阶段过程开始时，初始温度的影响正规阶段物体内各点的温度变化具有一定规律新的稳态阶段七、非稳态导热的研究目的温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律非稳态导热的导热微分方程式：求解方法：分离变量法、积分变换法近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法数值解法：有限差分法、有限元法,;tf x y zQfpvttttcqxxyyzz3-2 集总参数法基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致的分析方法。温度t只是时间的函数，与坐标无关 零维问题。11iB使用条件：体积V表面积F物性、cp、温度)(ft 0,0tt 导热体流体Qft已知：任意形状的物体1.0iBf0tt 求：)(ftQ体积V表面积F物性、cp、温度)(ft 0,0tt 导热体流体Qft解：任意时刻物体表面与周围流体对流换热的热流量为：)(fttFQ此时物体单位时间内能的变化为：ddd)(dtVcVtcQpp由能量平衡，物体单位时间与流体的换热量应等于物体内能的变化：)(ddfttFtVcp负号是因为：0ddt(a)(c)(b)引入过余温度：ftt FVcpdd0f0)0(tt(d)(e)将式(d)分离变量，并应用初始条件，对时间从0到积分，有:0d0VcFdpVcFpettttf0f0(3-1)VcFpettttf0f0(3-1)0222)()(FBFVaFVVcFFVVcFiVpp)(FVBiV220)(aFVaFf0f0ttttFV00FBiVe(3-2)毕渥准则，具有长度的量纲 傅立叶准则，为无因次时间 无因次的过余温度 BiVF0 物体过余温度的变化曲线物体内温度随时间呈指数衰减 VcFpettttf0f0FVcp令%8.361f0f0ettttFVcp时间常数，记为 c热电偶的时间常数是说明热电偶对流体温度变化响应快慢的指标。时间常数过余温度降至初始过余温度的36.8%时所需的时间。时间常数越大过余温度变化越慢。由式(3-2)可求出任意瞬时的热流量：VcFVcFppppppeFeVcFVcVctVcQ00)(dddd(3-3)从 0 到 时刻之间所交换的总热量为：)1(d0000VcFpVcFppeVcdeFQQ(3-4)使用条件：1iVB对于无限大平板、柱体和球体，若满足下面条件：MFVBiv1.0)(3-5)采用集总参数法计算的误差不超过5%（与精确解比较而知）对于厚度为2 的大平板：，对于半径为r的长圆柱体：，对于半径为r的球体：，FFFV222rrllrFV343423rrrFV1M21M31M毕渥准则采用一般的表达形式：iB应用集总参数法计算的条件为：1.0iB=r其中（大平板），（长圆柱、球）例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450，突然被置于温度为30的空气中。设钢球表面与周围空气的对流换热系数为24W/(m2K)，试计算钢球冷却到300时所需要的时间。已知钢球的3480/(),7753/,33/().pcJkg Kkg mWm K解：首先检验是否可以采用集总参数法。1.001818.033025.024rBi可以采用集总参数法计算。4321074.7025.0347753480025.0424VcFp由式(3-1)41074.7f0f03045030300eettttVcFph158.0s570 例题3-2 热电偶是用来测量温度的一种感受件。如果用其测量流体的温度，要求此感受件在温度变化较大的范围内反应时滞（即从测温开始至到达真实温度的时间）不大于1.5s，问在暂不考虑沿热电偶丝的导热影响时热电偶的热接点应该多大。已知热电偶的 热接点表面的对流换热系数 ，而且不随直径变化。33344/(),=50/(),pckJmKWm K导热系数2=520/()WmK解：任何感受件从测温开始到指示出真实温度所需的时间，理论上为无限长。在工程实际中可以按照允许误差为4来设计热电偶的热接点。假定热接点的形状为球形。设初始的流体温度为t0，变化后的流体温度为tf。流体温度变化1.5s后，热接点的温度将迅速变化t。t0 ttft0t0t0tf104.004.0f0f0ff0f0ttttttttt按题意，测量误差为|t-tf|=tf4%，即有按题意，因温度变化范围较大，故可认为 ，则 00fttVFVFVcFeeep4310333.21033445.1520004.0rrrVF334432344108.1310333.2219.310333.204.0ln3r故热接点的直径为：mm435.0m10435.0108.1332233rd例题3-3 一直径为5cm、长为30cm的钢圆柱体，初始温度为30将其放入炉温为1200的加热炉中加热，升温到800方可取出，设钢圆柱体与烟气间的表面对流换热系数（其中包括烟气与表面之间的辐射换热）为 ，钢的物理性质参数为 。问需要多长时间才能达到要求。3480/(),7753/,33/()pcJkg Kkg mWm K2140/()WmK解 首先检查是否可以采用集总参数法。05.0049.0025.03.04/3.05.03314024)42()4()(22dldlddlldFVBi可采用集总参数法。22210326.03.005.07753480)025.03.0(4140)2(4442dldlcldddlcVcFppp342.01200301200800f0f0tttt由式(3-1)得：210326.00342.0eeVcFp329S 无限大平板的坐标系统3-3 无限大平板的加热或冷却问题：问题：无限大平板，无限大平板，、c cp p 为为常数，厚度为常数，厚度为2，初始温度，初始温度均匀为均匀为t t0 0，将其突然置于温，将其突然置于温度恒为度恒为t t f f的流体中，的流体中，t t f ftt0 0.流体与板侧面之间的对流换流体与板侧面之间的对流换热系数为热系数为。求求:板内温度板内温度t=f(t=f(,x),x)及物体及物体 所吸收的热量所吸收的热量Q(Q()。解：解：一维问题。一维问题。t0 无限大平板的坐标系统数学模型：导热微分方程：初始条件：边界条件：（第二类）（第三类）txta22，,00)0,(txt00,0 xtxxtttx)(ft0引入过余温度 ，则数学模型变为：ftt 22xa00f0tt00,0 xxxx(a)(b)(c)(d)用分离变量法进行求解。令)()(),(TxXx(e)则式(a)变为)()()()(TxXxXaT 2)()(1)()(TTaxXxX(f)22xaWhy minus即 0)()(0)()(22TaTxXxX(g)两个常微分方程的通解为：2321)()sin()cos()(aeCTxCxCxX(h)导热微分方程的通解为：)sin()cos(),(2xBxAexa(i)cos()sin(2xBxAexa由边界条件式(c)得：0B式(i)变为：)cos(),(2xAexa(j)sin(2xAexa代入到边界条件式(d)中得：)sin()cos(22xAexAeaaiB)(ctg(k)1()(Bi对流热阻之比。毕渥准则，导热热阻与iB关于自变量的超越方程(k)有无穷多个根，记为n n。)(ctgoiB2312 3 对应于每一个 ，式(j)中都有一个待定常数 与之对应，这样可以得到无穷多个特解，这些特解的和即为微分方程的通解：nnA1)cos(2nnanxeAn(l)根据初始条件式(b)：10)cos(nnnxA(l)三角函数的正交性：nmxdxxnm,0coscos0式(l)两边同乘 并积分：)cos(xkdxxAxdxxnnnkk1000)cos()cos()cos(即dxxAdxxkkk0200)(cos)cos()cos()sin()sin(2)(cos)cos(00200kkkkkkkdxxdxxA)cos()sin()sin(20nnnnnA（m）)cos()cos()sin()sin(2102xennnnnnan令 无因次过余温度 的函数 傅立叶准则，无因次时间；无因次坐标iBf0fttttnn(3-6)20aF xX 02)cos(cossinsin210FnnnnnnneX(3-7)板内温度场，为时间、位置、板的物性及换热特性的函数能量守恒原理：到时刻平板所吸收的热量物体焓值的变化每平方米平板吸收的热量为：)cossin(sin21 1)cossin(sin22d)(d)(020212012000FnnnnnnFnnnnnnpppnneQecxcxttcQ(3-8)(220f00ttccQpp式中，Q0为平板从初始温度t0加热到流体温度tf时每平方米平板所吸收的热量。当 后，只采用级数的第一项进行简化计算，误差小于1%：2.00F（Why：是减函数,）02Fne021)cos(cossinsin2111110FeX)cossin(sin21 0211111120FeQQ(3-9)(3-10)由式(3-9)，当 后，平板中任意一点的过余温度与平板中心的过余温度之比为：2.00F)cos()cos()(),(11mxXx比值与时间无关，初始条件的影响已经消失。正规阶段nnma2211(3-1)cmln(3-2)工程上常利用正常情况阶段的特点来测定材料的热物性参数，如导温系数、比热容或导热系数。测同一点不同时刻的 值，利用关系式求物性值。圆柱体和球体的计算：作为一维非稳态问题也可以用分离变量法求解。参考有关文献。诺模图：按分析解的级数第一项而绘制的。使用条件：2.00F21011001112sincos()(,)sincosFiX ef X B F无限大平板中心温度线算图 20RaF0m21011001112sincos()(0,)sincosFmmiX efB F 图3-8 无限大平板的 曲线 miB1m11m(,)cos()cos()(,)()ixXxfXB00.2F 当时，m00m由式：板内某点、某时刻的温度平板单位面积的换热量计算：00(,)iQfBFQ(3-10)由式：)cossin(sin21 0211111120FeQQ画出曲线图如下：图3-9 无限大平板的曲线2220aBFi查出 的值，计算出 值后，可以求得 的值。0QQ0QQ诺模图：简捷方便，计算的准确度受到有限的图线的影响。通过编程直接应用分析解来计算 或 直接采用数值计算。3-4 半无限大物体的非稳态导热“半无限大物体”：研究热流方向仅沿着x流动的导热问题。一维非稳态导热问题 工程应用：大部件的表面淬火。四周被绝热的长杆，初始温度均匀一致，一端被冷 却或加热时，也是一种等效的半无限大物体。zyx,0已知：半无限大物体，初始温度为t0，表面突然与温度为tf的流体相接触，表面温度从t0升高到tf，并保持不变。假物性参数为常数 求：此非稳态导热一维问题。txt0210 1otf 半无限大物体的受热过程解：导热微分方程式：txta22初始条件：边界条件：f),0(,0tt0)0,(,0txt(b)(c)(a)由拉普拉斯变换法，此问题的解为：axtttxt2erf),(f0f(3-12)0(x误差函数ax2erfd22erf202axeax(3-13)是由拉氏变换引入的虚变量。积分是其上限的函数。温度分布：d2),(20f0f2axetttxt(3-14)半无限大物体中的温度分布任意点的热流量：xtFQx对式(3-14)求偏导数得：axaxeattaxxettxt4f04f022)()2(2)(axxeattFQ4f02通过表面的热流量：attFQf00误差函数的数值可参看有关数学书籍及附录中附表。3-5 有限大物体的非稳态导热限大物体的非稳态导热有限大物体：两方向或三方向尺寸相差不大的物体。它们的非稳态导热是二维或三维非稳态导热问题 求解方法：对于这些形状规则的有限大物体的非稳态导热 问题，可以利用一维非稳态导热问题分析解的 组合求解。无限长方柱体的温度场：等于厚度分别为21及22的两块无限大平板的温度场的乘积。无限长方柱体的初始条件及边界条件分别为两块无限大平板的 对应边界上的初始条件和边界条件。2122),(),(),(yxyx(3-17)无限长方柱体的无量纲过余温度 厚度为21无限大平板的无量纲过余温度厚度为22无限大平板的无量纲过余温度),(yx12),(x22),(y图3-18 无限长方柱体对于短圆柱体 和立方体的温度场问题，方法类似。