多元复合函数与隐函数的求导法则

复合函数求导法则复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则先回忆一下一元复合函数的微分法则可可导导而而若若)()(xuufy 则复合函数则复合函数 )(xfy 对对 x 的导数为的导数为dxdududydxdy 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出时时在求在求yzxz ,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。一、链式法则一、链式法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz 证证，获获得得增增量量设设tt),()(tttu 则则);()(tttv 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时，0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz zuvwt以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ，yvvzyuuzyz .链式法则如图示链式法则如图示zuvxy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 称为标准法则或称为标准法则或 法法则则22 这个公式的特征：这个公式的特征：函数函数),(),(yxvyxufz 有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含yzxz ,两个公式；两个公式；由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有项分别含有 vzuz ,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数自变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”类类似似地地再再推推广广，设设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，复复合合函函数数),(),(),(yxwyxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xwwzxvvzxuuzxz ,ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz 其中其中),(yxu 即即,),(yxyxfz 令令,xv,yw,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数区别类似区别类似注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形意多个自变量的情形如如),(21muuufz),(21niixxxuu 则则),2,1(,1njxuuzxzjimiij 从以上推广中我们可以得出：所有公式中从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关变量的个数无关(1,2,)im关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式公式用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量，以为中间变量，以 x,y 为自变量为自变量的复合函数的复合函数因此求它们关于因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则),(vufuzu uvxyxvfxufvufxxvfxufvufxvvvuvuvuuu ),(),(在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对),(vufu再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具具有相同结构的复合函数易被误认为仅是有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的的函数，从而导致漏掉函数，从而导致漏掉),(vufu这这一一项项uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导内层函数可导 vuuvff,的合并问题的合并问题视题设条件视题设条件例例 1 1 设设vezusin，而，而xyu ，yxv ，求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos，求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例3 设设),(),(),(),(),(ryyrxxyxvvyxuuvufw 均满足复合函数求偏导数的条件均满足复合函数求偏导数的条件 计算计算 wrw,（两重复合问题）（两重复合问题）解解由链式法则由链式法则wuvxyrrvvwruuwrw ryyurxxuru ryyvrxxvrv 故故)()(ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw 同理可得同理可得)()(yyvxxvvwyyuxxuuww 例例 4 4 设设),(xyzzyxfw ，f具具有有二二阶阶 连连续续偏偏导导数数，求求xw 和和zxw 2.解解令令,zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 ,dzdydx来说是线性的来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错从而为解题带来很多方便，而且也不易出错uxyzxtxzxzzfxyyfxfxu xtxxy xtyfxyfxfxu 例例5 设设),(),(),(zxttxyzyxfu 各函数满足求导条件各函数满足求导条件求求xu 解一解一 变量间的关系如下图所示变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较混乱这里变量间的关系比较混乱用全微分来解用全微分来解由全微分定理由全微分定理dzzfdyyfdxxfdu dzzfdttdxxyfdxxf dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf )(注意到注意到 x,z 是独立自变量是独立自变量 解二解二由全微分定义由全微分定义xtyfxyfxfxu zfztyfzu 注注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错dxxtyfxyfxfdu)(dzzfztyf)(故故 0),(.1 yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy .隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y .1022 xdxyd例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.解解令令,arctanln),(22xyyxyxF 则则,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(.2 zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0)z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .)(,),(xysxrsrFu ursx),(),(yxzzzyxFu uxyzxy例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令,4),(222zzyxzyxF 则则,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得yx ,vuvuyzffxzff 二、方程组的情形二、方程组的情形1、对于方程组、对于方程组 0),(0),(zyxFzyx 怎样求偏导数怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当当 x 给定以后相当于解含关于给定以后相当于解含关于 y,z 的方程组的方程组如果有解且唯一则对于不同的如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了就完全确定了y,z 故方程组确定了两个一元隐函数故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)若若0 zyzyFFJ 则则,1zxzxFFJdxdy xyxyFFJdxdz 1 怎样求怎样求dxdzdxdy,0),(zyxF两边对两边对 x 求导求导 注意左边是复合函数（三个中间变量），注意左边是复合函数（三个中间变量），0 dxdzFdxdyFFzyx同理同理0 dxdzdxdyzyx 2、0),(0),(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF,),(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式）vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),(vuyxF、0),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu ,vv 0),(00yx，并有，并有vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例5 5 设设0 yvxu，1 xvyu，求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的的条条件件下下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得求导，用同样方法得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 注注这组公式不太好记，具体做题时应这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以0),(zyxF为例，为例，主要有三种方法：主要有三种方法：公式法公式法,zxFFxz 222)()(zzxzxFFxFFFxz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 类似地可求得类似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次0 xzFFzx0)(2222 xzFxzFxzFFzzzxzxx解得：解得：22xz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 两种方法相比，法二较简便，因为可避免两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。BdyAdxdz yzBxzA ,则则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分